Morfismo cuasi finito

Tipo de merfismo en geometría algebraica

En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , un morfismo f  : X → Y de esquemas es cuasi-finito si es de tipo finito y satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^[1]

• Todo punto x de X está aislado en su fibra f ⁻¹ ( f ( x )). En otras palabras, cada fibra es un conjunto discreto (por lo tanto finito).
• Para cada punto x de X , el esquema f ⁻¹ ( f ( x )) = X × _Y Spec κ( f ( x )) es un esquema κ( f ( x )) finito. (Aquí κ( p ) es el campo residual en un punto p .)
• Para cada punto x de X , se genera de forma finita . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}\otimes \kappa (f(x))}$ ${\displaystyle \kappa (f(x))}$

Los morfismos cuasi finitos fueron definidos originalmente por Alexander Grothendieck en SGA 1 y no incluían la hipótesis del tipo finito. Esta hipótesis se agregó a la definición en EGA II 6.2 porque permite dar una caracterización algebraica de la cuasi finitud en términos de tallos .

Para un morfismo general f  : X → Y y un punto x en X , se dice que f es cuasi finito en x si existen vecindades afines abiertas U de x y V de f ( x ) tales que f ( U ) esté contenida en V y tal que la restricción f  : U → V es casi finita. f es localmente cuasi finito si es cuasi finito en cada punto de X . ^[2] Un morfismo cuasicompacto localmente cuasifinito es cuasifinito.

Propiedades

Para un morfismo f , las siguientes propiedades son verdaderas. ^[3]

• Si f es cuasi finito, entonces el mapa inducido f _rojo entre esquemas reducidos es cuasi finito.
• Si f es una inmersión cerrada, entonces f es casi finita.
• Si X es noetheriano y f es una inmersión, entonces f es casi finita.
• Si g : Y → Z , y si g ∘ f es cuasi finito, entonces f es cuasi finito si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
  1. g está separado,
  2. X es noetheriano,
  3. X × _Z Y es localmente noetheriano.

La cuasi finitud se preserva mediante el cambio de base. El producto compuesto y de fibra de morfismos cuasi finitos es cuasi finito. ^[3]

Si f no está ramificada en un punto x , entonces f es casi finita en x . Por el contrario, si f es cuasi-finito en x , y si también , el anillo local de x en la fibra f ⁻¹ ( f ( x )), es un campo y una extensión finita separable de κ( f ( x )), entonces f no está ramificada en x . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f^{-1}(f(x)),x}}$

Los morfismos finitos son cuasi finitos. ^{[5] Un} morfismo propio cuasi finito localmente de presentación finita es finito. ^[6] De hecho, un morfismo es finito si y sólo si es propio y localmente cuasi-finito. ^[7] Dado que los morfismos propios son de tipo finito y los morfismos de tipo finito son cuasicompactos ^[8] se puede omitir la calificación localmente , es decir, un morfismo es finito si y sólo si es propio y cuasifinito.

Una forma generalizada del teorema principal de Zariski es la siguiente: ^[9] Supongamos que Y es cuasicompacto y cuasi separado. Sea f cuasi-finita, separada y de presentación finita. Entonces f factoriza donde el primer morfismo es una inmersión abierta y el segundo es finito. ( X está abierto en un esquema finito sobre Y ). ${\displaystyle X\hookrightarrow X'\to Y}$

Ver también

• El esquema de grupo fundamental cuasi finito

Notas

1. EGA II, Definición 6.2.3
2. EGA III, Errar _III , 20.
3. EGA II, Proposición 6.2.4.
4. EGA IV ₄ , Teorema 17.4.1.
5. EGA II, Corolario 6.1.7.
6. EGA IV ₃ , Teorema 8.11.1.
7. "Lema 02LS". El proyecto Pilas . Consultado el 31 de enero de 2022 .
8. "Definición 29.15.1". El proyecto Pilas . Consultado el 15 de agosto de 2023 .
9. EGA IV ₃ , Teorema 8.12.6.

Referencias

• Grothendieck, Alejandro ; Michèle Raynaud (2003) [1971]. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) (en francés) (Ed. actualizada). Sociedad Matemática de Francia. XVIII+327. ISBN 2-85629-141-4.
• Grothendieck, Alejandro ; Jean Dieudonné (1961). "Éléments de géométrie algébrique (rédigés con la colaboración de Jean Dieudonné): II. Étude globale élémentaire de quelques classs de morfismos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 : 5–222. doi :10.1007/bf02699291.
• Grothendieck, Alejandro ; Jean Dieudonné (1966). "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la colaboración de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 : 5–255.