stringtranslate.com

Teorema principal de Zariski

En geometría algebraica , el teorema principal de Zariski , demostrado por Oscar Zariski  (1943), es un enunciado sobre la estructura de los morfismos biracionales que, a grandes rasgos, establece que solo hay una rama en cualquier punto normal de una variedad. Es el caso especial del teorema de conectividad de Zariski cuando las dos variedades son biracionales.

El teorema principal de Zariski puede enunciarse de varias maneras que, a primera vista, parecen muy diferentes, pero que, en realidad, están profundamente relacionadas. Algunas de las variantes que se han denominado teorema principal de Zariski son las siguientes:

Varios resultados en álgebra conmutativa implican las formas geométricas del teorema principal de Zariski, entre ellos:

El resultado original fue denominado "TEOREMA PRINCIPAL" en Zariski (1943).

Teorema principal de Zariski para morfismos biracionales

Sea f una función biracional de las variedades algebraicas V y W. Recordemos que f está definida por una subvariedad cerrada (un "grafo" de f ) tal que la proyección sobre el primer factor induce un isomorfismo entre una variedad abierta y , y tal que es un isomorfismo sobre U también. El complemento de U en V se llama variedad fundamental o lugar geométrico de indeterminación , y la imagen de un subconjunto de V bajo se llama transformada total de este.

El enunciado original del teorema en (Zariski 1943, p. 522) dice:

TEOREMA PRINCIPAL: Si W es una variedad fundamental irreducible en V de una correspondencia biracional T entre V y V ′ y si T no tiene elementos fundamentales en V ′ entonces —bajo el supuesto de que V es localmente normal en W— cada componente irreducible de la transformada T [ W ] es de mayor dimensión que W .

Aquí T es esencialmente un morfismo de V ′ a V que es biracional, W es una subvariedad del conjunto donde la inversa de T no está definida cuyo anillo local es normal, y la transformada T [ W ] significa la imagen inversa de W bajo el morfismo de V ′ a V .

A continuación se presentan algunas variantes de este teorema enunciado utilizando terminología más reciente. Hartshorne (1977, Corolario III.11.4) denomina al siguiente enunciado de conectividad "teorema principal de Zariski":

Si f : XY es un morfismo proyectivo biracional entre esquemas integrales noetherianos, entonces la imagen inversa de cada punto normal de Y está conexa.

La siguiente consecuencia de éste (Teorema V.5.2, loc.cit. ) también se conoce con este nombre:

Si f : XY es una transformación biracional de variedades proyectivas con Y normal, entonces la transformada total de un punto fundamental de f es conexa y de dimensión al menos 1.

Ejemplos

Teorema principal de Zariski para morfismos cuasifinitas

En EGA III, Grothendieck llama al siguiente enunciado que no implica conexidad un "Teorema principal" de Zariski Grothendieck (1961, Théorème 4.4.3):

Si f : XY es un morfismo cuasi-proyectivo de esquemas noetherianos entonces el conjunto de puntos que están aislados en su fibra es abierto en X . Además el esquema inducido de este conjunto es isomorfo a un subconjunto abierto de un esquema que es finito sobre Y .

En EGA IV, Grothendieck observó que la última afirmación podía deducirse de un teorema más general sobre la estructura de los morfismos cuasi-finitos , y a este último se le suele denominar "teorema principal de Zariski en la forma de Grothendieck". Es bien sabido que las inmersiones abiertas y los morfismos finitos son cuasi-finitos. Grothendieck demostró que bajo la hipótesis de separatividad todos los morfismos cuasi-finitos son composiciones de tales Grothendieck (1966, Teorema 8.12.6):

Si Y es un esquema separado cuasi-compacto y es un morfismo separado , cuasi-finito, finitamente presentado, entonces hay una factorización en , donde el primer mapa es una inmersión abierta y el segundo es finito.

La relación entre este teorema sobre morfismos cuasi-finitos y el Teorema 4.4.3 de EGA III citado anteriormente es que si f : XY es un morfismo proyectivo de variedades, entonces el conjunto de puntos que están aislados en su fibra es cuasi-finito sobre Y . Entonces se aplica el teorema de estructura para morfismos cuasi-finitos y se obtiene el resultado deseado.

Teorema principal de Zariski para anillos conmutativos

Zariski (1949) reformuló su teorema principal en términos del álgebra conmutativa como una afirmación sobre los anillos locales. Grothendieck (1961, Teorema 4.4.7) generalizó la formulación de Zariski de la siguiente manera:

Si B es un álgebra de tipo finito sobre un anillo noetheriano local A , y n es un ideal maximal de B que es minimal entre los ideales de B cuya imagen inversa en A es el ideal maximal m de A , entonces existe una A -álgebra finita A ′ con un ideal maximal m ′ (cuya imagen inversa en A es m ) tal que la localización B n es isomorfa a la A -álgebra Am .

Si además A y B son enteros y tienen el mismo cuerpo de fracciones, y A es integralmente cerrado, entonces este teorema implica que A y B son iguales. Esta es esencialmente la formulación de Zariski de su teorema principal en términos de anillos conmutativos.

Teorema principal de Zariski: forma topológica

Una versión topológica del teorema principal de Zariski dice que si x es un punto (cerrado) de una variedad compleja normal es unirama ; en otras palabras, hay vecindarios arbitrariamente pequeños U de x tales que el conjunto de puntos no singulares de U está conexo (Mumford 1999, III.9).

La propiedad de ser normal es más fuerte que la propiedad de ser unibranquio: por ejemplo, una cúspide de una curva plana es unibranquio pero no normal.

Teorema principal de Zariski:serie de potenciaforma

Una versión formal de la serie de potencias del teorema principal de Zariski dice que si x es un punto normal de una variedad, entonces es analíticamente normal ; en otras palabras, la completitud del anillo local en x es un dominio integral normal (Mumford 1999, III.9).

Véase también

Referencias

Enlaces externos