Producto tensorial

Operación matemática en espacios vectoriales.

En matemáticas , el producto tensorial de dos espacios vectoriales V y W (sobre el mismo campo ) es un espacio vectorial al que está asociado un mapa bilineal que asigna un par a un elemento de denotado ⁠ ⁠ . ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\times W\rightarrow V\otimes W}$ ${\displaystyle (v,w),\ v\in V,w\in W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle v\otimes w}$

Un elemento de la forma se llama producto tensorial de v y w . Un elemento de es un tensor , y el producto tensorial de dos vectores a veces se denomina tensor elemental o tensor descomponible . Los tensores elementales abarcan en el sentido de que cada elemento de es una suma de tensores elementales. Si se dan bases para V y W , una base de está formada por todos los productos tensoriales de un elemento base de V y un elemento base de W. ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

El producto tensorial de dos espacios vectoriales captura las propiedades de todos los mapas bilineales en el sentido de que un mapa bilineal desde otro espacio vectorial Z factoriza únicamente a través de un mapa lineal (ver Propiedad universal ). ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W\to Z}$

Los productos tensoriales se utilizan en muchas áreas de aplicación, incluidas la física y la ingeniería. Por ejemplo, en la relatividad general , el campo gravitacional se describe a través del tensor métrico , que es un campo tensorial (similar a un campo vectorial pero con tensores en lugar de vectores), con un tensor en cada punto de la variedad espacio-temporal , y cada uno perteneciente al producto tensorial del espacio cotangente en el punto consigo mismo.

Definiciones y construcciones.

El producto tensorial de dos espacios vectoriales es un espacio vectorial que se define hasta un isomorfismo . Hay varias formas equivalentes de definirlo. La mayoría consiste en definir explícitamente un espacio vectorial que se llama producto tensorial y, generalmente, la prueba de equivalencia resulta casi inmediatamente de las propiedades básicas de los espacios vectoriales así definidos.

El producto tensorial también se puede definir mediante una propiedad universal ; ver § Propiedad universal, más abajo. Como ocurre con toda propiedad universal, todos los objetos que satisfacen la propiedad son isomorfos mediante un isomorfismo único que es compatible con la propiedad universal. Cuando se utiliza esta definición, las otras definiciones pueden verse como construcciones de objetos que satisfacen la propiedad universal y como pruebas de que hay objetos que satisfacen la propiedad universal, es decir, que existen productos tensoriales.

De bases

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F , con bases respectivas y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$

El producto tensorial de V y W es un espacio vectorial que tiene como base el conjunto de todos con y ⁠ ⁠ . Esta definición se puede formalizar de la siguiente manera (esta formalización rara vez se usa en la práctica, ya que la definición informal anterior generalmente es suficiente): es el conjunto de funciones del producto cartesiano a F que tienen un número finito de valores distintos de cero. Las operaciones puntuales forman un espacio vectorial. La función que se asigna a 1 y los otros elementos de a 0 se denota ⁠ ⁠ . ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle v\in B_{V}}$ ${\displaystyle w\in B_{W}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle v\otimes w}$

Entonces, el conjunto es directamente una base de ⁠ ⁠ , que se llama producto tensorial de las bases y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \{v\otimes w\mid v\in B_{V},w\in B_{W}\}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$

Podemos definirlo de manera equivalente como el conjunto de formas bilineales que son distintas de cero en solo un número finito de elementos de ⁠ ⁠ . Para ver esto, dada una forma bilineal ⁠ ⁠ , podemos descomponer y en las bases y como: donde solo un número finito de 's y ' son distintos de cero, y encontrar por la bilinealidad de eso: ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$ ${\displaystyle B:V\times W\to F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$ $${\displaystyle x=\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v\quad {\text{and}}\quad y=\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w,}$$ ${\displaystyle x_{v}}$ ${\displaystyle y_{w}}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle B(x,y)=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,B(v,w)}$$

Por tanto, vemos que el valor de for any está única y totalmente determinado por los valores que adopta ⁠ ⁠ . Esto nos permite extender los mapas definidos como antes a mapas bilineales , permitiendo: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle v\otimes w:V\times W\to F}$ $${\displaystyle (v\otimes w)(x,y):=\sum _{v'\in B_{V}}\sum _{w'\in B_{W}}x_{v'}y_{w'}\,(v\otimes w)(v',w')=x_{v}\,y_{w}.}$$

Entonces podemos expresar cualquier forma bilineal como una combinación lineal formal (potencialmente infinita) de los mapas de acuerdo con: hacer estos mapas similares a una base de Schauder para el espacio vectorial de todas las formas bilineales en ⁠ ⁠ . Para que sea una base de Hamel adecuada , solo queda agregar el requisito de que sea distinto de cero en un número finito de elementos de ⁠ ⁠ y, en su lugar, considerar el subespacio de dichos mapas. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle v\otimes w}$ $${\displaystyle B=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}B(v,w)(v\otimes w)}$$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(V,W;F)}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$

En cualquier construcción, el producto tensorial de dos vectores se define a partir de su descomposición en las bases. Más precisamente, tomando las descomposiciones de bases de y como antes: ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle y\in W}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x\otimes y&={\biggl (}\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v{\biggr )}\otimes {\biggl (}\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w{\biggr )}\\[5mu]&=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,v\otimes w.\end{aligned}}}$$

Esta definición se deriva claramente de los coeficientes de en la expansión por bilinealidad del uso de las bases y ⁠ ⁠ , como se hizo anteriormente. Entonces es sencillo verificar que con esta definición, el mapa es un mapa bilineal desde hasta que satisface la propiedad universal que satisface cualquier construcción del producto tensorial (ver más abajo). ${\displaystyle B(v,w)}$ ${\displaystyle B(x,y)}$ ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$ ${\displaystyle {\otimes }:(x,y)\mapsto x\otimes y}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

Si se organiza en una matriz rectangular, el vector de coordenadas de es el producto exterior de los vectores de coordenadas de y ⁠ ⁠ . Por tanto, el producto tensorial es una generalización del producto exterior, es decir, una abstracción del mismo más allá de los vectores de coordenadas. ${\displaystyle x\otimes y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Una limitación de esta definición del producto tensorial es que, si se cambia de base, se define un producto tensorial diferente. Sin embargo, la descomposición en una base de los elementos de la otra base define un isomorfismo canónico entre los dos productos tensoriales de espacios vectoriales, lo que permite identificarlos. Además, a diferencia de las dos definiciones alternativas siguientes, esta definición no se puede ampliar a una definición del producto tensorial de módulos sobre un anillo .

Como espacio cociente

Se puede obtener una construcción del producto tensorial independiente de la base de la siguiente manera.

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F.

Se considera primero un espacio vectorial L que tiene como base el producto cartesiano . Es decir, los elementos base de L son los pares con y ⁠ ⁠ . Para obtener dicho espacio vectorial , se puede definir como el espacio vectorial de las funciones que tienen un número finito de valores distintos de cero e identificarse con la función que toma el valor 1 y 0 en caso contrario. ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle V\times W\to F}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle (v,w)}$

Sea R el subespacio lineal de L que está abarcado por las relaciones que debe satisfacer el producto tensorial. Más precisamente, R está abarcado por los elementos de una de las formas:

${\displaystyle {\begin{aligned}(v_{1}+v_{2},w)&-(v_{1},w)-(v_{2},w),\\(v,w_{1}+w_{2})&-(v,w_{1})-(v,w_{2}),\\(sv,w)&-s(v,w),\\(v,sw)&-s(v,w),\end{aligned}}}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle v,v_{1},v_{2}\in V}$ y ⁠ ⁠ . ​ ${\displaystyle w,w_{1},w_{2}\in W}$ ${\displaystyle s\in F}$

Entonces, el producto tensorial se define como el espacio cociente :

${\displaystyle V\otimes W=L/R,}$

y la imagen de en este cociente se denota ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle v\otimes w}$

Es sencillo demostrar que el resultado de esta construcción satisface la propiedad universal que se considera a continuación. (Se puede utilizar una construcción muy similar para definir el producto tensorial de módulos ).

propiedad universal

Propiedad universal del producto tensorial: si h es bilineal, existe un mapa lineal único~heso hace que el diagrama sea conmutativo (es decir, h =~h∘ φ ).

En esta sección se describe la propiedad universal que satisface el producto tensorial. Como ocurre con toda propiedad universal, dos objetos que satisfacen la propiedad están relacionados por un isomorfismo único . De ello se deduce que esta es una forma (no constructiva) de definir el producto tensorial de dos espacios vectoriales. En este contexto, las construcciones anteriores de productos tensoriales pueden verse como pruebas de la existencia del producto tensorial así definido.

Una consecuencia de este enfoque es que cada propiedad del producto tensorial puede deducirse de la propiedad universal y que, en la práctica, uno puede olvidar el método que se ha utilizado para demostrar su existencia.

La "definición de propiedad universal" del producto tensorial de dos espacios vectoriales es la siguiente (recuerde que una aplicación bilineal es una función que es lineal por separado en cada uno de sus argumentos):

El producto tensorial de dos espacios vectoriales V y W es un espacio vectorial denotado como ⁠ ⁠ ${\displaystyle V\otimes W}$ , junto con un mapa bilineal de a ⁠ ⁠ , tal que, para cada mapa bilineal ⁠ ⁠ , hay un mapa lineal único ⁠ ⁠ , tal que (es decir, para cada y ⁠ ⁠ ). ${\displaystyle {\otimes }:(v,w)\mapsto v\otimes w}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle h:V\times W\to Z}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}:V\otimes W\to Z}$ ${\displaystyle h={\tilde {h}}\circ {\otimes }}$ ${\displaystyle h(v,w)={\tilde {h}}(v\otimes w)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle w\in W}$

Linealmente disjunto

Al igual que la propiedad universal anterior, la siguiente caracterización también se puede utilizar para determinar si un espacio vectorial dado y un mapa bilineal dado forman o no un producto tensorial. ^[1]

Teorema  :  Sea ⁠ ⁠ ${\displaystyle X,Y}$ y espacios vectoriales complejos y sea un mapa bilineal. Entonces es un producto tensorial de y si y solo si ^[1] la imagen de abarca todo de (es decir, ⁠ ⁠ ), y también y son -linealmente disjuntos , lo que por definición significa que para todos los números enteros positivos y todos los elementos y similares que ⁠ ⁠ , ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T:X\times Y\to Z}$ ${\displaystyle (Z,T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \;T(X\times Y)=Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in Y}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}T\left(x_{i},y_{i}\right)=0}$

1. si todos son linealmente independientes entonces todos son ⁠ ⁠ , y ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle 0}$
2. si todos son linealmente independientes entonces todos son ⁠ ⁠ . ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle 0}$

De manera equivalente, y son linealmente disjuntos si y solo si para todas las secuencias linealmente independientes en y todas las secuencias linealmente independientes en ⁠ ⁠ , los vectores son linealmente independientes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{T\left(x_{i},y_{j}\right):1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}}$

Por ejemplo, se deduce inmediatamente que si y son números enteros positivos, entonces y el mapa bilineal definido enviando para formar un producto tensorial de y ⁠ ⁠ . ^[2] A menudo, este mapa se denotará por so that denota el valor de este mapa bilineal en ⁠ ⁠ . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z:=\mathbb {C} ^{mn}}$ ${\displaystyle T:\mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{mn}}$ ${\displaystyle (x,y)=\left(\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{i}y_{j}\right)_{\stackrel {i=1,\ldots ,m}{j=1,\ldots ,n}}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle Y:=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \,\otimes \,}$ ${\displaystyle x\otimes y\;:=\;T(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$

Como otro ejemplo, supongamos que es el espacio vectorial de todas las funciones de valores complejos en un conjunto con la suma y la multiplicación escalar definidas puntualmente (lo que significa que es el mapa y es el mapa ⁠ ⁠ ). Sea y cualquier conjunto y para cualquiera y ⁠ ⁠ , denotemos la función definida por ⁠ ⁠ . Si y son subespacios vectoriales, entonces el subespacio vectorial de junto con el mapa bilineal: forman un producto tensorial de y ⁠ ⁠ . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle s\mapsto f(s)+g(s)}$ ${\displaystyle cf}$ ${\displaystyle s\mapsto cf(s)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{S}}$ ${\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{T}}$ ${\displaystyle f\otimes g\in \mathbb {C} ^{S\times T}}$ ${\displaystyle (s,t)\mapsto f(s)g(t)}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{S}}$ ${\displaystyle Y\subseteq \mathbb {C} ^{T}}$ ${\displaystyle Z:=\operatorname {span} \left\{f\otimes g:f\in X,g\in Y\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{S\times T}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\;&&X\times Y&&\;\to \;&Z\\[0.3ex]&&(f,g)&&\;\mapsto \;&f\otimes g\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Propiedades

Dimensión

Si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita , entonces es de dimensión finita y su dimensión es el producto de las dimensiones de V y W. ${\displaystyle V\otimes W}$

Esto resulta del hecho de que una base de se forma tomando todos los productos tensoriales de un elemento base de V y un elemento base de W. ${\displaystyle V\otimes W}$

asociatividad

El producto tensorial es asociativo en el sentido de que, dados tres espacios vectoriales ⁠ ⁠ ${\displaystyle U,V,W}$ , existe un isomorfismo canónico:

${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W),}$

que se asigna a ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (u\otimes v)\otimes w}$ ${\displaystyle u\otimes (v\otimes w)}$

Esto permite omitir paréntesis en el producto tensorial de más de dos espacios vectoriales o vectores.

Conmutatividad como operación en el espacio vectorial

El producto tensorial de dos espacios vectoriales y es conmutativo en el sentido de que existe un isomorfismo canónico: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle V\otimes W\cong W\otimes V,}$

que se asigna a ⁠ ⁠ . ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle w\otimes v}$

Por otro lado, incluso cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle V=W}$ , el producto tensorial de vectores no es conmutativo; es decir ⁠ ⁠ ${\displaystyle v\otimes w\neq w\otimes v}$ , en general.

El mapa desde hacia sí mismo induce un automorfismo lineal que se llama ${\displaystyle x\otimes y\mapsto y\otimes x}$ ${\displaystyle V\otimes V}$mapa de trenzado . De manera más general y como es habitual (verálgebra tensorial), denotemoselproducto tensorial dencopias del espacio vectorialV.Para cadapermutaciónsde los primerosnenteros positivos, el mapa: ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

${\displaystyle x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\mapsto x_{s(1)}\otimes \cdots \otimes x_{s(n)}}$

induce un automorfismo lineal de ⁠ ⁠ ${\displaystyle V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}}$ , que se llama mapa de trenzado.

Producto tensorial de mapas lineales.

Dado un mapa lineal ⁠ ⁠ ${\displaystyle f:U\to V}$ y un espacio vectorial W , el producto tensorial:

${\displaystyle f\otimes W:U\otimes W\to V\otimes W}$

es el único mapa lineal tal que:

${\displaystyle (f\otimes W)(u\otimes w)=f(u)\otimes w.}$

El producto tensorial se define de manera similar. ${\displaystyle W\otimes f}$

Dados dos mapas lineales y ⁠ ⁠ , su producto tensorial: ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle g:W\to Z}$

${\displaystyle f\otimes g:U\otimes W\to V\otimes Z}$

es el único mapa lineal que satisface:

${\displaystyle (f\otimes g)(u\otimes w)=f(u)\otimes g(w).}$

Uno tiene:

${\displaystyle f\otimes g=(f\otimes Z)\circ (U\otimes g)=(V\otimes g)\circ (f\otimes W).}$

En términos de teoría de categorías , esto significa que el producto tensorial es un bifunctor de la categoría de espacios vectoriales hacia sí mismo. ^[3]

Si f y g son ambos inyectivos o sobreyectivos , entonces lo mismo ocurre con todos los mapas lineales definidos anteriormente. En particular, el producto tensorial con un espacio vectorial es un funtor exacto ; esto significa que cada secuencia exacta se asigna a una secuencia exacta ( los productos tensoriales de los módulos no transforman inyecciones en inyecciones, pero son funtores exactos correctos ).

Al elegir las bases de todos los espacios vectoriales involucrados, los mapas lineales f y g pueden representarse mediante matrices . Luego, dependiendo de cómo se vectorice el tensor, la matriz que describe el producto del tensor es el producto de Kronecker de las dos matrices. Por ejemplo, si V , X , W e Y anteriores son todos bidimensionales y se han fijado bases para todos ellos, y f y g están dados por las matrices: respectivamente, entonces el producto tensorial de estas dos matrices es: ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle f\otimes g}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}},\qquad B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\[3pt]a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.}$$

El rango resultante es como máximo 4 y, por tanto, la dimensión resultante es 4. Aquí el rango denota el rango del tensor , es decir, el número de índices necesarios (mientras que el rango de la matriz cuenta el número de grados de libertad en la matriz resultante). ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Tr} A\otimes B=\operatorname {Tr} A\times \operatorname {Tr} B}$ .

Un producto diádico es el caso especial del producto tensorial entre dos vectores de la misma dimensión.

Tensores generales

Para enteros no negativos r y s, un tensor de tipo en un espacio vectorial V es un elemento de: Aquí está el espacio vectorial dual (que consta de todos los mapas lineales f desde V hasta el campo terrestre K ). ${\displaystyle (r,s)}$ $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{r}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{s}=V^{\otimes r}\otimes \left(V^{*}\right)^{\otimes s}.}$$ ${\displaystyle V^{*}}$

Hay un mapa de productos, llamado producto (tensorial) de tensores : ^[4] $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\otimes _{K}T_{s'}^{r'}(V)\to T_{s+s'}^{r+r'}(V).}$$

Se define agrupando todos los "factores" V que ocurren : escribiendo para un elemento de V y para un elemento del espacio dual: ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ $${\displaystyle (v_{1}\otimes f_{1})\otimes (v'_{1})=v_{1}\otimes v'_{1}\otimes f_{1}.}$$

Si V es de dimensión finita, entonces elegir una base de V y la correspondiente base dual de naturalmente induce una base de (esta base se describe en el artículo sobre productos Kronecker ). En términos de estas bases, se pueden calcular los componentes de un producto (tensorial) de dos (o más) tensores . Por ejemplo, si F y G son dos tensores covariantes de orden m y n respectivamente (es decir, y ⁠ ⁠ ), entonces los componentes de su producto tensorial vienen dados por: ^[5] ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ ${\displaystyle F\in T_{m}^{0}}$ ${\displaystyle G\in T_{n}^{0}}$ $${\displaystyle (F\otimes G)_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}G_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}\cdots i_{m+n}}.}$$

Por tanto, los componentes del producto tensorial de dos tensores son el producto ordinario de los componentes de cada tensor. Otro ejemplo: sea U un tensor de tipo (1, 1) con componentes ⁠ ⁠ ${\displaystyle U_{\beta }^{\alpha }}$ , y sea V un tensor de tipo con componentes ⁠ ⁠ . Entonces y: ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle V^{\gamma }}$ $${\displaystyle \left(U\otimes V\right)^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }=U^{\alpha }{}_{\beta }V^{\gamma }}$$ $${\displaystyle (V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }=V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }.}$$

Los tensores equipados con su operación producto forman un álgebra , llamada álgebra tensorial .

Mapa de evaluación y contracción tensorial.

Para tensores de tipo (1, 1) existe un mapa de evaluación canónico: definido por su acción sobre tensores puros: $${\displaystyle V\otimes V^{*}\to K}$$ $${\displaystyle v\otimes f\mapsto f(v).}$$

De manera más general, para tensores de tipo ⁠ ⁠ ${\displaystyle (r,s)}$ , con r , s > 0 , existe un mapa, llamado contracción tensorial : (Deben especificarse las copias de y sobre las cuales se aplicará este mapa). $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V).}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

Por otro lado, si es de dimensión finita , existe una aplicación canónica en la otra dirección (llamada aplicación de coevaluación ): donde es cualquier base de ⁠ ⁠ , y es su base dual . Este mapa no depende de la elección de la base. ^[6] ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\begin{cases}K\to V\otimes V^{*}\\\lambda \mapsto \sum _{i}\lambda v_{i}\otimes v_{i}^{*}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{i}^{*}}$

La interacción de evaluación y coevaluación se puede utilizar para caracterizar espacios vectoriales de dimensión finita sin hacer referencia a bases. ^[7]

Representación adjunta

El producto tensorial puede verse naturalmente como un módulo para el álgebra de Lie mediante la acción diagonal: por simplicidad supongamos ⁠ ⁠ , entonces, para cada ⁠ ⁠ , dónde está la transpuesta de u , es decir, en términos de emparejamiento obvio en ⁠ ⁠ , ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle r=s=1}$ ${\displaystyle u\in \mathrm {End} (V)}$ $${\displaystyle u(a\otimes b)=u(a)\otimes b-a\otimes u^{*}(b),}$$ ${\displaystyle u^{*}\in \mathrm {End} \left(V^{*}\right)}$ ${\displaystyle V\otimes V^{*}}$ $${\displaystyle \langle u(a),b\rangle =\langle a,u^{*}(b)\rangle .}$$

Existe un isomorfismo canónico dado por: ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)\to \mathrm {End} (V)}$ $${\displaystyle (a\otimes b)(x)=\langle x,b\rangle a.}$$

Bajo este isomorfismo, cada u in puede verse primero como un endomorfismo de y luego como un endomorfismo de ⁠ ⁠ . De hecho, es la representación adjunta ad( u ) de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$

Mapas lineales como tensores.

Dados dos espacios vectoriales de dimensión finita U , V sobre el mismo campo K , denota el espacio dual de U como U* , y el espacio vectorial K de todos los mapas lineales de U a V como Hom( U , V ) . Existe un isomorfismo: definido por una acción del tensor puro sobre un elemento de ⁠ ⁠ , $${\displaystyle U^{*}\otimes V\cong \mathrm {Hom} (U,V),}$$ ${\displaystyle f\otimes v\in U^{*}\otimes V}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle (f\otimes v)(u)=f(u)v.}$$

Su "inversa" se puede definir utilizando una base y su base dual como en la sección "Mapa de evaluación y contracción tensorial" anterior: ${\displaystyle \{u_{i}\}}$ ${\displaystyle \{u_{i}^{*}\}}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {Hom} (U,V)\to U^{*}\otimes V\\F\mapsto \sum _{i}u_{i}^{*}\otimes F(u_{i}).\end{cases}}}$$

Este resultado implica: lo que automáticamente da el hecho importante de que forma una base de dónde están las bases de U y V. $${\displaystyle \dim(U\otimes V)=\dim(U)\dim(V),}$$ ${\displaystyle \{u_{i}\otimes v_{j}\}}$ ${\displaystyle U\otimes V}$ ${\displaystyle \{u_{i}\},\{v_{j}\}}$

Además, dados tres espacios vectoriales U , V , W, el producto tensorial está vinculado al espacio vectorial de todos los mapas lineales, de la siguiente manera: Este es un ejemplo de funtores adjuntos : el producto tensorial está "contiguo izquierdo" a Hom. $${\displaystyle \mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathrm {Hom} (V,W)).}$$

Productos tensoriales de módulos sobre un anillo.

El producto tensorial de dos módulos A y B sobre un anillo conmutativo R se define exactamente de la misma manera que el producto tensorial de espacios vectoriales sobre un campo: donde ahora está el módulo R libre generado por el producto cartesiano y G es el R -módulo generado por estas relaciones . $${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G,}$$ ${\displaystyle F(A\times B)}$

De manera más general, el producto tensorial se puede definir incluso si el anillo no es conmutativo . En este caso, A tiene que ser un módulo R derecho y B es un módulo R izquierdo , y en lugar de las dos últimas relaciones anteriores, se impone la relación:. Si R no es conmutativo, ya no es un módulo R , sino simplemente un grupo abeliano . $${\displaystyle (ar,b)\sim (a,rb)}$$

La propiedad universal también se mantiene, ligeramente modificada: el mapa definido por es un mapa lineal medio (denominado "el mapa lineal medio canónico" ^[8] ); es decir, satisface: ^[9] ${\displaystyle \varphi :A\times B\to A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (a,b)\mapsto a\otimes b}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (a+a',b)&=\varphi (a,b)+\varphi (a',b)\\\varphi (a,b+b')&=\varphi (a,b)+\varphi (a,b')\\\varphi (ar,b)&=\varphi (a,rb)\end{aligned}}}$$

Las dos primeras propiedades hacen de φ un mapa bilineal del grupo abeliano ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\times B}$ . Para cualquier mapa lineal medio de ⁠ ⁠ , un homomorfismo de grupo único f de satisface ⁠ ⁠ , y esta propiedad determina el isomorfismo dentro del grupo. Consulte el artículo principal para obtener más detalles. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle \psi =f\circ \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Producto tensorial de módulos sobre un anillo no conmutativo

Sea A un módulo R derecho y B un módulo R izquierdo . Entonces el producto tensorial de A y B es un grupo abeliano definido por: donde es un grupo abeliano libre y G es el subgrupo de relaciones generadas por: $${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G}$$ ${\displaystyle F(A\times B)}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle F(A\times B)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall a,a_{1},a_{2}\in A,\forall b,b_{1},b_{2}\in B,{\text{ for all }}r\in R:\\&(a_{1},b)+(a_{2},b)-(a_{1}+a_{2},b),\\&(a,b_{1})+(a,b_{2})-(a,b_{1}+b_{2}),\\&(ar,b)-(a,rb).\\\end{aligned}}}$$

La propiedad universal se puede enunciar de la siguiente manera. Sea G un grupo abeliano con una aplicación bilineal, en el sentido de que: ${\displaystyle q:A\times B\to G}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}q(a_{1}+a_{2},b)&=q(a_{1},b)+q(a_{2},b),\\q(a,b_{1}+b_{2})&=q(a,b_{1})+q(a,b_{2}),\\q(ar,b)&=q(a,rb).\end{aligned}}}$$

Luego hay un mapa único para todos y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\overline {q}}:A\otimes B\to G}$ ${\displaystyle {\overline {q}}(a\otimes b)=q(a,b)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$

Además, podemos dar una estructura de módulo bajo algunas condiciones adicionales: ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

1. Si A es un bimódulo ( S , R ), entonces es un módulo S izquierdo , donde ⁠ ⁠ . ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle s(a\otimes b):=(sa)\otimes b}$
2. Si B es un bimódulo ( R , S ), entonces es un módulo S recto , donde ⁠ ⁠ . ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (a\otimes b)s:=a\otimes (bs)}$
3. Si A es un bimódulo ( S , R ) y B es un bimódulo ( R , T ), entonces es un bimódulo ( S , T ), donde las acciones izquierda y derecha se definen de la misma manera que las dos anteriores. ejemplos. ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$
4. Si R es un anillo conmutativo, entonces A y B son ( R , R )-bimódulos donde y ⁠ ⁠ . Por 3), podemos concluir que es un bimódulo ( R , R ). ${\displaystyle ra:=ar}$ ${\displaystyle br:=rb}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

Calcular el producto tensorial

Para espacios vectoriales, el producto tensorial se calcula rápidamente ya que las bases de V de W determinan inmediatamente una base de ⁠ ⁠ , como se mencionó anteriormente. Para módulos sobre un anillo general (conmutativo), no todos los módulos son gratuitos. Por ejemplo, Z / n Z no es un grupo abeliano libre ( módulo Z ). El producto tensorial con Z / n Z viene dado por: ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ $${\displaystyle M\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} =M/nM.}$$

De manera más general, dada una presentación de algún R -módulo M , es decir, un número de generadores junto con relaciones: el producto tensorial se puede calcular como el siguiente cokernel : ${\displaystyle m_{i}\in M,i\in I}$ $${\displaystyle \sum _{j\in J}a_{ji}m_{i}=0,\qquad a_{ij}\in R,}$$ $${\displaystyle M\otimes _{R}N=\operatorname {coker} \left(N^{J}\to N^{I}\right)}$$

Aquí ⁠ ⁠ ${\displaystyle N^{J}=\oplus _{j\in J}N}$ , y el mapa se determina enviando algunos en la j -ésima copia de a (en ⁠ ⁠ ). Coloquialmente, esto se puede reformular diciendo que una presentación de M da lugar a una presentación de ⁠ ⁠ . Se hace referencia a esto diciendo que el producto tensorial es un funtor exacto recto . En general, no es exacto a la izquierda, es decir, dado un mapa inyectivo de R -módulos ⁠ ⁠ , el producto tensorial: no suele ser inyectivo. Por ejemplo, tensar el mapa (inyectivo) dado por la multiplicación con n , n  : Z → Z con Z / n Z produce el mapa cero 0 : Z / n Z → Z / n Z , que no es inyectivo. Los functores Tor más altos miden el defecto del producto tensorial que no se deja exacto. Todos los funtores Tor superiores se ensamblan en el producto tensorial derivado . ${\displaystyle N^{J}\to N^{I}}$ ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle N^{J}}$ ${\displaystyle a_{ij}n}$ ${\displaystyle N^{I}}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle M_{1}\to M_{2}}$ $${\displaystyle M_{1}\otimes _{R}N\to M_{2}\otimes _{R}N}$$

Producto tensorial de álgebras

Sea R un anillo conmutativo. El producto tensorial de R -módulos se aplica, en particular, si A y B son R -álgebras . En este caso, el producto tensorial es un R -álgebra en sí mismo poniendo: Por ejemplo: ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ $${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})\cdot (a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}\cdot a_{2})\otimes (b_{1}\cdot b_{2}).}$$ $${\displaystyle R[x]\otimes _{R}R[y]\cong R[x,y].}$$

Un ejemplo particular es cuando A y B son campos que contienen un subcampo común R. El producto tensorial de campos está estrechamente relacionado con la teoría de Galois : si, digamos, A = R [ x ] / f ( x ) , donde f es algún polinomio irreducible con coeficientes en R , el producto tensorial se puede calcular como: donde ahora f se interpreta como el mismo polinomio, pero con sus coeficientes considerados como elementos de B . En el campo más grande B , el polinomio puede volverse reducible, lo que trae consigo la teoría de Galois. Por ejemplo, si A = B es una extensión de Galois de R , entonces: es isomorfo (como un A -álgebra) a ⁠ ⁠ . $${\displaystyle A\otimes _{R}B\cong B[x]/f(x)}$$ $${\displaystyle A\otimes _{R}A\cong A[x]/f(x)}$$ ${\displaystyle A^{\operatorname {deg} (f)}}$

Configuraciones propias de tensores.

Las matrices cuadradas con entradas en un campo representan mapas lineales de espacios vectoriales , digamos ⁠ ⁠ , y por tanto mapas lineales de espacios proyectivos sobre ⁠ ⁠ . Si no es singular, entonces está bien definido en todas partes y los vectores propios de corresponden a los puntos fijos de ⁠ ⁠ . La configuración propia de consta de puntos en ⁠ ⁠ , siempre que sea genérica y algebraicamente cerrada . Los puntos fijos de los mapas no lineales son los vectores propios de los tensores. Sea un tensor de formato -dimensional con entradas que se encuentran en un campo algebraicamente cerrado de característica cero. Tal tensor define aplicaciones polinómicas y con coordenadas: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A=(a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n\times n\times \cdots \times n}$ ${\displaystyle (a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A\in (K^{n})^{\otimes d}}$ ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$ $${\displaystyle \psi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j_{2}=1}^{n}\sum _{j_{3}=1}^{n}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n}a_{ij_{2}j_{3}\cdots j_{d}}x_{j_{2}}x_{j_{3}}\cdots x_{j_{d}}\;\;{\mbox{for }}i=1,\ldots ,n}$$

Así cada una de las coordenadas de es un polinomio homogéneo de grado en ⁠ ⁠ . Los vectores propios de son las soluciones de la restricción: y la configuración propia viene dada por la variedad de los menores de esta matriz. ^[10] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{i}}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\mbox{rank}}{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\\psi _{1}(\mathbf {x} )&\psi _{2}(\mathbf {x} )&\cdots &\psi _{n}(\mathbf {x} )\end{pmatrix}}\leq 1}$$ ${\displaystyle 2\times 2}$

Otros ejemplos de productos tensoriales

Productos tensores topológicos

Los espacios de Hilbert generalizan espacios vectoriales de dimensión finita a dimensiones arbitrarias. Existe una operación análoga , también llamada "producto tensorial", que convierte los espacios de Hilbert en una categoría monoidal simétrica . Básicamente se construye como la terminación del espacio métrico del producto tensorial algebraico discutido anteriormente. Sin embargo, no satisface la analogía obvia de la propiedad universal que define los productos tensoriales; ^[11] los morfismos para esa propiedad deben restringirse a los operadores de Hilbert-Schmidt . ^[12]

En situaciones en las que la imposición de un producto interno es inapropiada, todavía se puede intentar completar el producto tensorial algebraico, como un producto tensorial topológico . Sin embargo, dicha construcción ya no se especifica de forma única: en muchos casos, existen múltiples topologías naturales en el producto tensorial algebraico.

Producto tensorial de espacios vectoriales graduados

Algunos espacios vectoriales se pueden descomponer en sumas directas de subespacios. En tales casos, el producto tensorial de dos espacios se puede descomponer en sumas de productos de los subespacios (en analogía a la forma en que la multiplicación se distribuye sobre la suma).

Producto tensorial de representaciones.

Los espacios vectoriales dotados de una estructura multiplicativa adicional se denominan álgebras . El producto tensorial de tales álgebras se describe mediante la regla de Littlewood-Richardson .

Producto tensorial de formas cuadráticas.

Producto tensorial de formas multilineales.

Dadas dos formas multilineales y en un espacio vectorial sobre el campo, su producto tensorial es la forma multilineal: ^[13] ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})}$ ${\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{m})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m}).}$$

Este es un caso especial del producto de tensores si se ven como aplicaciones multilineales (ver también tensores como aplicaciones multilineales ). Por tanto, los componentes del producto tensorial de formas multilineales pueden calcularse mediante el producto de Kronecker .

Producto tensorial de haces de módulos.

Producto tensorial de paquetes de líneas.

Producto tensorial de campos

Producto tensorial de gráficos.

Cabe mencionar que, aunque se denomina "producto tensorial", no es un producto tensorial de gráficos en el sentido anterior; en realidad, es el producto teórico de categorías en la categoría de gráficos y homomorfismos de gráficos . Sin embargo, en realidad es el producto tensorial de Kronecker de las matrices de adyacencia de los gráficos. Compare también la sección Producto tensorial de mapas lineales anterior.

Categorías monoidales

La configuración más general para el producto tensorial es la categoría monoidal . Capta la esencia algebraica del tensor, sin hacer ninguna referencia específica a lo que se está tensor. Por tanto, todos los productos tensoriales pueden expresarse como una aplicación de la categoría monoidal a algún entorno particular, que actúa sobre algunos objetos particulares.

Álgebras de cocientes

Varios subespacios importantes del álgebra tensorial se pueden construir como cocientes : estos incluyen el álgebra exterior , el álgebra simétrica , el álgebra de Clifford , el álgebra de Weyl y el álgebra envolvente universal en general.

El álgebra exterior se construye a partir del producto exterior . Dado un espacio vectorial V , el producto exterior se define como: ${\displaystyle V\wedge V}$ $${\displaystyle V\wedge V:=V\otimes V{\big /}\{v\otimes v\mid v\in V\}.}$$

Cuando el campo subyacente de V no tiene la característica 2, entonces esta definición equivale a: $${\displaystyle V\wedge V:=V\otimes V{\big /}{\bigl \{}v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}{\bigr \}}.}$$

La imagen de en el producto exterior generalmente se denota y satisface, por construcción, ⁠ ⁠ . Son posibles construcciones similares para ( n factores ), dando lugar a ⁠ ⁠ , la enésima potencia exterior de V . Esta última noción es la base de las n -formas diferenciales . ${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}=-v_{2}\wedge v_{1}}$ ${\displaystyle V\otimes \dots \otimes V}$ ${\displaystyle \Lambda ^{n}V}$

El álgebra simétrica se construye de manera similar, a partir del producto simétrico : $${\displaystyle V\odot V:=V\otimes V{\big /}{\bigl \{}v_{1}\otimes v_{2}-v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}{\bigr \}}.}$$

Más generalmente: $${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{n}V:=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{n}{\big /}(\dots \otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \dots -\dots \otimes v_{i+1}\otimes v_{i}\otimes \dots )}$$

Es decir, en el álgebra simétrica se pueden intercambiar dos vectores adyacentes (y por tanto todos). Los objetos resultantes se llaman tensores simétricos .

Producto tensorial en programación.

Lenguajes de programación de matrices

Los lenguajes de programación de matrices pueden tener este patrón integrado. Por ejemplo, en APL el producto tensorial se expresa como ○.×(por ejemplo A ○.× Bo A ○.× B ○.× C). En J, el producto tensorial es la forma diádica de */(por ejemplo a */ bo a */ b */ c).

El tratamiento de J también permite la representación de algunos campos tensoriales, como ay bpueden ser funciones en lugar de constantes. Este producto de dos funciones es una función derivada, y si ay bson diferenciables , entonces a */ bes diferenciable.

Sin embargo, este tipo de notación no está presente universalmente en los lenguajes de matrices. Otros lenguajes de matrices pueden requerir un tratamiento explícito de índices (por ejemplo, MATLAB ) y/o pueden no admitir funciones de orden superior como la derivada jacobiana (por ejemplo, Fortran /APL).

Ver también

• Diádica  : tensor de segundo orden en álgebra vectorial
• Extensión de escalares
• Categoría monoidal  - Categoría que admite productos tensoriales
• Álgebra tensorial  : construcción universal en álgebra multilineal
• Contracción tensorial  – Operación en matemáticas y física
• Producto tensorial topológico  : construcciones de productos tensoriales para espacios vectoriales topológicos

Notas

1. Trèves 2006, págs. 403–404.
2. Trèves 2006, págs.407.
3. Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Álgebras, anillos y módulos . Saltador. pag. 100.ISBN​ 978-1-4020-2690-4.
4. Bourbaki (1989), pág. 244 define el uso "producto tensorial de xey " , elementos de los respectivos módulos.
5. Fórmulas análogas también son válidas para tensores contravariantes , así como para tensores de varianza mixta. Aunque en muchos casos, como cuando hay un producto interno definido, la distinción es irrelevante.
6. "La coevaluación de espacios vectoriales". El matemático sin complejos . 2008-11-13. Archivado desde el original el 2 de febrero de 2017 . Consultado el 26 de enero de 2017 .
7. Ver categoría Compacto cerrado .
8. Hungerford, Thomas W. (1974). Álgebra . Saltador. ISBN 0-387-90518-9.
9. Chen, Jungkai Alfred (primavera de 2004), "Producto tensorial" (PDF) , Álgebra avanzada II (notas de la conferencia), Universidad Nacional de Taiwán, archivado (PDF) del original el 4 de marzo de 2016{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
10. Arriba, H.; Seigal, A.; Sturmfels, B. (2015). "Configuraciones propias de tensores". arXiv : 1505.05729 [matemáticas.AG].
11. Garrett, Paul (22 de julio de 2010). «Inexistencia de productos tensoriales de espacios de Hilbert» (PDF) .
12. Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997). Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. I. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas . Thm. 2.6.4. ISBN 978-0-8218-0819-1. SEÑOR  1468229.
13. Tu, LW (2010). Introducción a las variedades . Texto universitario. Saltador. pag. 25.ISBN​ 978-1-4419-7399-3.

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1989). Elementos de matemáticas, Álgebra I. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
• Gowers, Timoteo . "Cómo perder el miedo a los productos tensoriales". Archivado desde el original el 7 de mayo de 2021.
• Grillet, Pierre A. (2007). Álgebra abstracta . Springer Ciencia+Business Media, LLC. ISBN 978-0387715674.
• Halmos, Paul (1974). Espacios vectoriales de dimensión finita . Saltador. ISBN 0-387-90093-4.
• Hungerford, Thomas W. (2003). Álgebra . Saltador. ISBN 0387905189.
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, SEÑOR  1878556, Zbl  0984.00001
• Mac Lane, S .; Birkhoff, G. (1999). Álgebra . AMS Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2.
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• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• "Bibliografía sobre el producto tensor nobeliano de grupos".