Amplio paquete de líneas

En matemáticas, una característica distintiva de la geometría algebraica es que algunos paquetes de líneas en una variedad proyectiva pueden considerarse "positivos", mientras que otros son "negativos" (o una mezcla de ambos). La noción más importante de positividad es la de un paquete de líneas amplio, aunque existen varias clases relacionadas de paquetes de líneas. En términos generales, las propiedades de positividad de un paquete de líneas están relacionadas con tener muchas secciones globales . Comprender los paquetes de líneas amplias en una variedad dada X equivale a comprender las diferentes formas de mapear X en el espacio proyectivo . En vista de la correspondencia entre paquetes de líneas y divisores (construidos a partir de subvariedades de codimensión -1), existe una noción equivalente de divisor amplio .

Con más detalle, un conjunto de líneas se denomina libre de puntos base si tiene suficientes secciones para dar un morfismo al espacio proyectivo. Un paquete de líneas es semiamplio si alguna de sus potencias positivas no tiene puntos de base; la semiamplitud es una especie de "no negatividad". Más claramente, un haz de líneas en una variedad completa X es muy amplio si tiene suficientes secciones para dar una inmersión cerrada (o "incrustación") de X en el espacio proyectivo. Un paquete de líneas es amplio si alguna potencia positiva es muy amplia.

Un conjunto de líneas amplio en una variedad proyectiva X tiene grado positivo en cada curva en X. Lo contrario no es del todo cierto, pero existen versiones corregidas de lo contrario, los criterios de amplitud de Nakai-Moishezon y Kleiman.

Introducción

Retroceso de un conjunto de líneas y divisores de hiperplano

Dado un morfismo de esquemas , un paquete de vectores (o más generalmente un haz coherente en Y ) tiene un retroceso a X , donde la proyección es la proyección en la primera coordenada (ver Conjunto de módulos#Operaciones ). El retroceso de un paquete de vectores es un paquete de vectores del mismo rango. En particular, el retroceso de un paquete de líneas es un paquete de líneas. (Brevemente, la fibra de en un punto x en X es la fibra de E en f ( x ).) ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle p\colon E\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}E=\{(x,e)\in X\times E,\;f(x)=p(e)\}}$ ${\displaystyle p'\colon f^{*}E\to X}$ ${\displaystyle f^{*}E}$

Las nociones descritas en este artículo están relacionadas con esta construcción en el caso de un morfismo al espacio proyectivo.

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n},}$

con E = O (1) el paquete de líneas en el espacio proyectivo cuyas secciones globales son los polinomios homogéneos de grado 1 (es decir, funciones lineales) en variables . El haz de líneas O (1) también se puede describir como el haz de líneas asociado a un hiperplano en (porque el conjunto cero de una sección de O (1) es un hiperplano). Si f es una inmersión cerrada, por ejemplo, se deduce que el retroceso es el conjunto de líneas en X asociado a una sección de hiperplano (la intersección de X con un hiperplano en ). ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{*}O(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Paquetes de líneas sin punto base

Sea X un esquema sobre un campo k (por ejemplo, una variedad algebraica) con un paquete de líneas L. (Un paquete de líneas también puede denominarse haz invertible ). Sean elementos del k - espacio vectorial de secciones globales de L. El conjunto cero de cada sección es un subconjunto cerrado de X ; Sea U el subconjunto abierto de puntos en los que al menos uno de ellos no es cero. Entonces estas secciones definen un morfismo. ${\displaystyle a_{0},...,a_{n}}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {P} _{k}^{n},\ x\mapsto [a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)].}$

Más detalladamente: para cada punto x de U , la fibra de L sobre x es un espacio vectorial unidimensional sobre el campo residual k ( x ). La elección de una base para esta fibra genera una secuencia de n +1 números, no todos ceros, y por tanto un punto en el espacio proyectivo. Cambiar la elección de la base escala todos los números según la misma constante distinta de cero, por lo que el punto en el espacio proyectivo es independiente de la elección. ${\displaystyle a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)}$

Además, este morfismo tiene la propiedad de que la restricción de L a U es isomorfa al retroceso . ^[1] ${\displaystyle f^{*}O(1)}$

El lugar geométrico de un conjunto de líneas L en un esquema X es la intersección de los conjuntos de ceros de todas las secciones globales de L. Un conjunto de líneas L se dice que no tiene punto base si su lugar geométrico está vacío. Es decir, para cada punto x de X hay una sección global de L que es distinta de cero en x . Si X es propio de un campo k , entonces el espacio vectorial de secciones globales tiene dimensión finita; la dimensión se llama . ^[2] Entonces, un paquete de líneas sin puntos de base L determina un morfismo sobre k , donde , dado al elegir una base para . Sin tomar una decisión, esto puede describirse como el morfismo ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} (H^{0}(X,L))}$

desde X al espacio de hiperplanos en , canónicamente asociado al haz de líneas sin punto base L . Este morfismo tiene la propiedad de que L es el retroceso . ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle f^{*}O(1)}$

Por el contrario, para cualquier morfismo f de un esquema X al espacio proyectivo sobre k , el paquete de líneas de retroceso no tiene puntos de base. De hecho, O (1) no tiene puntos base en , porque por cada punto y hay un hiperplano que no contiene y . Por lo tanto, para cada punto x en X , hay una sección s de O (1) que no es cero en f ( x ), y el retroceso de s es una sección global de que no es cero en x . En resumen, los paquetes de líneas sin puntos de base son exactamente aquellos que pueden expresarse como el retroceso de O (1) mediante algún morfismo al espacio proyectivo. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{*}O(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{*}O(1)}$

Nef, generado globalmente, semi-amplio

El grado de un paquete de líneas L en una curva propia C sobre k se define como el grado del divisor ( s ) de cualquier sección racional distinta de cero s de L . Los coeficientes de este divisor son positivos en los puntos donde s desaparece y negativos donde s tiene un polo. Por lo tanto, cualquier conjunto de líneas L en una curva C tal que tenga grado no negativo (porque las secciones de L sobre C , a diferencia de las secciones racionales, no tienen polos). ^[3] En particular, cada conjunto de líneas sin puntos de base en una curva tiene un grado no negativo. Como resultado, un paquete de líneas sin puntos de base L en cualquier esquema adecuado X sobre un campo es nef , lo que significa que L tiene un grado no negativo en cada curva (irreducible) en X. ^[4] ${\displaystyle H^{0}(C,L)\neq 0}$

De manera más general, se dice que un haz F de módulos en un esquema X se genera globalmente si hay un conjunto I de secciones globales tal que el morfismo correspondiente ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle s_{i}\in H^{0}(X,F)}$

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O_{X}\to F}$

de gavillas es sobreyectiva. ^[5] Un paquete de líneas se genera globalmente si y sólo si no tiene puntos de base.

Por ejemplo, cada haz cuasi coherente en un esquema afín se genera globalmente. ^[6] De manera análoga, en geometría compleja , el teorema A de Cartan dice que cada haz coherente en una variedad de Stein se genera globalmente.

Un paquete de líneas L en un esquema adecuado sobre un campo es semiamplio si hay un entero positivo r tal que la potencia del tensor no tenga punto base. Un paquete de líneas semi-amplio es nef (por el hecho correspondiente para paquetes de líneas sin punto de base). ^[7] ${\displaystyle L^{\otimes r}}$

Paquetes de líneas muy amplios

Se dice que un paquete de líneas L en un esquema adecuado X sobre un campo k es muy amplio si no tiene puntos de base y el morfismo asociado

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} _{k}^{n}}$

Es una inmersión cerrada. Aquí . De manera equivalente, L es muy amplia si X puede incrustarse en un espacio proyectivo de alguna dimensión sobre k de tal manera que L sea la restricción del conjunto de líneas O (1) a X. ^[8] La última definición se utiliza para definir la amplitud de un paquete de líneas en un esquema adecuado sobre cualquier anillo conmutativo . ^[9] ${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$

El nombre "muy amplio" fue introducido por Alexander Grothendieck en 1961. ^[10] Anteriormente se habían utilizado varios nombres en el contexto de sistemas lineales de divisores .

Para un conjunto de líneas muy amplio L en un esquema adecuado X sobre un campo con morfismo f asociado , el grado de L en una curva C en X es el grado de f ( C ) como curva en . Entonces L tiene grado positivo en cada curva en X (porque cada subvariedad de espacio proyectivo tiene grado positivo). ^[11] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Definiciones

Amplias poleas reversibles en esquemas cuasi compactos

Los paquetes de líneas amplios se utilizan con mayor frecuencia en esquemas adecuados, pero se pueden definir con una generalidad mucho más amplia.

Sea X un esquema y sea una gavilla invertible en X. Para cada uno , denotemos el haz ideal del subesquema reducido soportado sólo en x . Para , defina de manera equivalente, si denota el campo residual en x (considerado como un haz de rascacielos sostenido en x ), entonces ¿dónde está la imagen de s en el producto tensorial? ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$ $${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon s_{x}\not \in {\mathfrak {m}}_{x}{\mathcal {L}}_{x}\}.}$$ ${\displaystyle \kappa (x)}$ $${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon {\bar {s}}_{x}\neq 0\in \kappa (x)\otimes {\mathcal {L}}_{x}\},}$$ ${\displaystyle {\bar {s}}_{x}}$

Arreglar . Para cada s , la restricción es un módulo libre trivializado por la restricción de s , lo que significa que el morfismo de multiplicación por s es un isomorfismo. El conjunto siempre está abierto y el morfismo de inclusión es un morfismo afín. A pesar de ello, no tiene por qué ser un esquema afín. Por ejemplo, si , entonces es abierto en sí mismo y afín a sí mismo, pero generalmente no es afín. ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{s}}\to {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle X_{s}\to X}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s=1\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle X_{s}=X}$

Supongamos que X es cuasicompacto. Entonces es suficiente si, para cada , existe un y un tal que y es un esquema afín. ^[12] Por ejemplo, el paquete de líneas trivial es amplio si y sólo si X es casi afín . ^[13] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle x\in X_{s}}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

En general, no es cierto que todos sean afines. Por ejemplo, si para algún punto O , y if es la restricción de a X , entonces y tienen las mismas secciones globales, y el lugar geométrico que no desaparece de una sección de es afín si y solo si la sección correspondiente de contiene O . ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus \{O\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$

Es necesario permitir potencias de en la definición. De hecho, para cada N , es posible que no sea afín para cada with . De hecho, supongamos que Z es un conjunto finito de puntos en , y . Los lugares geométricos de fuga de las secciones de son curvas planas de grado N . Al tomar Z como un conjunto suficientemente grande de puntos en posición general, podemos asegurar que ninguna curva plana de grado N (y por tanto de grado inferior) contenga todos los puntos de Z. En particular, sus loci que no desaparecen no son todos afines. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle n\leq N}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)|_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes N}}$

Definir . Denotemos el morfismo estructural. Existe un isomorfismo natural entre los homomorfismos de -álgebra y los endomorfismos del anillo graduado S. El endomorfismo de identidad de S corresponde a un homomorfismo . La aplicación del funtor produce un morfismo de un subesquema abierto de X , denotado como . ${\displaystyle \textstyle S=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle p\colon X\to \operatorname {Spec} \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \textstyle p^{*}({\tilde {S}})\to \bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {L}}^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} }$ ${\displaystyle G(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

La caracterización básica de gavillas invertibles amplias establece que si X es un esquema cuasi compacto cuasi separado y es una gavilla invertible en X , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es amplio.
2. Los conjuntos abiertos , donde y , forman una base para la topología de X. ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle n\geq 0}$
3. Los conjuntos abiertos con la propiedad de ser afines, donde y , forman una base para la topología de X . ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle n\geq 0}$
4. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$y el morfismo es una inmersión abierta dominante. ${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$
5. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$y el morfismo es un homeomorfismo del espacio topológico subyacente de X con su imagen. ${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$
6. Para cada haz cuasi coherente en X , el mapa canónico es sobreyectivo. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {F}}}$
7. Para cada haz de ideales cuasi coherente en X , el mapa canónico es sobreyectivo. ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}}$
8. Para cada haz de ideales cuasi coherente en X , el mapa canónico es sobreyectivo. ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}}$
9. Para cada haz cuasi coherente de tipo finito en X , existe un número entero tal que for , es generado por sus secciones globales. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$
10. Para cada haz cuasi coherente de tipo finito en X , existen números enteros y similares que son isomorfos a un cociente de . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$
11. Para cada haz cuasi coherente de ideales de tipo finito en X , existen números enteros y similares que son isomorfos a un cociente de . ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$

Sobre esquemas adecuados

Cuando X está separado y es de tipo finito sobre un esquema afín, una gavilla invertible es amplia si y solo si existe un entero positivo r tal que el poder tensorial sea muy amplio. ^{[15] [16]} En particular, un esquema adecuado sobre R tiene un paquete de líneas amplio si y sólo si es proyectivo sobre R. A menudo, esta caracterización se toma como la definición de amplitud. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes r}}$

El resto de este artículo se concentrará en la amplitud de los esquemas adecuados en un campo, ya que este es el caso más importante. Un paquete de líneas amplio en un esquema adecuado X sobre un campo tiene grado positivo en cada curva en X , según la declaración correspondiente para paquetes de líneas muy amplios.

Se dice que un divisor Cartier D en un esquema adecuado X sobre un campo k es amplio si el conjunto de líneas correspondiente O ( D ) es amplio. (Por ejemplo, si X es suave sobre k , entonces un divisor Cartier se puede identificar con una combinación lineal finita de subvariedades de codimensión cerrada-1 de X con coeficientes enteros).

Debilitar la noción de "muy amplio" a "amplio" da un concepto flexible con una amplia variedad de caracterizaciones diferentes. Un primer punto es que tensar potencias altas de un haz de líneas amplio con cualquier haz coherente da como resultado un haz con muchas secciones globales. Más precisamente, un haz de líneas L en un esquema adecuado X sobre un campo (o más generalmente sobre un anillo noetheriano ) es amplio si y sólo si para cada haz coherente F en X , existe un número entero s tal que el haz se genera globalmente. para todos . Aquí s puede depender de F . ^{[17] [18]} ${\displaystyle F\otimes L^{\otimes r}}$ ${\displaystyle r\geq s}$

Otra caracterización de la amplitud, conocida como teorema de Cartan – Serre – Grothendieck , es en términos de cohomología de gavilla coherente . Es decir, un haz de líneas L en un esquema adecuado X sobre un campo (o más generalmente sobre un anillo noetheriano) es amplio si y sólo si para cada haz coherente F en X , existe un número entero s tal que

${\displaystyle H^{i}(X,F\otimes L^{\otimes r})=0}$

para todos y todas . ^{[19] [18]} En particular, las altas potencias de un haz de líneas amplio matan la cohomología en grados positivos. Esta implicación se llama teorema de desaparición de Serre , demostrado por Jean-Pierre Serre en su artículo de 1955 Faisceaux algébriques cohérents . ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle r\geq s}$

Ejemplos/No ejemplos

• El paquete de líneas trivial en una variedad proyectiva X de dimensión positiva no tiene puntos de base pero no es amplio. De manera más general, para cualquier morfismo f desde una variedad proyectiva X hasta algún espacio proyectivo sobre un campo, el paquete de líneas de retroceso siempre está libre de puntos de base, mientras que L es amplio si y sólo si el morfismo f es finito (es decir, todas las fibras de f tienen dimensión 0 o están vacíos). ^[20] ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle L=f^{*}O(1)}$
• Para un número entero d , el espacio de secciones del paquete de líneas O ( d ) es el espacio vectorial complejo de polinomios homogéneos de grado d en variables x , y . En particular, este espacio es cero para d < 0. Para , el morfismo al espacio proyectivo dado por O ( d ) es ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$ ${\displaystyle d\geq 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{d}}$

por

${\displaystyle [x,y]\mapsto [x^{d},x^{d-1}y,\ldots ,y^{d}].}$

Esta es una inmersión cerrada para , con imagen de una curva normal racional de grado d en . Por lo tanto, O ( d ) es libre de puntos base si y solo si , y muy amplio si y solo si . De ello se deduce que O ( d ) es amplia si y sólo si . ${\displaystyle d\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$ ${\displaystyle d\geq 0}$ ${\displaystyle d\geq 1}$ ${\displaystyle d\geq 1}$

• Para ver un ejemplo en el que "amplio" y "muy amplio" son diferentes, sea X una curva proyectiva suave de género 1 (una curva elíptica ) sobre C y sea p un punto complejo de X. Sea O ( p ) el paquete de líneas asociado de grado 1 en X. Entonces, el espacio vectorial complejo de secciones globales de O ( p ) tiene dimensión 1, atravesado por una sección que desaparece en p . ^[21] Entonces el lugar geométrico de la base de O ( p ) es igual a p . Por otro lado, O (2 p ) no tiene puntos base y O ( dp ) es muy amplio para (dando una incorporación de X como una curva elíptica de grado d en ). Por tanto, O ( p ) es amplia pero no muy amplia. Además, O (2 p ) es amplio y no tiene puntos de base, pero no muy amplio; el morfismo asociado al espacio proyectivo es una doble cubierta ramificada . ${\displaystyle d\geq 3}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d-1}}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{1}}$
• En curvas de género superior, hay amplios paquetes de líneas L para los cuales cada sección global es cero. (Pero los múltiplos altos de L tienen muchas secciones, por definición). Por ejemplo, sea X una curva cuártica plana suave (de grado 4 in ) sobre C , y sean p y q puntos complejos distintos de X. Entonces el paquete de líneas es amplio pero tiene . ^[22] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle L=O(2p-q)}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)=0}$

Criterios de amplitud de paquetes de líneas

Teoría de la intersección

Para determinar si un conjunto de líneas dado en una variedad proyectiva X es amplio, los siguientes criterios numéricos (en términos de números de intersección) suelen ser los más útiles. Es equivalente a preguntar cuándo un divisor de Cartier D en X es amplio, lo que significa que el paquete de líneas asociado O ( D ) es amplio. El número de intersección se puede definir como el grado del conjunto de líneas O ( D ) restringido a C . En la otra dirección, para un paquete de líneas L en una variedad proyectiva, la primera clase de Chern significa el divisor Cartier asociado (definido hasta equivalencia lineal), el divisor de cualquier sección racional distinta de cero de L. ${\displaystyle D\cdot C}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$

En una curva proyectiva suave X sobre un campo algebraicamente cerrado k , un paquete de líneas L es muy amplio si y sólo si para todos los k - puntos racionales x , y en X. ^[23] Sea g el género de X . Según el teorema de Riemann-Roch , todo conjunto de líneas de grado al menos 2 g  + 1 satisface esta condición y, por tanto, es muy amplio. Como resultado, un conjunto de líneas en una curva es amplio si y sólo si tiene grado positivo. ^[24] ${\displaystyle h^{0}(X,L\otimes O(-x-y))=h^{0}(X,L)-2}$

Por ejemplo, el paquete canónico de una curva X tiene grado 2 g  − 2, por lo que es amplio si y sólo si . Las curvas con amplio haz canónico forman una clase importante; por ejemplo, sobre los números complejos, estas son las curvas con una métrica de curvatura negativa . El paquete canónico es muy amplio si y sólo si y la curva no es hiperelíptica . ^[25] ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle g\geq 2}$

El criterio de Nakai-Moishezon (llamado así por Yoshikazu Nakai (1963) y Boris Moishezon (1964)) establece que un paquete de líneas L en un esquema adecuado X sobre un campo es amplio si y sólo si para cada subvariedad cerrada ( irreductible ) Y de X ( Y no puede ser un punto). ^[26] En términos de divisores, un divisor D de Cartier es amplio si y sólo si para cada subvariedad Y (de dimensión distinta de cero) de X. Para X una curva, esto dice que un divisor es amplio si y sólo si tiene grado positivo. Para X una superficie, el criterio dice que un divisor D es amplio si y sólo si su número de autointersección es positivo y toda curva C sobre X tiene . ${\displaystyle \int _{Y}c_{1}(L)^{{\text{dim}}(Y)}>0}$ ${\displaystyle D^{{\text{dim}}(Y)}\cdot Y>0}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle D\cdot C>0}$

criterio de kleiman

Para enunciar el criterio de Kleiman (1966), sea X un esquema proyectivo sobre un campo. Sea el espacio vectorial real de 1 ciclos (combinaciones lineales reales de curvas en X ) equivalencia numérica de módulo, lo que significa que dos 1 ciclos A y B son iguales si y solo si cada paquete de líneas tiene el mismo grado en A y en B . Según el teorema de Néron-Severi , el espacio vectorial real tiene dimensión finita. El criterio de Kleiman establece que un paquete de líneas L en X es amplio si y sólo si L tiene grado positivo en cada elemento C distinto de cero del cierre del cono de curvas NE( X ) en . (Esto es un poco más fuerte que decir que L tiene grado positivo en cada curva). De manera equivalente, un paquete de líneas es amplio si y sólo si su clase en el espacio vectorial dual está en el interior del cono nef . ^[27] ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

El criterio de Kleiman falla en general para esquemas adecuados (en lugar de proyectivos) X sobre un campo, aunque se cumple si X es suave o, más generalmente, Q -factorial. ^[28]

Un paquete de líneas en una variedad proyectiva se llama estrictamente nef si tiene grado positivo en cada curva Nagata (1959). y David Mumford construyeron haces de líneas sobre superficies proyectivas lisas que son estrictamente nef pero no amplias. Esto muestra que la condición no se puede omitir en el criterio de Nakai-Moishezon y es necesario utilizar la clausura de NE( X ) en lugar de NE( X ) en el criterio de Kleiman. ^[29] Cada conjunto de líneas nef en una superficie tiene , y los ejemplos de Nagata y Mumford tienen . ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}>0}$ ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=0}$

CS Seshadri demostró que un paquete de líneas L en un esquema adecuado sobre un campo algebraicamente cerrado es amplio si y sólo si hay un número real positivo ε tal que deg( L | _C ) ≥ ε m ( C ) para todas las curvas (irreducibles) C en X , donde m ( C ) es el máximo de las multiplicidades en los puntos de C. ^[30]

Varias caracterizaciones de amplitud son válidas de manera más general para paquetes de líneas en un espacio algebraico propio sobre un campo k . En particular, el criterio de Nakai-Moishezon es válido en esa generalidad. ^[31] El criterio de Cartan-Serre-Grothendieck se cumple aún más generalmente, para un espacio algebraico adecuado sobre un anillo noetheriano R. ^[32] (Si un espacio algebraico propio sobre R tiene un haz de líneas amplio, entonces es de hecho un esquema proyectivo sobre R .) El criterio de Kleiman falla para espacios algebraicos propios X sobre un cuerpo, incluso si X es suave. ^[33]

Apertura de amplitud

En un esquema proyectivo X sobre un campo, el criterio de Kleiman implica que la amplitud es una condición abierta en la clase de un R -divisor (una R -combinación lineal de divisores de Cartier) en , con su topología basada en la topología de los números reales. (Un R -divisor se define como amplio si puede escribirse como una combinación lineal positiva de divisores Cartier amplios. ^[34] ) Un caso especial elemental es: para un divisor amplio H y cualquier divisor E , existe un divisor real positivo número b tal que sea amplio para todos los números reales a de valor absoluto menor que b . En términos de divisores con coeficientes enteros (o paquetes de líneas), esto significa que nH + E es amplio para todos los números enteros positivos suficientemente grandes n . ${\displaystyle N^{1}(X)}$ ${\displaystyle H+aE}$

La amplitud también es una condición abierta en un sentido bastante diferente, cuando la variedad o el conjunto de líneas varía en una familia algebraica. Es decir, sea un morfismo adecuado de esquemas y sea L un paquete de líneas en X. Entonces el conjunto de puntos y en Y tales que L es amplio en la fibra es abierto (en la topología de Zariski ). Más fuertemente, si L es amplio en una fibra , entonces hay una vecindad abierta afín U de y tal que L es amplio sobre U. ^[35] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X_{y}}$ ${\displaystyle X_{y}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$

Otras caracterizaciones de la amplitud de Kleiman

Kleiman también demostró las siguientes caracterizaciones de amplitud, que pueden verse como pasos intermedios entre la definición de amplitud y los criterios numéricos. Es decir, para un haz de líneas L en un esquema adecuado X sobre un campo, lo siguiente es equivalente: ^[36]

• L es amplio.
• Para cada subvariedad (irreducible) de dimensión positiva, hay un entero positivo r y una sección que no es idénticamente cero sino que desaparece en algún punto de Y. ${\displaystyle Y\subset X}$ ${\displaystyle s\in H^{0}(Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})}$
• Para cada subvariedad (irreducible) de dimensión positiva, las características holomorfas de Euler de las potencias de L sobre Y van al infinito: ${\displaystyle Y\subset X}$

${\displaystyle \chi (Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})\to \infty }$como . ${\displaystyle r\to \infty }$

Generalizaciones

Amplios paquetes de vectores

Robin Hartshorne definió un paquete de vectores F en un esquema proyectivo X sobre un campo como amplio si el paquete de líneas en el espacio de hiperplanos en F es amplio. ^[37] ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (F)}$

Varias propiedades de los paquetes de líneas amplias se extienden a los paquetes de vectores amplios. Por ejemplo, un paquete de vectores F es amplio si y sólo si altas potencias simétricas de F matan la cohomología de haces coherentes para todos . ^[38] Además, la clase Chern de un paquete de vectores amplio tiene un grado positivo en cada subvariedad r -dimensional de X , para . ^[39] ${\displaystyle H^{i}}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle c_{r}(F)}$ ${\displaystyle 1\leq r\leq {\text{rank}}(F)}$

Paquetes de líneas grandes

Un debilitamiento útil de la amplitud, especialmente en geometría biracional , es la noción de un gran conjunto de líneas . Se dice que un paquete de líneas L en una variedad proyectiva X de dimensión n sobre un campo es grande si hay un número real positivo a y un entero positivo tal que para todos . Esta es la tasa de crecimiento máxima posible para los espacios de secciones de potencias de L , en el sentido de que para cada paquete de líneas L en X hay un número positivo b con para todo j > 0. ^[40] ${\displaystyle j_{0}}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\geq aj^{n}}$ ${\displaystyle j\geq j_{0}}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\leq bj^{n}}$

Hay varias otras caracterizaciones de paquetes de líneas grandes. Primero, un paquete de líneas es grande si y solo si hay un entero positivo r tal que el mapa racional de X a dado por las secciones de es biracional sobre su imagen. ^[41] Además, un haz de líneas L es grande si y sólo si tiene una potencia tensor positiva que es el producto tensorial de un haz de líneas amplio A y un haz de líneas efectivo B (lo que significa que ). ^[42] Finalmente, un paquete de líneas es grande si y sólo si su clase en está en el interior del cono de divisores efectivos. ^[43] ${\displaystyle \mathbb {P} (H^{0}(X,L^{\otimes r}))}$ ${\displaystyle L^{\otimes r}}$ ${\displaystyle H^{0}(X,B)\neq 0}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

La grandeza puede verse como un análogo biracionalmente invariante de la amplitud. Por ejemplo, si hay un mapa racional dominante entre variedades proyectivas suaves de la misma dimensión, entonces el retroceso de un paquete de líneas grande en Y es grande en X. (A primera vista, el retroceso es sólo un paquete de líneas en el subconjunto abierto de X donde f es un morfismo, pero esto se extiende únicamente a un paquete de líneas en todo X ). Para paquetes de líneas amplios, sólo se puede decir que el retroceso de un paquete de líneas amplio mediante un morfismo finito es amplio. ^[20] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Ejemplo: Sea X la ampliación del plano proyectivo en un punto sobre los números complejos. Sea H el retroceso hacia X de una línea en , y sea E la curva excepcional de la explosión . Entonces el divisor H + E es grande pero no amplio (o incluso nef) en X , porque ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle (H+E)\cdot E=E^{2}=-1<0.}$

Esta negatividad también implica que el lugar base de H + E (o de cualquier múltiplo positivo) contiene la curva E. De hecho, este lugar base es igual a E.

Amplitud relativa

Dado un morfismo de esquemas cuasi compacto , se dice que una gavilla invertible L en X es amplia en relación con f o f -ample si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes: ^{[44] [45]} ${\displaystyle f:X\to S}$

1. Para cada subconjunto afín abierto , la restricción de L to es amplia (en el sentido habitual). ${\displaystyle U\subset S}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$
2. f está casi separada y hay una inmersión abierta inducida por el mapa de adjunción : ${\displaystyle X\hookrightarrow \operatorname {Proj} _{S}({\mathcal {R}}),\,{\mathcal {R}}:=f_{*}\left(\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}\right)}$

   ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {R}}\to \bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}}$.

3. La condición 2. sin "abierto".

La condición 2 dice (aproximadamente) que X puede compactarse abiertamente en un esquema proyectivo con (no solo en un esquema adecuado). ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=L}$

Ver también

Geometría algebraica general

• Geometría algebraica de espacios proyectivos.
• Variedad Fano : variedad cuyo paquete canónico es anti-amplia
• El gran teorema de Matsusaka
• Esquema divisional : un esquema que admite una amplia familia de paquetes de líneas.

Amplitud en geometría compleja

• Paquete de vectores holomorfos
• Teorema de incrustación de Kodaira : en una variedad compleja compacta, la amplitud y la positividad coinciden.
• Teorema de desaparición de Kodaira
• Teorema del hiperplano de Lefschetz : un divisor amplio en una variedad proyectiva compleja X es topológicamente similar a X.

Notas

1. Hartshorne (1977), Teorema II.7.1.
2. Hartshorne (1977), Teorema III.5.2; (etiqueta 02O6).
3. Hartshorne (1977), Lema IV.1.2.
4. Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.4.5.
5. etiqueta 01 a. m.
6. Hartshorne (1977), Ejemplo II.5.16.2.
7. Lazarsfeld (2004), Definición 2.1.26.
8. Hartshorne (1977), sección II.5.
9. etiqueta 02NP.
10. Grothendieck, EGA II, Definición 4.2.2.
11. Hartshorne (1977), Proposición I.7.6 y Ejemplo IV.3.3.2.
12. etiqueta 01PS.
13. etiqueta 01QE.
14. EGA II, Théorème 4.5.2 y Proposición 4.5.5.
15. EGA II, Proposición 4.5.10.
16. etiqueta 01VU.
17. Hartshorne (1977), Teorema II.7.6
18. Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.6.
19. Hartshorne (1977), Proposición III.5.3
20. Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.13.
21. Hartshorne (1977), Ejemplo II.7.6.3.
22. Hartshorne (1977), Ejercicio IV.3.2 (b).
23. Hartshorne (1977), Proposición IV.3.1.
24. Hartshorne (1977), Corolario IV.3.3.
25. Hartshorne (1977), Proposición IV.5.2.
26. Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.23, Observación 1.2.29; Kleiman (1966), Teorema III.1.
27. Lazarsfeld (2004), Teoremas 1.4.23 y 1.4.29; Kleiman (1966), Teorema IV.1.
28. Fujino (2005), Corolario 3.3; Lazarsfeld (2004), Observación 1.4.24.
29. Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.5.2.
30. Lazarsfeld (2004), Teorema 1.4.13; Hartshorne (1970), Teorema I.7.1.
31. Kollár (1990), Teorema 3.11.
32. etiqueta 0D38.
33. Kollár (1996), Capítulo VI, Apéndice, Ejercicio 2.19.3.
34. Lazarsfeld (2004), Definición 1.3.11.
35. Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.17 y su demostración.
36. Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.2.32; Kleiman (1966), Teorema III.1.
37. Lazarsfeld (2004), Definición 6.1.1.
38. Lazarsfeld (2004), Teorema 6.1.10.
39. Lazarsfeld (2004), Teorema 8.2.2.
40. Lazarsfeld (2004), Corolario 2.1.38.
41. Lazarsfeld (2004), sección 2.2.A.
42. Lazarsfeld (2004), Corolario 2.2.7.
43. Lazarsfeld (2004), Teorema 2.2.26.
44. etiqueta 01VG.
45. Grothendieck y Dieudonné 1961, Proposición 4.6.3.

Fuentes

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• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classs de morfismos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi :10.1007/bf02699291. SEÑOR  0217084.
• Hartshorne, Robin (1970), Amplias subvariedades de variedades algebraicas , Lecture Notes in Mathematics, vol. 156, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0067839, ISBN 978-3-540-05184-8, señor  0282977
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
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• Kollár, János (1996), Curvas racionales sobre variedades algebraicas , Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, SEÑOR  1440180
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• "Sección 29.37 (01VG): Gavillas relativamente amplias: el proyecto Stacks".
• Proyecto Stacks, Etiqueta 01AM.
• Proyecto de pilas, etiqueta 01PS.
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• Proyecto Pilas, Etiqueta 02NP.
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• Proyecto de pilas, etiqueta 0D38.

enlaces externos

• El proyecto de las pilas