Teoría p-ádica de Hodge

En matemáticas , la teoría p -ádica de Hodge es una teoría que proporciona una forma de clasificar y estudiar representaciones p -ádicas de Galois de campos locales característicos 0 ^[1] con característica residual p (como Q p ). La teoría tiene sus inicios en el estudio de Jean-Pierre Serre y John Tate de los módulos Tate de variedades abelianas y la noción de representación de Hodge-Tate . Las representaciones de Hodge-Tate están relacionadas con ciertas descomposiciones de teorías de cohomología p -ádica análogas a la descomposición de Hodge , de ahí el nombre teoría de Hodge p -ádica. Otros desarrollos se inspiraron en las propiedades de las representaciones p -ádicas de Galois que surgen de la cohomología étale de las variedades . Jean-Marc Fontaine introdujo muchos de los conceptos básicos del campo.

Clasificación general de representaciones p -ádicas.

Sea K un campo local con campo residual k de característica p . En este artículo, una representación p-ádica de K (o de G _K , el grupo absoluto de Galois de K ) será una representación continua ρ : G _K → GL( V ), donde V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre Q _pag . La colección de todas las representaciones p -ádicas de K forma una categoría abeliana indicada en este artículo. p -adic La teoría de Hodge proporciona subcolecciones de p -adic representaciones basadas en lo agradables que son, y también proporciona functores fieles a categorías de objetos algebraicos lineales que son más fáciles de estudiar. La clasificación básica es la siguiente: ^[2] ${\displaystyle \mathrm {Rep} _{\mathbf {Q} _{p}}(K)}$

${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {crys} }(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{ss}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{dR}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{HT}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{\mathbf {Q} _{p}}(K)}$

donde cada colección es una subcategoría completa propiamente contenida en la siguiente. En orden, estas son las categorías de representaciones cristalinas, representaciones semiestables, representaciones de De Rham, representaciones de Hodge-Tate y todas las representaciones p -ádicas. Además, se pueden introducir otras dos categorías de representaciones, las representaciones potencialmente cristalinas Rep _pcris ( K ) y las representaciones potencialmente semiestables Rep _pst ( K ). Este último contiene estrictamente al primero, que a su vez generalmente contiene estrictamente Rep _cris ( K ); Además, Rep _pst ( K ) generalmente contiene estrictamente Rep _st ( K ) y está contenido en Rep _dR ( K ) (con igualdad cuando el campo residual de K es finito, un enunciado llamado teorema de monodromía p-ádica).

Anillos de período e isomorfismos de comparación en geometría aritmética.

La estrategia general de la teoría p -ádica de Hodge, introducida por Fontaine, es construir ciertos llamados anillos de período ^[3] , como B dR , Bst, Bcris y BHT, que tienen tanto una acción de G _K como alguna estructura algebraica lineal. y considerar los llamados módulos Dieudonné

${\displaystyle D_{B}(V)=(B\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}V)^{G_{K}}}$

(donde B es un anillo de período y V es una representación p -ádica) que ya no tienen una acción G _K , pero están dotados de estructuras algebraicas lineales heredadas del anillo B. En particular, son espacios vectoriales sobre el campo fijo . ^[4] Esta construcción encaja en el formalismo de B -representaciones admisibles introducido por Fontaine. Para un anillo de período como los B _∗ antes mencionados (para ∗ = HT, dR, st, cris), la categoría de las representaciones p -ádicas Rep _∗ ( K ) mencionadas anteriormente es la categoría de las admisibles B ∗ , es decir, aquellas p -representaciones ádicas V para las cuales ${\displaystyle E:=B^{G_{K}}}$

${\displaystyle \dim _{E}D_{B_{\ast }}(V)=\dim _{\mathbf {Q} _{p}}V}$

o, de manera equivalente, el morfismo de comparación

${\displaystyle \alpha _{V}:B_{\ast }\otimes _{E}D_{B_{\ast }}(V)\longrightarrow B_{\ast }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}V}$

es un isomorfismo .

Este formalismo (y el nombre del anillo de período) surgió de algunos resultados y conjeturas sobre isomorfismos de comparación en aritmética y geometría compleja :

• Si X es un esquema suave adecuado sobre C , existe un isomorfismo de comparación clásico entre la cohomología algebraica de Rham de X sobre C y la cohomología singular de X ( C ).

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/\mathbf {C} )\cong H^{\ast }(X(\mathbf {C} ),\mathbf {Q} )\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {C} .}$

Este isomorfismo se puede obtener considerando un emparejamiento obtenido integrando formas diferenciales en la cohomología algebraica de Rham sobre ciclos en la cohomología singular. El resultado de tal integración se llama período y generalmente es un número complejo. Esto explica por qué la cohomología singular debe tensarse a C y, desde este punto de vista, se puede decir que C contiene todos los períodos necesarios para comparar la cohomología algebraica de Rham con la cohomología singular y, por lo tanto, podría denominarse anillo de período en esta situación. .

• A mediados de los años sesenta, Tate conjeturó ^[5] que debería aplicarse un isomorfismo similar para los esquemas suaves adecuados X sobre K entre la cohomología algebraica de Rham y la cohomología p -ádica étale (la conjetura de Hodge-Tate, también llamada C _HT ). Específicamente, sea C _K la finalización de una clausura algebraica de K , sea C _K ( i ) denota C _K donde la acción de G _K es a través de g · z = χ( g ) ⁱ g · z (donde χ es el p -carácter ciclotómico ádico , y i es un número entero), y let . Entonces hay un isomorfismo funtorial. ${\displaystyle B_{\mathrm {HT} }:=\oplus _{i\in \mathbf {Z} }\mathbf {C} _{K}(i)}$

${\displaystyle B_{\mathrm {HT} }\otimes _{K}\mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {HT} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

de espacios vectoriales graduados con acción G _K (la cohomología de Rham está equipada con la filtración de Hodge y es su graduada asociada). Esta conjetura fue demostrada por Gerd Faltings a finales de los años ochenta ^[6] después de resultados parciales de varios otros matemáticos (incluido el propio Tate). ${\displaystyle \mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }}$

• Para una variedad abeliana X con buena reducción sobre un campo p -ádico K , Alexander Grothendieck reformuló un teorema de Tate para decir que la cohomología cristalina H ¹ ( X / W ( k )) ⊗ Q _p de la fibra especial (con el método de Frobenius el endomorfismo en este grupo y la filtración de Hodge en este grupo tensor con K ) y la cohomología p -ádica étale H ¹ ( X , Q _p ) (con la acción del grupo Galois de K ) contenían la misma información. Ambos son equivalentes al grupo p -divisible asociado a X , hasta la isogenia. Grothendieck conjeturó que debería haber una manera de pasar directamente de la cohomología p -ádica étale a la cohomología cristalina (y viceversa), para todas las variedades con buena reducción sobre los campos p -ádicos. ^[7] Esta relación sugerida se conoció como el funtor misterioso .

Para mejorar la conjetura de Hodge-Tate a una que involucre la cohomología de De Rham (no solo su grado asociado), Fontaine construyó ^[8] un anillo filtrado B _dR cuyo grado asociado es B _HT y conjeturó ^[9] lo siguiente (llamado C _dR ) para cualquier esquema adecuado y fluido X sobre K

${\displaystyle B_{\mathrm {dR} }\otimes _{K}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {dR} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

como espacios vectoriales filtrados con acción G _K. De esta manera, se podría decir que B _{dR contiene todos los períodos (} p -ádicos) necesarios para comparar la cohomología algebraica de Rham con la cohomología p -ádica étale, tal como se usaron los números complejos anteriores en la comparación con la cohomología singular. De aquí es de donde B _dR obtiene su nombre de anillo de períodos p-ádicos .

De manera similar, para formular una conjetura que explique el misterioso funtor de Grothendieck, Fontaine introdujo un anillo B _cris con G _K -acción, un "Frobenius" φ y una filtración después de extender escalares de K ₀ a K . Conjeturó ^[10] lo siguiente (llamado C _cris ) para cualquier esquema adecuado suave X sobre K con buena reducción

${\displaystyle B_{\mathrm {cris} }\otimes _{K_{0}}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {cris} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

como espacios vectoriales con acción φ, acción G _K y filtración después de extender los escalares a K (aquí se da su estructura como un espacio vectorial K ₀ con acción φ dada por su comparación con la cohomología cristalina). Faltings demostró tanto la conjetura de C _dR como la de C _{cris .} ^[11] ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)}$

Al comparar estas dos conjeturas con la noción de B _∗ -representaciones admisibles anterior, se ve que si X es un esquema suave adecuado sobre K (con buena reducción) y V es la representación p -ádica de Galois obtenida como es su i- ésima p -grupo de cohomología adic étale, entonces

${\displaystyle D_{B_{\ast }}(V)=H_{\mathrm {dR} }^{i}(X/K).}$

En otras palabras, se debe pensar que los módulos de Dieudonné brindan las otras cohomologías relacionadas con V.

A finales de los años ochenta, Fontaine y Uwe Jannsen formularon otra conjetura de isomorfismo de comparación, C _st , esta vez permitiendo que X tuviera una reducción semiestable. Fontaine construyó ^[12] un anillo B _st con acción G _K , un "Frobenius" φ, una filtración después de extender escalares de K ₀ a K (y fijar una extensión del logaritmo p -ádico ) y un "operador de monodromía" norte . Cuando X tiene una reducción semiestable, la cohomología de De Rham puede equiparse con la acción φ y un operador de monodromía mediante su comparación con la cohomología log-cristalina introducida por primera vez por Osamu Hyodo. ^[13] La conjetura luego establece que

${\displaystyle B_{\mathrm {st} }\otimes _{K_{0}}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {st} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

como espacios vectoriales con acción φ, acción G _K , filtración después de extender escalares a K y operador de monodromía N. Esta conjetura fue demostrada a finales de los años noventa por Takeshi Tsuji. ^[14]

Notas

1. En este artículo, un campo local es un campo de valoración discreto completo cuyo campo residual es perfecto .
2. Fontaine 1994, pag. 114
3. Estos anillos dependen del campo local K en cuestión, pero esta relación generalmente se elimina de la notación.
4. Para B = B _HT , B _dR , B _st y B _cris , es K , K , K ₀ y K ₀ , respectivamente, donde K ₀ = Frac( W ( k )), el campo de fracción de los vectores de Witt de k . ${\displaystyle B^{G_{K}}}$
5. Ver Serre 1967
6. Fallos 1988
7. Grothendieck 1971, pág. 435
8. Fuente 1982
9. Fontaine 1982, Conjetura A.6
10. Fontaine 1982, Conjetura A.11
11. Fallos 1989
12. Fontaine 1994, Exposé II, sección 3
13. Hyōdo 1991
14. Tsuji 1999

Ver también

• Teoría de Hodge
• Teoría de Arakelov
• Teoría de Hodge-Arakelov
• teoría p-ádica de Teichmüller

Referencias

Fuentes primarias

• Tate, John (1967), " p -Grupos divisibles"", Actas de una conferencia sobre campos locales , Springer, págs. 158–183, doi :10.1007/978-3-642-87942-5_12, ISBN 978-3-642-87942-5
• Faltings, Gerd (1988), " teoría p -adic de Hodge", Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense , 1 (1): 255–299, doi :10.2307/1990970, JSTOR  1990970, SEÑOR  0924705
• Faltings, Gerd (1989), "Cohomología cristalina y representaciones p -ádicas de Galois", en Igusa, Jun-Ichi (ed.), Análisis algebraico, geometría y teoría de números , Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, págs.25 –80, ISBN 978-0-8018-3841-5, señor  1463696
• Fontaine, Jean-Marc (1982), "Sur ciertos tipos de représentations p -adiques du groupe de Galois d'un corps local; construcción de un anillo de Barsotti–Tate", Annals of Mathematics , 115 (3): 529– 577, doi : 10.2307/2007012, JSTOR  2007012, SEÑOR  0657238
• Grothendieck, Alexander (1971), "Groupes de Barsotti – Tate et cristaux", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Niza, 1970) , vol. 1, págs. 431–436, SEÑOR  0578496
• Hyodo, Osamu (1991), "Sobre el complejo de Rham-Witt adjunto a una familia semiestable", Compositio Mathematica , 78 (3): 241–260, SEÑOR  1106296
• Serre, Jean-Pierre (1967), "Résumé des cours, 1965–66", Annuaire du Collège de France , París, págs. 49–58{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Tsuji, Takeshi (1999), " cohomología p -adic étale y cohomología cristalina en el caso de reducción semiestable", Inventiones Mathematicae , 137 (2): 233–411, Bibcode :1999InMat.137..233T, doi :10.1007/ s002220050330, SEÑOR  1705837, S2CID  121547567

Fuentes secundarias

• Berger, Laurent (2004), "Una introducción a la teoría de las representaciones p -ádicas", Aspectos geométricos de la teoría de Dwork , vol. I, Berlín: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, arXiv : math/0210184 , Bibcode : 2002math.....10184B, ISBN 978-3-11-017478-6, señor  2023292
• Brinón, Olivier; Conrad, Brian (2009), Notas de la escuela de verano de CMI sobre la teoría p-adic de Hodge (PDF) , consultado el 5 de febrero de 2010
• Fontaine, Jean-Marc , ed. (1994), Périodes p-adiques , Astérisque, vol. 223, París: Société Mathématique de France, MR  1293969
• Illusie, Luc (1990), "Cohomologie de de Rham et cohomologie étale p -adique (d'après G. Faltings, J.-M. Fontaine et al.) Exp. 726", Séminaire Bourbaki. vol. 1989/90. Exposiciones 715–729 , Astérisque, vol. 189–190, París: Société Mathématique de France, págs. 325–374, MR  1099881