módulo tate

estructura algebraica

En matemáticas , un módulo Tate de un grupo abeliano, llamado así por John Tate , es un módulo construido a partir de un grupo abeliano A. A menudo, esta construcción se realiza en la siguiente situación: G es un esquema de grupo conmutativo sobre un campo K , K ^s es la clausura separable de K y A  =  G ( K ^s ) (los puntos de G con valores de K s ). En este caso, el módulo Tate de A está equipado con una acción del grupo absoluto de Galois de K , y se denomina módulo Tate de G.

Definición

Dado un grupo abeliano A y un número primo p , el módulo de Tate p -ádico de A es

${\displaystyle T_{p}(A)={\underset {\longleftarrow }{\lim }}A[p^{n}]}$

donde A [ p ⁿ ] es la torsión p n de A (es decir, el núcleo del mapa de multiplicación por p ⁿ ), y el límite inverso está sobre enteros positivos n con morfismos de transición dados por el mapa de multiplicación por p A [ p ^{norte +1} ] → A [ p ^norte ]. Por lo tanto, el módulo Tate codifica toda la torsión de potencia p de A. Está equipado con la estructura de un módulo Z p mediante

${\displaystyle z(a_{n})_{n}=((z{\text{ mod }}p^{n})a_{n})_{n}.}$

Ejemplos

El módulo Tate

Cuando el grupo abeliano A es el grupo de raíces de la unidad en un cierre separable K ^s de K , el módulo Tate p -ádico de A a veces se denomina módulo Tate (donde la elección de p y K se entiende tácitamente). Es un módulo de rango uno libre sobre Z _p con una acción lineal del grupo absoluto de Galois G _K de K . Por lo tanto, es una representación de Galois también conocida como carácter ciclotómico p -ádico de K. También se puede considerar como el módulo Tate del esquema de grupo multiplicativo G _{m , K} sobre K.

El módulo Tate de una variedad abeliana.

Dada una variedad abeliana G sobre un campo K , los puntos de G con valores K ^s son un grupo abeliano. El módulo p -ádico de Tate T _p ( G ) de G es una representación de Galois (del grupo absoluto de Galois, G _K , de K ).

Los resultados clásicos en variedades abelianas muestran que si K tiene la característica cero , o la característica ℓ donde el número primo p ≠ ℓ, entonces T _p ( G ) es un módulo libre sobre Z _p de rango 2 d , donde d es la dimensión de G . ^[1] En el otro caso, sigue siendo libre, pero el rango puede tomar cualquier valor de 0 a d (ver, por ejemplo, la matriz de Hasse-Witt ).

En el caso en que p no es igual a la característica de K , el módulo Tate p -ádico de G es el dual de la cohomología étale . ${\displaystyle H_{\text{et}}^{1}(G\times _{K}K^{s},\mathbf {Z} _{p})}$

Un caso especial de la conjetura de Tate puede expresarse en términos de módulos de Tate. ^[2] Supongamos que K se genera de forma finita sobre su campo primo (por ejemplo, un campo finito , un campo de números algebraicos , un campo de función global ), de característica diferente de p , y A y B son dos variedades abelianas sobre K. La conjetura de Tate predice entonces que

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,B)\otimes \mathbf {Z} _{p}\cong \mathrm {Hom} _{G_{K}}(T_{p}(A),T_{p}(B))}$

donde Hom _K ( A , B ) es el grupo de morfismos de variedades abelianas de A a B , y el lado derecho es el grupo de G _K -maps lineales de T _p ( A ) a T _p ( B ). El caso en el que K es un cuerpo finito fue demostrado por el propio Tate en los años 1960. ^[3] Gerd Faltings demostró el caso en el que K es un campo numérico en su célebre "artículo Mordell". ^[4]

En el caso de un jacobiano sobre una curva C sobre un campo finito k de característica prima para p , el módulo de Tate se puede identificar con el grupo de Galois de la extensión compuesta.

${\displaystyle k(C)\subset {\hat {k}}(C)\subset A^{(p)}\ }$

donde es una extensión de k que contiene todas las raíces de potencia p de la unidad y A ^{( p ) es la extensión} p abeliana máxima no ramificada de . ^[5] ${\displaystyle {\hat {k}}}$ ${\displaystyle {\hat {k}}(C)}$

Módulo Tate de un campo numérico.

La descripción del módulo Tate para el campo funcional de una curva sobre un campo finito sugiere una definición para un módulo Tate de un campo numérico algebraico , la otra clase de campo global , introducida por Kenkichi Iwasawa . Para un campo numérico K, dejamos que K _m denote la extensión por p ^m -raíces de potencia de la unidad, la unión de K _m y A ^{( p ) la} p -extensión abeliana máxima no ramificada de . Dejar ${\displaystyle {\hat {K}}}$ ${\displaystyle {\hat {K}}}$

${\displaystyle T_{p}(K)=\mathrm {Gal} (A^{(p)}/{\hat {K}})\ .}$

Entonces T _p ( K ) es un grupo pro- p y, por tanto, un módulo Z _p . Utilizando la teoría de campos de clases se puede describir T _p ( K ) como isomorfo al límite inverso de los grupos de clases C _m de K _m bajo norma. ^[5]

Iwasawa exhibió T _p ( K ) como un módulo sobre la terminación Z _p [[ T ]] y esto implica una fórmula para el exponente de p en el orden de los grupos de clases C _m de la forma

${\displaystyle \lambda m+\mu p^{m}+\kappa \ .}$

El teorema de Ferrero-Washington establece que μ es cero. ^[6]

Ver también

• conjetura de tate
• giro de tate
• Teoría de Iwasawa

Notas

1. Murty 2000, Proposición 13.4
2. Murty 2000, §13.8
3. Tate 1966
4. Fallos 1983
5. Manin y Panchishkin 2007, pág. 245
6. Manin y Panchishkin 2007, pág. 246

Referencias

• Faltings, Gerd (1983), "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern", Inventiones Mathematicae , 73 (3): 349–366, Bibcode :1983InMat..73..349F, doi :10.1007/BF01388432, S2CID  121049418
• "Módulo Tate", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Manín, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007), Introducción a la teoría de números moderna , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, vol. 49 (Segunda ed.), ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN  0938-0396, Zbl  1079.11002
• Murty, V. Kumar (2000), Introducción a las variedades abelianas , Serie de monografías CRM, vol. 3, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-1179-5
• Sección 13 de Rohrlich, David (1994), "Curvas elípticas y el grupo Weil-Deligne", en Kisilevsky, Hershey; Murty, M. Ram (eds.), Curvas elípticas y temas relacionados , CRM Proceedings and Lecture Notes, vol. 4, Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-6994-9
• Tate, John (1966), "Endomorfismos de variedades abelianas sobre campos finitos", Inventiones Mathematicae , 2 (2): 134–144, Bibcode :1966InMat...2..134T, doi :10.1007/bf01404549, MR  0206004, S2CID  245902