En geometría algebraica , los grupos de Barsotti-Tate o grupos p -divisibles son similares a los puntos de orden de una potencia de p sobre una variedad abeliana en característica p . Fueron introducidos por Barsotti (1962) bajo el nombre de hiperdominio equidimensional y por Tate (1967) bajo el nombre de grupos p-divisibles, y nombrados grupos de Barsotti-Tate por Grothendieck (1971).
Definición
Tate (1967) definió un grupo p -divisible de altura h (sobre un esquema S ) como un sistema inductivo de grupos G n para n ≥0, tal que G n es un esquema de grupo finito sobre S de orden p hn y tal que G n es (identificado con) el grupo de elementos de orden divisible por p n en G n +1 .
De manera más general, Grothendieck (1971) definió un grupo de Barsotti–Tate G sobre un esquema S como un haz fppf de grupos conmutativos sobre S que es p -divisible, p -torsión, tal que los puntos G (1) de orden p de G son (representados por) un esquema localmente libre finito. El grupo G (1) tiene rango p h para alguna función localmente constante h en S , llamada rango o altura del grupo G . El subgrupo G ( n ) de puntos de orden p n es un esquema de rango p nh , y G es el límite directo de estos subgrupos.
Ejemplo
- Consideremos G n como el grupo cíclico de orden p n (o más bien el esquema de grupos que le corresponde). Se trata de un grupo p -divisible de altura 1.
- Tome G n como el esquema de grupo de raíces p n -ésimas de 1. Este es un grupo p -divisible de altura 1.
- Consideremos G n como el esquema de subgrupos de elementos de orden p n de una variedad abeliana. Se trata de un grupo p -divisible de altura 2 d donde d es la dimensión de la variedad abeliana.
Referencias
- Barsotti, Iacopo (1962), "Métodos analíticos para variedades abelianas en carácter positivo", Colloq. Théorie des Groupes Algébriques (Bruselas, 1962) , Librairie Universitaire, Lovaina, págs. 77–85, MR 0155827
- Demazure, Michel (1972), Lecciones sobre grupos p-divisibles , Lecture Notes in Mathematics, vol. 302, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0060741, ISBN 978-3-540-06092-5, Sr. 0344261
- Dolgachev, IV (2001) [1994], "Grupo P-divisible", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Grothendieck, Alexander (1971), "Groupes de Barsotti-Tate et cristaux", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Niza, 1970), vol. 1, Gauthier-Villars, págs. 431–436, MR 0578496, archivado desde el original el 25 de noviembre de 2017 , consultado el 25 de noviembre de 2010
- de Jong, AJ (1998), "Grupos y cristales de Barsotti-Tate", Documenta Mathematica , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. II (Berlín, 1998), II : 259–265, ISSN 1431-0635, MR 1648076
- Messing, William (1972), Los cristales asociados a los grupos Barsotti-Tate: con aplicaciones a esquemas abelianos , Lecture Notes in Mathematics, vol. 264, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0058301, MR 0347836
- Serre, Jean-Pierre (1995) [1966], "Grupos p-divisibles (d'après J. Tate), Exp. 318", Séminaire Bourbaki , vol. 10, París: Société Mathématique de France , págs. 73–86, MR 1610452
- Tate, John T. (1967), "p-divisible groups.", en Springer, Tonny A. (ed.), Proc. Conf. Local Fields (Driebergen, 1966) , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR 0231827
