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Geometría aritmética

La curva hiperelíptica definida por tiene sólo un número finito de puntos racionales (como los puntos y ) según el teorema de Faltings .

En matemáticas, la geometría aritmética es, a grandes rasgos, la aplicación de técnicas de la geometría algebraica a problemas de teoría de números . [1] La geometría aritmética se centra en la geometría diofántica , el estudio de los puntos racionales de variedades algebraicas . [2] [3]

En términos más abstractos, la geometría aritmética puede definirse como el estudio de esquemas de tipo finito sobre el espectro del anillo de números enteros . [4]

Descripción general

Los objetos clásicos de interés en geometría aritmética son puntos racionales: conjuntos de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas sobre campos numéricos , campos finitos , campos p-ádicos o campos funcionales , es decir, campos que no son algebraicamente cerrados excluyendo los números reales . Los puntos racionales se pueden caracterizar directamente mediante funciones de altura que miden su complejidad aritmética. [5]

La estructura de variedades algebraicas definidas sobre cuerpos no algebraicamente cerrados se ha convertido en un área central de interés que surgió con el desarrollo abstracto moderno de la geometría algebraica. Sobre campos finitos, la cohomología étale proporciona invariantes topológicos asociados a variedades algebraicas. [6] La teoría p-ádica de Hodge proporciona herramientas para examinar cuándo las propiedades cohomológicas de las variedades sobre números complejos se extienden a aquellas sobre campos p-ádicos . [7]

Historia

Siglo XIX: geometría aritmética temprana

A principios del siglo XIX, Carl Friedrich Gauss observó que existen soluciones enteras distintas de cero a ecuaciones polinómicas homogéneas con coeficientes racionales si existen soluciones racionales distintas de cero. [8]

En la década de 1850, Leopold Kronecker formuló el teorema de Kronecker-Weber , introdujo la teoría de los divisores e hizo muchas otras conexiones entre la teoría de números y el álgebra . Luego conjeturó su " liebster Jugendtraum " ("el sueño más querido de la juventud"), una generalización que más tarde fue propuesta por Hilbert en una forma modificada como su duodécimo problema , que describe el objetivo de que la teoría de números funcione sólo con anillos que son cocientes. de anillos polinomiales sobre los números enteros. [9]

Principios y mediados del siglo XX: desarrollos algebraicos y conjeturas de Weil

A finales de la década de 1920, André Weil demostró profundas conexiones entre la geometría algebraica y la teoría de números con su trabajo doctoral que condujo al teorema de Mordell-Weil , que demuestra que el conjunto de puntos racionales de una variedad abeliana es un grupo abeliano finitamente generado . [10]

Los fundamentos modernos de la geometría algebraica se desarrollaron basándose en el álgebra conmutativa contemporánea , incluida la teoría de la valoración y la teoría de los ideales de Oscar Zariski y otros en las décadas de 1930 y 1940. [11]

En 1949, André Weil planteó las históricas conjeturas de Weil sobre las funciones zeta locales de variedades algebraicas en campos finitos. [12] Estas conjeturas ofrecieron un marco entre la geometría algebraica y la teoría de números que impulsó a Alexander Grothendieck a reformular los fundamentos utilizando la teoría de la gavilla (junto con Jean-Pierre Serre ), y más tarde la teoría de esquemas, en las décadas de 1950 y 1960. [13] Bernard Dwork demostró una de las cuatro conjeturas de Weil (racionalidad de la función zeta local) en 1960. [14] Grothendieck desarrolló la teoría de la cohomología de Étale para probar dos de las conjeturas de Weil (junto con Michael Artin y Jean-Louis Verdier ) mediante 1965. [6] [15] La última de las conjeturas de Weil (análoga a la hipótesis de Riemann ) sería finalmente demostrada en 1974 por Pierre Deligne . [dieciséis]

Mediados y finales del siglo XX: desarrollos en modularidad, métodos p-ádicos y más allá

Entre 1956 y 1957, Yutaka Taniyama y Goro Shimura plantearon la conjetura de Taniyama-Shimura (ahora conocida como teorema de modularidad) que relaciona curvas elípticas con formas modulares . [17] [18] Esta conexión conduciría en última instancia a la primera prueba del último teorema de Fermat en teoría de números a través de técnicas de geometría algebraica de levantamiento de modularidad desarrolladas por Andrew Wiles en 1995. [19]

En la década de 1960, Goro Shimura introdujo las variedades Shimura como generalizaciones de curvas modulares . [20] Desde 1979, las variedades Shimura han jugado un papel crucial en el programa Langlands como un ámbito natural de ejemplos para probar conjeturas. [21]

En artículos de 1977 y 1978, Barry Mazur demostró la conjetura de la torsión dando una lista completa de los posibles subgrupos de torsión de curvas elípticas sobre los números racionales. La primera demostración de Mazur de este teorema dependió de un análisis completo de los puntos racionales en ciertas curvas modulares . [22] [23] En 1996, Loïc Merel amplió la prueba de la conjetura de la torsión a todos los campos numéricos . [24]

En 1983, Gerd Faltings demostró la conjetura de Mordell , demostrando que una curva de género mayor que 1 tiene sólo un número finito de puntos racionales (donde el teorema de Mordell-Weil sólo demuestra la generación finita del conjunto de puntos racionales en contraposición a la finitud). [25] [26]

En 2001, la prueba de las conjeturas locales de Langlands para GL n se basó en la geometría de ciertas variedades de Shimura. [27]

En la década de 2010, Peter Scholze desarrolló espacios perfectoides y nuevas teorías de cohomología en geometría aritmética sobre campos p-ádicos con aplicación a representaciones de Galois y ciertos casos de la conjetura de monodromía de peso . [28] [29]

Ver también

Referencias

  1. ^ Sutherland, Andrew V. (5 de septiembre de 2013). «Introducción a la Geometría Aritmética» (PDF) . Consultado el 22 de marzo de 2019 .
  2. ^ Klarreich, Erica (28 de junio de 2016). "Peter Scholze y el futuro de la geometría aritmética" . Consultado el 22 de marzo de 2019 .
  3. ^ Poonen, Bjorn (2009). «Introducción a la Geometría Aritmética» (PDF) . Consultado el 22 de marzo de 2019 .
  4. ^ Geometría aritmética en el n Lab
  5. ^ Lang, Serge (1997). Estudio de Geometría Diofántica . Springer-Verlag . págs. 43–67. ISBN 3-540-61223-8. Zbl  0869.11051.
  6. ^ ab Grothendieck, Alejandro (1960). "La teoría de la cohomología de variedades algebraicas abstractas". Proc. Internacional. Congreso de Matemáticas. (Edimburgo, 1958) . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 103-118. SEÑOR  0130879.
  7. ^ Serre, Jean-Pierre (1967). "Currículum vitae del curso, 1965-1966". Anuario del Collège de France . París: 49–58.
  8. ^ Mordell, Louis J. (1969). Ecuaciones diofánticas . Prensa académica. pag. 1.ISBN​ 978-0125062503.
  9. ^ Gowers, Timoteo; Barrow-Green, junio; Líder, Imre (2008). El compañero de Princeton para las matemáticas. Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 773–774. ISBN 978-0-691-11880-2.
  10. ^ A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques , Acta Math 52, (1929) p. 281-315, reimpreso en el volumen 1 de sus artículos recopilados ISBN 0-387-90330-5 . 
  11. ^ Zariski, Óscar (2004) [1935]. Abhyankar, Shreeram S .; Lipman, José ; Mumford, David (eds.). Superficies algebraicas. Clásicos de las matemáticas (segunda edición complementada). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58658-6. SEÑOR  0469915.
  12. ^ Weil, André (1949). "Números de soluciones de ecuaciones en campos finitos". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 55 (5): 497–508. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 . ISSN  0002-9904. SEÑOR  0029393.Reimpreso en Oeuvres Scientifiques/Collected Papers de André Weil ISBN 0-387-90330-5 
  13. ^ Serre, Jean-Pierre (1955). "Faisceaux Algebriques Coherentes". Los Anales de las Matemáticas . 61 (2): 197–278. doi :10.2307/1969915. JSTOR  1969915.
  14. ^ Dwork, Bernard (1960). "Sobre la racionalidad de la función zeta de una variedad algebraica". Revista Estadounidense de Matemáticas . 82 (3). Revista estadounidense de matemáticas, vol. 82, núm. 3: 631–648. doi :10.2307/2372974. ISSN  0002-9327. JSTOR  2372974. SEÑOR  0140494.
  15. ^ Grothendieck, Alejandro (1995) [1965]. "Fórmula de Lefschetz y racionalidad de las funciones L". Seminario Bourbaki . vol. 9. París: Société Mathématique de France . págs. 41–55. SEÑOR  1608788.
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  17. ^ Taniyama, Yutaka (1956). "Problema 12". Sugaku (en japonés). 7 : 269.
  18. ^ Shimura, Goro (1989). "Yutaka Taniyama y su época. Recuerdos muy personales". El Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 21 (2): 186–196. doi : 10.1112/blms/21.2.186 . ISSN  0024-6093. SEÑOR  0976064.
  19. ^ Wiles, Andrés (1995). "Curvas elípticas modulares y último teorema de Fermat" (PDF) . Anales de Matemáticas . 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi :10.2307/2118559. JSTOR  2118559. OCLC  37032255. Archivado desde el original (PDF) el 10 de mayo de 2011 . Consultado el 22 de marzo de 2019 . 
  20. ^ Shimura, Goro (2003). Las obras completas de Goro Shimura . Naturaleza Springer. ISBN 978-0387954158.
  21. ^ Langlands, Robert (1979). "Representaciones automórficas, variedades de Shimura y motivos. Ein Märchen" (PDF) . En Borel, Armand ; Casselman, William (eds.). Formas automórficas, representaciones y funciones L: simposio de matemática pura . vol. XXXIII Parte 1. Compañía editorial de Chelsea. págs. 205–246.
  22. ^ Mazur, Barry (1977). "Curvas modulares y el ideal de Eisenstein". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 47 (1): 33–186. doi :10.1007/BF02684339. SEÑOR  0488287.
  23. ^ Mazur, Barry (1978). "Isogenias racionales de primer grado". Invenciones Mathematicae . 44 (2). con apéndice de Dorian Goldfeld : 129–162. Código Bib : 1978 InMat..44..129M. doi :10.1007/BF01390348. SEÑOR  0482230.
  24. ^ Merel, Loïc (1996). "Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres" [Límites de torsión de curvas elípticas sobre campos numéricos]. Inventiones Mathematicae (en francés). 124 (1): 437–449. Código Bib : 1996 InMat.124..437M. doi :10.1007/s002220050059. SEÑOR  1369424.
  25. ^ Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Teoremas de finitud para variedades abelianas en campos numéricos]. Inventiones Mathematicae (en alemán). 73 (3): 349–366. Código Bib : 1983 InMat..73..349F. doi :10.1007/BF01388432. SEÑOR  0718935.
  26. ^ Faltings, Gerd (1984). "Errata: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae (en alemán). 75 (2): 381. doi : 10.1007/BF01388572 . SEÑOR  0732554.
  27. ^ Harris, Michael ; Taylor, Richard (2001). La geometría y cohomología de algunas variedades simples de Shimura. Anales de estudios de matemáticas. vol. 151. Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-09090-0. SEÑOR  1876802.
  28. ^ "Medallas de campo 2018". Unión Matemática Internacional . Consultado el 2 de agosto de 2018 .
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