Las curvas de género > 1 sobre las racionales tienen sólo un número finito de puntos racionales
El teorema de Faltings es un resultado de la geometría aritmética , según el cual una curva de género mayor que 1 en el campo de números racionales tiene sólo un número finito de puntos racionales . Esto fue conjeturado en 1922 por Louis Mordell , y conocido como la conjetura de Mordell hasta su demostración en 1983 por Gerd Faltings . La conjetura se generalizó posteriormente reemplazándola por cualquier campo numérico .![{\displaystyle \mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Fondo
Sea una curva algebraica no singular de género sobre . Entonces el conjunto de puntos racionales puede determinarse de la siguiente manera:
![{\displaystyle g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Cuando , o no hay puntos o hay infinitos puntos. En tales casos, podrá manejarse como una sección cónica .
![{\displaystyle g=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Cuando , si hay puntos, entonces es una curva elíptica y sus puntos racionales forman un grupo abeliano finitamente generado . (Este es el teorema de Mordell , posteriormente generalizado al teorema de Mordell-Weil .) Además, el teorema de torsión de Mazur restringe la estructura del subgrupo de torsión.
![{\displaystyle g=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Cuando , según el teorema de Faltings, tiene sólo un número finito de puntos racionales.
![{\displaystyle g>1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Pruebas
Igor Shafarevich conjeturó que sólo hay un número finito de clases de isomorfismo de variedades abelianas de dimensión fija y grado de polarización fijo sobre un campo numérico fijo con buena reducción fuera de un conjunto finito fijo de lugares . Aleksei Parshin demostró que la conjetura de finitud de Shafarevich implicaría la conjetura de Mordell, utilizando lo que ahora se llama el truco de Parshin.
Gerd Faltings demostró la conjetura de finitud de Shafarevich utilizando una reducción conocida a un caso de la conjetura de Tate , junto con herramientas de la geometría algebraica , incluida la teoría de los modelos de Nerón . La idea principal de la prueba de Faltings es la comparación de las alturas de Faltings y las alturas ingenuas a través de las variedades modulares de Siegel . [a]
Pruebas posteriores
Consecuencias
El artículo de Faltings de 1983 tuvo como consecuencias una serie de afirmaciones que ya se habían conjeturado anteriormente:
- La conjetura de Mordell de que una curva de género mayor que 1 sobre un campo numérico tiene sólo un número finito de puntos racionales;
- El teorema de isogenia de que las variedades abelianas con módulos de Tate isomórficos ( módulos como con acción de Galois) son isógenas .
![{\displaystyle \mathbb {Q} _ {\ell }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un ejemplo de aplicación del teorema de Faltings es a una forma débil del último teorema de Fermat : para cualquier fijo hay como máximo un número finito de soluciones enteras primitivas ( soluciones coprimas por pares ) para , ya que para tales la curva de Fermat tiene género mayor que 1.![{\displaystyle n\geq 4}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Generalizaciones
Debido al teorema de Mordell-Weil , el teorema de Faltings puede reformularse como un enunciado sobre la intersección de una curva con un subgrupo finitamente generado de una variedad abeliana . Generalizar reemplazando por una variedad semibeliana , por una subvariedad arbitraria de y por un subgrupo arbitrario de rango finito conduce a la conjetura de Mordell-Lang , que fue probada en 1995 por McQuillan siguiendo el trabajo de Laurent, Raynaud , Hindry, Vojta y Faltings .![{\displaystyle C}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Gamma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Gamma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Otra generalización de dimensiones superiores del teorema de Faltings es la conjetura de Bombieri-Lang de que si es una variedad pseudocanónica (es decir, una variedad de tipo general) sobre un campo numérico , entonces no es denso en Zariski . Paul Vojta ha planteado conjeturas aún más generales .![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La conjetura de Mordell para campos funcionales fue demostrada por Yuri Ivanovich Manin y por Hans Grauert . En 1990, Robert F. Coleman encontró y solucionó un vacío en la prueba de Manin.
Notas
- ^ "Faltings relaciona las dos nociones de altura mediante el espacio de módulos de Siegel... Es la idea principal de la prueba". Bloch, Spencer (1984). "La prueba de la conjetura de Mordell". El inteligente matemático . 6 (2): 44. doi :10.1007/BF03024155. S2CID 306251.
Citas
Referencias
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