Polinomio homogéneo

Polinomio cuyos términos distintos de cero tienen todos el mismo grado

En matemáticas , un polinomio homogéneo , a veces llamado cuántico en textos antiguos, es un polinomio cuyos términos distintos de cero tienen todos el mismo grado . ^[1] Por ejemplo, es un polinomio homogéneo de grado 5, en dos variables; la suma de los exponentes en cada término es siempre 5. El polinomio no es homogéneo, porque la suma de los exponentes no coincide de término a término. La función definida por un polinomio homogéneo es siempre una función homogénea . ${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$ ${\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+z^{7}}$

Una forma algebraica , o simplemente forma , es una función definida por un polinomio homogéneo. ^{[notas 1]} Una forma binaria es una forma en dos variables. Una forma es también una función definida en un espacio vectorial , que puede expresarse como una función homogénea de las coordenadas sobre cualquier base .

Un polinomio de grado 0 es siempre homogéneo; es simplemente un elemento del campo o anillo de los coeficientes, normalmente llamado constante o escalar. Una forma de grado 1 es una forma lineal . ^{[notas 2]} Una forma de grado 2 es una forma cuadrática . En geometría , la distancia euclidiana es la raíz cuadrada de una forma cuadrática.

Los polinomios homogéneos son omnipresentes en matemáticas y física. ^{[notas 3]} Desempeñan un papel fundamental en la geometría algebraica , ya que una variedad algebraica proyectiva se define como el conjunto de los ceros comunes de un conjunto de polinomios homogéneos.

Propiedades

Un polinomio homogéneo define una función homogénea . Esto significa que, si un polinomio multivariado P es homogéneo de grado d , entonces

${\displaystyle P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

para cada uno en cualquier campo que contenga los coeficientes de P . Por el contrario, si la relación anterior es verdadera para un número infinito de ellos , entonces el polinomio es homogéneo de grado d . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

En particular, si P es homogénea entonces

${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0,}$

para cada Esta propiedad es fundamental en la definición de una variedad proyectiva . ${\displaystyle \lambda .}$

Cualquier polinomio distinto de cero puede descomponerse, de manera única, como una suma de polinomios homogéneos de diferentes grados, que se denominan componentes homogéneos del polinomio.

Dado un anillo de polinomios sobre un cuerpo (o, más generalmente, un anillo ) K , los polinomios homogéneos de grado d forman un espacio vectorial (o un módulo ), comúnmente denotado La descomposición única anterior significa que es la suma directa de (suma sobre todos los números enteros no negativos ). ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle R_{d}.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{d}}$

La dimensión del espacio vectorial (o módulo libre ) es el número de monomios distintos de grado d en n variables (es decir, el número máximo de términos distintos de cero en un polinomio homogéneo de grado d en n variables). Es igual al coeficiente binomial . ${\displaystyle R_{d}}$

${\displaystyle {\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.}$

Los polinomios homogéneos satisfacen la identidad de Euler para funciones homogéneas . Es decir, si P es un polinomio homogéneo de grado d en las indeterminadas que se tiene, cualquiera que sea el anillo conmutativo de los coeficientes, ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$

${\displaystyle dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},}$

donde denota la derivada parcial formal de P con respecto a ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}}$ ${\displaystyle x_{i}.}$

Homogeneización

Un polinomio no homogéneo P ( x ₁ ,..., x _n ) se puede homogeneizar introduciendo una variable adicional x ₀ y definiendo el polinomio homogéneo a veces denotado ^h P : ^[2]

${\displaystyle {^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),}$

donde d es el grado de P . Por ejemplo, si

${\displaystyle P(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,}$

entonces

${\displaystyle ^{h}\!P(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.}$

Un polinomio homogeneizado se puede deshomogeneizar estableciendo la variable adicional x ₀ = 1. Es decir

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).}$

Véase también

• Polinomio multihomogéneo
• Polinomio cuasi-homogéneo
• Forma diagonal
• Álgebra graduada
• Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert
• Forma multilineal
• Mapa multilineal
• Polarización de una forma algebraica
• Polinomio de Schur
• Símbolo de un operador diferencial

Notas

1. Sin embargo, como algunos autores no hacen una distinción clara entre un polinomio y su función asociada, los términos polinomio homogéneo y forma a veces se consideran sinónimos.
2. Las formas lineales se definen únicamente para espacios vectoriales de dimensión finita y, por lo tanto, deben distinguirse de los funcionales lineales , que se definen para cada espacio vectorial. El término "funcional lineal" rara vez se utiliza para espacios vectoriales de dimensión finita.
3. Los polinomios homogéneos en física a menudo aparecen como consecuencia del análisis dimensional , donde las cantidades medidas deben coincidir en problemas del mundo real.

Referencias

1. Cox, David A. ; Little, John; O'Shea, Donal (2005). Uso de la geometría algebraica. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 185 (2.ª ed.). Springer. pág. 2. ISBN 978-0-387-20733-9.
2. Cox, Little y O'Shea 2005, pág. 35

Enlaces externos

• Medios relacionados con Polinomios homogéneos en Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "Polinomio homogéneo". MathWorld .