Polarización de una forma algebraica

Técnica para expresar un polinomio homogéneo de forma más sencilla añadiendo más variables

En matemáticas , en particular en álgebra , la polarización es una técnica para expresar un polinomio homogéneo de una manera más sencilla mediante la adición de más variables. En concreto, dado un polinomio homogéneo, la polarización produce una forma multilineal simétrica única a partir de la cual se puede recuperar el polinomio original mediante la evaluación a lo largo de una diagonal determinada.

Aunque la técnica es engañosamente simple, tiene aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas abstractas: en particular en la geometría algebraica , la teoría de invariantes y la teoría de la representación . La polarización y las técnicas relacionadas forman las bases de la teoría de invariantes de Weyl.

La técnica

Las ideas fundamentales son las siguientes. Sea un polinomio de variables Supóngase que es homogéneo de grado lo que significa que ${\displaystyle f(\mathbf {u} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d,}$ $${\displaystyle f(t\mathbf {u} )=t^{d}f(\mathbf {u} )\quad {\text{ for all }}t.}$$

Sea una colección de indeterminados con tal que existan variables en total. La forma polar de es un polinomio que es lineal por separado en cada uno (es decir, es multilineal), simétrico en el y tal que ${\displaystyle \mathbf {u} ^{(1)},\mathbf {u} ^{(2)},\ldots ,\mathbf {u} ^{(d)}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)}=\left(u_{1}^{(i)},u_{2}^{(i)},\ldots ,u_{n}^{(i)}\right),}$ ${\displaystyle dn}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle F\left(\mathbf {u} ^{(1)},\mathbf {u} ^{(2)},\ldots ,\mathbf {u} ^{(d)}\right)}$$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)},}$ $${\displaystyle F\left(\mathbf {u} ,\mathbf {u} ,\ldots ,\mathbf {u} \right)=f(\mathbf {u} ).}$$

La forma polar de se da mediante la siguiente construcción En otras palabras, es un múltiplo constante del coeficiente de en la expansión de ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle F\left({\mathbf {u} }^{(1)},\dots ,{\mathbf {u} }^{(d)}\right)={\frac {1}{d!}}{\frac {\partial }{\partial \lambda _{1}}}\dots {\frac {\partial }{\partial \lambda _{d}}}f(\lambda _{1}{\mathbf {u} }^{(1)}+\dots +\lambda _{d}{\mathbf {u} }^{(d)})|_{\lambda =0}.}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\ldots \lambda _{d}}$ ${\displaystyle f\left(\lambda _{1}\mathbf {u} ^{(1)}+\cdots +\lambda _{d}\mathbf {u} ^{(d)}\right).}$

Ejemplos

Un ejemplo cuadrático. Supongamos que y es la forma cuadrática . Entonces, la polarización de es una función en y dada por De manera más general, si es cualquier forma cuadrática, entonces la polarización de concuerda con la conclusión de la identidad de polarización . ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle f(\mathbf {x} )=x^{2}+3xy+2y^{2}.}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{(1)}=\left(x^{(1)},y^{(1)}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{(2)}=\left(x^{(2)},y^{(2)}\right)}$ $${\displaystyle F\left(\mathbf {x} ^{(1)},\mathbf {x} ^{(2)}\right)=x^{(1)}x^{(2)}+{\frac {3}{2}}x^{(2)}y^{(1)}+{\frac {3}{2}}x^{(1)}y^{(2)}+2y^{(1)}y^{(2)}.}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Un ejemplo cúbico. Sea entonces la polarización de está dada por ${\displaystyle f(x,y)=x^{3}+2xy^{2}.}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle F\left(x^{(1)},y^{(1)},x^{(2)},y^{(2)},x^{(3)},y^{(3)}\right)=x^{(1)}x^{(2)}x^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(1)}y^{(2)}y^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(3)}y^{(1)}y^{(2)}+{\frac {2}{3}}x^{(2)}y^{(3)}y^{(1)}.}$$

Detalles matemáticos y consecuencias

La polarización de un polinomio homogéneo de grado es válida sobre cualquier anillo conmutativo en el que sea una unidad. En particular, se cumple sobre cualquier cuerpo de característica cero o cuya característica sea estrictamente mayor que ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d!}$ ${\displaystyle d.}$

El isomorfismo de polarización (por grado)

Para simplificar, sea un campo de característica cero y sea el anillo polinomial en variables sobre Entonces se gradúa por grado , de modo que La polarización de las formas algebraicas induce entonces un isomorfismo de espacios vectoriales en cada grado donde es la -ésima potencia simétrica del espacio -dimensional ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A=k[\mathbf {x} ]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=\bigoplus _{d}A_{d}.}$$ $${\displaystyle A_{d}\cong \operatorname {Sym} ^{d}k^{n}}$$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k^{n}.}$

Estos isomorfismos se pueden expresar independientemente de una base de la siguiente manera. Si es un espacio vectorial de dimensión finita y es el anillo de funciones polinómicas de valores en graduadas por grado homogéneo, entonces la polarización produce un isomorfismo ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle A_{d}\cong \operatorname {Sym} ^{d}V^{*}.}$$

El isomorfismo algebraico

Además, la polarización es compatible con la estructura algebraica en , de modo que donde es el álgebra simétrica completa sobre ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A\cong \operatorname {Sym} ^{\bullet }V^{*}}$$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{\bullet }V^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}.}$

Observaciones

• Para campos de característica positiva se aplican los isomorfismos anteriores si las álgebras graduadas se truncan en el grado ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p-1.}$
• Existen generalizaciones cuando es un espacio vectorial topológico de dimensión infinita . ${\displaystyle V}$

Véase también

• Función homogénea  : función con un comportamiento de escala multiplicativo

Referencias

• Claudio Procesi (2007) Grupos de Lie: una aproximación a través de invariantes y representaciones , Springer, ISBN  9780387260402 .