Forma multilineal

Mapa de múltiples vectores a un campo subyacente de escalares, lineal en cada argumento

En álgebra abstracta y álgebra multilineal , una forma multilineal en un espacio vectorial sobre un campo es un mapa ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle f\colon V^{k}\to K}$

es decir, por separado , lineal en cada uno de sus argumentos. ^[1] De manera más general, se pueden definir formas multilineales en un módulo sobre un anillo conmutativo . Sin embargo, el resto de este artículo sólo considerará formas multilineales en espacios vectoriales de dimensión finita . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$

Una forma multilineal en over se llama tensor ( covariante ) y el espacio vectorial de tales formas generalmente se denota o . ^[2] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{k}(V)}$

Producto tensorial

Dados un tensor y un tensor , un producto , conocido como producto tensorial , puede definirse mediante la propiedad ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {T}}^{\ell }(V)}$ ${\displaystyle f\otimes g\in {\mathcal {T}}^{k+\ell }(V)}$

${\displaystyle (f\otimes g)(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell })=f(v_{1},\ldots ,v_{k})g(v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell }),}$

para todos . El producto tensorial de formas multilineales no es conmutativo; sin embargo es bilineal y asociativo: ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k+\ell }\in V}$

${\displaystyle f\otimes (ag_{1}+bg_{2})=a(f\otimes g_{1})+b(f\otimes g_{2})}$, ${\displaystyle (af_{1}+bf_{2})\otimes g=a(f_{1}\otimes g)+b(f_{2}\otimes g),}$

y

${\displaystyle (f\otimes g)\otimes h=f\otimes (g\otimes h).}$

Si forma una base para un espacio vectorial dimensional y es la base dual correspondiente para el espacio dual , entonces los productos formarán una base para . En consecuencia, tiene dimensión . ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})}$ ${\displaystyle V^{*}={\mathcal {T}}^{1}(V)}$ ${\displaystyle \phi ^{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \phi ^{i_{k}}}$ ${\displaystyle 1\leq i_{1},\ldots ,i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle n^{k}}$

Ejemplos

Formas bilineales

Si , se conoce como forma bilineal . Un ejemplo familiar e importante de una forma bilineal (simétrica) es el producto interno estándar (producto escalar) de vectores. ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle f:V\times V\to K}$

Formas multilineales alternas

Una clase importante de formas multilineales son las formas multilineales alternas , que tienen la propiedad adicional de que ^[3]

${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{1},\ldots ,x_{k}),}$

donde es una permutación y denota su signo (+1 si es par, –1 si es impar). Como consecuencia, las formas multilineales alternas son antisimétricas con respecto al intercambio de dos argumentos cualesquiera (es decir, y ): ${\displaystyle \sigma :\mathbf {N} _{k}\to \mathbf {N} _{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma (p)=q,\sigma (q)=p}$ ${\displaystyle \sigma (i)=i,1\leq i\leq k,i\neq p,q}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{p},\ldots ,x_{q},\ldots ,x_{k})=-f(x_{1},\ldots ,x_{q},\ldots ,x_{p},\ldots ,x_{k}).}$

Con la hipótesis adicional de que la característica del campo no es 2, el ajuste implica como corolario que ; es decir, la forma tiene un valor de 0 siempre que dos de sus argumentos sean iguales. Tenga en cuenta, sin embargo, que algunos autores ^[4] utilizan esta última condición como propiedad definitoria de las formas alternas. Esta definición implica la propiedad dada al comienzo de la sección, pero como se señaló anteriormente, la implicación inversa se cumple sólo cuando . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x_{p}=x_{q}=x}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x,\ldots ,x,\ldots ,x_{k})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$

Una forma multilineal alterna en over se llama multicovector de grado o -covector , y el espacio vectorial de tales formas alternas, un subespacio de , generalmente se denota o, usando la notación para la k isomórfica k- ésima potencia exterior de (la dual espacio de ), . ^[5] Tenga en cuenta que los funcionales lineales (formas 1 multilineales sobre ) se alternan trivialmente, de modo que , mientras que, por convención, las formas 0 se definen como escalares: . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\textstyle \bigwedge ^{k}V^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{1}(V)={\mathcal {T}}^{1}(V)=V^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{0}(V)={\mathcal {T}}^{0}(V)=\mathbb {R} }$

El determinante de matrices, visto como una función argumento de los vectores columna, es un ejemplo importante de forma multilineal alterna. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$

Producto exterior

El producto tensorial de formas multilineales alternas, en general, ya no es alternante. Sin embargo, sumando todas las permutaciones del producto tensorial, teniendo en cuenta la paridad de cada término, se puede definir el producto exterior ( , también conocido como producto de cuña ) de multicovectores, de modo que si y , entonces : ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)}$ ${\displaystyle f\wedge g\in {\mathcal {A}}^{k+\ell }(V)}$

${\displaystyle (f\wedge g)(v_{1},\ldots ,v_{k+\ell })={\frac {1}{k!\ell !}}\sum _{\sigma \in S_{k+\ell }}(\operatorname {sgn}(\sigma ))f(v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (k)})g(v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+\ell )}),}$

donde la suma se toma sobre el conjunto de todas las permutaciones sobre elementos, . El producto exterior es bilineal, asociativo y de alternancia gradual: si y entonces . ${\displaystyle k+\ell }$ ${\displaystyle S_{k+\ell }}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)}$ ${\displaystyle f\wedge g=(-1)^{k\ell }g\wedge f}$

Dada una base y una base dual para los productos exteriores , con una base para la forma . Por tanto, la dimensión de para n -dimensional es . ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})}$ ${\displaystyle V^{*}={\mathcal {A}}^{1}(V)}$ ${\displaystyle \phi ^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \phi ^{i_{k}}}$ ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\textstyle {\tbinom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}}$

Formas diferenciales

Las formas diferenciales son objetos matemáticos construidos a través de espacios tangentes y formas multilineales que se comportan, en muchos sentidos, como diferenciales en el sentido clásico. Aunque conceptual y computacionalmente útiles, los diferenciales se basan en nociones mal definidas de cantidades infinitesimales desarrolladas temprano en la historia del cálculo . Las formas diferenciales proporcionan un marco matemáticamente riguroso y preciso para modernizar esta idea de larga data. Las formas diferenciales son especialmente útiles en cálculo multivariable (análisis) y geometría diferencial porque poseen propiedades de transformación que les permiten integrarse en curvas, superficies y sus análogos de dimensiones superiores ( variedades diferenciables ). Una aplicación de gran alcance es la declaración moderna del teorema de Stokes , una amplia generalización del teorema fundamental del cálculo a dimensiones superiores.

La siguiente sinopsis se basa principalmente en Spivak (1965) ^[6] y Tu (2011). ^[3]

Definición de formas k diferenciales y construcción de formas 1

Para definir formas diferenciales en subconjuntos abiertos , primero necesitamos la noción del espacio tangente de at , generalmente denotado o . El espacio vectorial se puede definir más convenientemente como el conjunto de elementos ( , con fijo ) con suma vectorial y multiplicación escalar definidas por y , respectivamente. Además, si es la base estándar para , entonces es la base estándar análoga para . En otras palabras, cada espacio tangente puede considerarse simplemente como una copia de (un conjunto de vectores tangentes) basado en el punto . La colección (unión disjunta) de espacios tangentes de en absoluto se conoce como paquete tangente de y generalmente se denota . Si bien la definición dada aquí proporciona una descripción simple del espacio tangente de , existen otras construcciones más sofisticadas que son más adecuadas para definir los espacios tangentes de variedades suaves en general ( consulte el artículo sobre espacios tangentes para obtener más detalles ). ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T_{p}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle v_{p}}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v_{p}+w_{p}:=(v+w)_{p}}$ ${\displaystyle a\cdot (v_{p}):=(a\cdot v)_{p}}$ ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle ((e_{1})_{p},\ldots ,(e_{n})_{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle T\mathbb {R} ^{n}:=\bigcup _{p\in \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Una forma diferencial ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ on se define como una función que asigna a cada a -covector en el espacio tangente de at , generalmente denotado . En resumen, una forma diferencial es un campo covector. El espacio de -forms on suele denotarse ; por tanto, si es una forma diferencial , escribimos . Por convención, una función continua en es una forma diferencial 0: . ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p\in U}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega _{p}:=\omega (p)\in {\mathcal {A}}^{k}(\mathbb {R} _{p}^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(U)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f\in C^{0}(U)=\Omega ^{0}(U)}$

Primero construimos formas 1 diferenciales a partir de formas 0 y deducimos algunas de sus propiedades básicas. Para simplificar la discusión a continuación, solo consideraremos formas diferenciales suaves construidas a partir de funciones suaves ( ). Sea una función suave. Definimos la forma 1 en for y by , donde es la derivada total de at . (Recuerde que la derivada total es una transformación lineal). De particular interés son los mapas de proyección (también conocidos como funciones de coordenadas) , definidos por , donde es la i- ésima coordenada estándar de . Las formas 1 se conocen como formas 1 básicas ; se denotan convencionalmente . Si las coordenadas estándar de son , entonces la aplicación de la definición de produce , de modo que , ¿dónde está el delta de Kronecker ? ^[7] Por lo tanto, como dual de la base estándar para , forma una base para . Como consecuencia, si es una forma 1 , entonces se puede escribir como para funciones suaves . Además, podemos derivar una expresión que coincida con la expresión clásica para un diferencial total: ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in U}$ ${\displaystyle v_{p}\in \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle (df)_{p}(v_{p}):=Df|_{p}(v)}$ ${\displaystyle Df|_{p}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pi ^{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto x^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\pi ^{i}}$ ${\displaystyle dx^{i}}$ ${\displaystyle v_{p}\in \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle (v^{1},\ldots ,v^{n})}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle dx_{p}^{i}(v_{p})=v^{i}}$ ${\displaystyle dx_{p}^{i}((e_{j})_{p})=\delta _{j}^{i}}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle (dx_{p}^{1},\ldots ,dx_{p}^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{1}(\mathbb {R} _{p}^{n})=(\mathbb {R} _{p}^{n})^{*}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\textstyle \sum a_{i}\,dx^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle df}$

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}D_{i}f\;dx^{i}={\partial f \over \partial x^{1}}\,dx^{1}+\cdots +{\partial f \over \partial x^{n}}\,dx^{n}.}$

[ Comentarios sobre la notación: En este artículo, seguimos la convención del cálculo tensorial y la geometría diferencial en la que los multivectores y multicovectores se escriben con índices inferior y superior, respectivamente. Dado que las formas diferenciales son campos multicovectores, se emplean índices superiores para indexarlas. ^[3] La regla opuesta se aplica a los componentes de multivectores y multicovectores, que en cambio se escriben con índices superior e inferior, respectivamente. Por ejemplo, representamos las coordenadas estándar del vector como , de modo que en términos de la base estándar . Además, los superíndices que aparecen en el denominador de una expresión (como en ) se tratan como índices inferiores en esta convención. Cuando los índices se aplican e interpretan de esta manera, el número de índices superiores menos el número de índices inferiores en cada término de una expresión se conserva, tanto dentro de la suma como a través de un signo igual, una característica que sirve como un recurso mnemotécnico útil y ayuda a identificar errores cometidos durante el cálculo manual.] ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (v^{1},\ldots ,v^{n})}$ ${\textstyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$

Operaciones básicas en formas k diferenciales.

El producto exterior ( ) y la derivada exterior ( ) son dos operaciones fundamentales sobre formas diferenciales. El producto exterior de una forma y una forma es una forma, mientras que la derivada exterior de una forma es una forma. Así, ambas operaciones generan formas diferenciales de mayor grado respecto de las de menor grado. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (k+\ell )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k+1)}$

El producto exterior de formas diferenciales es un caso especial del producto exterior de multicovectores en general ( ver arriba ). Como ocurre en general con el producto exterior, el producto exterior de formas diferenciales es bilineal, asociativo y de alternancia gradual . ${\displaystyle \wedge :\Omega ^{k}(U)\times \Omega ^{\ell }(U)\to \Omega ^{k+\ell }(U)}$

Más concretamente, si y , entonces ${\displaystyle \omega =a_{i_{1}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$ ${\displaystyle \eta =a_{j_{1}\ldots i_{\ell }}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }}}$

${\displaystyle \omega \wedge \eta =a_{i_{1}\ldots i_{k}}a_{j_{1}\ldots j_{\ell }}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\wedge dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }}.}$

Además, para cualquier conjunto de índices , ${\displaystyle \{\alpha _{1}\ldots ,\alpha _{m}\}}$

${\displaystyle dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}=-dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}.}$

Si , y , entonces los índices de pueden ordenarse en orden ascendente mediante una secuencia (finita) de dichos intercambios. Desde entonces , implica que . Finalmente, como consecuencia de la bilinealidad, si y son sumas de varios términos, su producto exterior obedece a la distributividad respecto de cada uno de estos términos. ${\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$ ${\displaystyle J=\{j_{1},\ldots ,j_{\ell }\}}$ ${\displaystyle I\cap J=\varnothing }$ ${\displaystyle \omega \wedge \eta }$ ${\displaystyle dx^{\alpha }\wedge dx^{\alpha }=0}$ ${\displaystyle I\cap J\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \omega \wedge \eta =0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \eta }$

La colección de productos exteriores de formas 1 básicas constituye una base para el espacio de formas k diferenciales . Por tanto, cualquiera puede escribirse en la forma ${\displaystyle \{dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(U)}$

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}a_{i_{1}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}},\qquad (*)}$

donde están las funciones suaves. Con cada conjunto de índices colocados en orden ascendente, se dice que (*) es la presentación estándar de . ${\displaystyle a_{i_{1}\ldots i_{k}}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$ ${\displaystyle \omega }$

En la sección anterior, la forma 1 se definió tomando la derivada exterior de la forma 0 (función continua) . Ahora ampliamos esto definiendo el operador de derivada exterior para . Si la presentación estándar de -form viene dada por (*), el -form se define por ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d:\Omega ^{k}(U)\to \Omega ^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle d\omega }$

${\displaystyle d\omega :=\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}da_{i_{1}\ldots i_{k}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.}$

Una propiedad de que se cumple para todas las formas suaves es que la segunda derivada exterior de cualquiera desaparece de forma idéntica: . Esto se puede establecer directamente a partir de la definición y la igualdad de derivadas parciales mixtas de funciones de segundo orden ( consulte el artículo sobre formas cerradas y exactas para más detalles ). ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d^{2}\omega =d(d\omega )\equiv 0}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C^{2}}$

Integración de formas diferenciales y teorema de Stokes para cadenas.

Para integrar una forma diferencial en un dominio parametrizado, primero debemos introducir la noción de retroceso de una forma diferencial. En términos generales, cuando se integra una forma diferencial, la aplicación del retroceso la transforma de una manera que explica correctamente un cambio de coordenadas.

Dadas una función y una forma diferenciables , llamamos al retroceso de by y lo definimos como la forma tal que ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \eta \in \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle f^{*}\eta \in \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle (f^{*}\eta )_{p}(v_{1p},\ldots ,v_{kp}):=\eta _{f(p)}(f_{*}(v_{1p}),\ldots ,f_{*}(v_{kp})),}$

para , ¿dónde está el mapa ? ${\displaystyle v_{1p},\ldots ,v_{kp}\in \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle f_{*}:\mathbb {R} _{p}^{n}\to \mathbb {R} _{f(p)}^{m}}$ ${\displaystyle v_{p}\mapsto (Df|_{p}(v))_{f(p)}}$

Si es una forma en (es decir, ), definimos su integral sobre la celda unitaria como la integral de Riemann iterada de : ${\displaystyle \omega =f\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{[0,1]^{n}}\omega =\int _{[0,1]^{n}}f\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}:=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\,dx^{1}\cdots dx^{n}.}$

A continuación, consideramos un dominio de integración parametrizado por una función diferenciable , conocida como n -cubo . Para definir la integral de over , "retrocedemos" desde la unidad n -celda: ${\displaystyle c:[0,1]^{n}\to A\subset \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n}(A)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \int _{c}\omega :=\int _{[0,1]^{n}}c^{*}\omega .}$

Para integrar en dominios más generales, definimos una cadena como la suma formal de cubos y establecemos ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ ${\textstyle C=\sum _{i}n_{i}c_{i}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \int _{C}\omega :=\sum _{i}n_{i}\int _{c_{i}}\omega .}$

Una definición apropiada de la cadena - , conocida como límite de , ^[8] nos permite enunciar el célebre teorema de Stokes (teorema de Stokes-Cartan) para cadenas en un subconjunto de : ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \partial C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Si es una forma ${\displaystyle \omega }$ suave en un conjunto abierto y es una cadena suave en , entonces . ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \int _{C}d\omega =\int _{\partial C}\omega }$

Utilizando maquinaria más sofisticada (p. ej., gérmenes y derivaciones ), se puede definir el espacio tangente de cualquier variedad suave (no necesariamente incrustada en ). De manera análoga, una forma diferencial en una variedad suave general es un mapa . El teorema de Stokes se puede generalizar aún más a variedades arbitrarias suaves con límite e incluso a ciertos dominios "aproximados" ( consulte el artículo sobre el teorema de Stokes para obtener más detalles ). ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle \omega :p\in M\mapsto \omega _{p}\in {\mathcal {A}}^{k}(T_{p}M)}$

Ver también

• mapa bilineal
• Álgebra exterior
• Polinomio homogéneo
• forma lineal
• mapa multilineal

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Forma multilineal". MundoMatemático .
2. Muchos autores usan la convención opuesta, escribiendo para denotar los k -tensores contravariantes en y para denotar los k -tensores covariantes en . ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{k}(V)}$ ${\displaystyle V}$
3. Tu, Loring W. (2011). Introducción a las variedades (2ª ed.). Saltador. págs. 22-23. ISBN 978-1-4419-7399-3.
4. Halmos, Paul R. (1958). Espacios vectoriales de dimensiones finitas (2ª ed.). Van Nostrand. pag. 50.ISBN _ 0-387-90093-4.
5. Spivak utiliza el espacio de -covectores en . Sin embargo, esta notación suele reservarse para el espacio de formas diferenciales en . En este artículo nos referimos a lo último. ${\displaystyle \Omega ^{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(V)}$
6. Spivak, Michael (1965). Cálculo de variedades. WA Benjamin, Inc. págs. 75-146. ISBN 0805390219.
7. El delta de Kronecker generalmente se denota y se define como . Aquí, la notación se utiliza para cumplir con la convención de cálculo tensorial sobre el uso de índices superiores e inferiores. ${\displaystyle \delta _{ij}=\delta (i,j)}$ ${\textstyle \delta :X\times X\to \{0,1\},\ (i,j)\mapsto {\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$
8. La definición formal del límite de una cadena es algo complicada y se omite aquí ( ver Spivak 1965, págs. 98-99 para una discusión ). Intuitivamente, si se asigna a un cuadrado, entonces es una combinación lineal de funciones que se asigna a sus bordes en sentido antihorario. El límite de una cadena es distinto de la noción de límite en la topología de conjuntos de puntos. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \partial C}$