Operador diferencial

Operador típicamente lineal definido en términos de diferenciación de funciones.

Una función armónica definida en un anillo . Las funciones armónicas son exactamente aquellas funciones que se encuentran en el núcleo del operador de Laplace , un operador diferencial importante.

En matemáticas , un operador diferencial es un operador definido como función del operador de diferenciación . Es útil, primero como cuestión de notación, considerar la diferenciación como una operación abstracta que acepta una función y devuelve otra función (al estilo de una función de orden superior en informática ).

Este artículo considera principalmente operadores diferenciales lineales , que son el tipo más común. Sin embargo, también existen operadores diferenciales no lineales, como la derivada de Schwarz .

Definición

Dado un entero no negativo m , un operador diferencial lineal de orden es un mapa de un espacio funcional a otro espacio funcional que se puede escribir como: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$

$${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}$$

índice múltiple de enterosde n ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle D^{\alpha }}$

$${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

Así para una función : ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{1}}$

$${\displaystyle Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

La notación está justificada (es decir, es independiente del orden de diferenciación) debido a la simetría de las segundas derivadas . ${\displaystyle D^{\alpha }}$

El polinomio p obtenido al reemplazar D por variables en P se llama símbolo total de P ; es decir, el símbolo total de P anterior es: ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$$

${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.}$

${\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

se llama símbolo principal de P . Si bien el símbolo total no está intrínsecamente definido, el símbolo principal está intrínsecamente definido (es decir, es una función en el paquete cotangente). ^[1]

De manera más general, sean E y F paquetes de vectores sobre una variedad X. Entonces el operador lineal

${\displaystyle P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$

es un operador diferencial de orden si, en coordenadas locales en X , tenemos ${\displaystyle k}$

${\displaystyle Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{lower-order terms}}}$

donde, para cada índice múltiple α, es un mapa de paquetes , simétrico con respecto a los índices α. ${\displaystyle P^{\alpha }(x):E\to F}$

Los coeficientes de orden k de ^P se transforman en un tensor simétrico.

${\displaystyle \sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F}$

cuyo dominio es el producto tensorial de la k ^-ésima potencia simétrica del fibrado cotangente de X con E , y cuyo codominio es F. Este tensor simétrico se conoce como el símbolo principal (o simplemente el símbolo ) de P.

El sistema de coordenadas x ⁱ permite una trivialización local del paquete cotangente mediante los diferenciales de coordenadas d x ⁱ , que determinan las coordenadas de las fibras ξ _i . En términos de una base de marcos e _μ , f _ν de E y F , respectivamente, el operador diferencial P se descompone en componentes

${\displaystyle (Pu)_{\nu }=\sum _{\mu }P_{\nu \mu }u_{\mu }}$

en cada sección u de E . Aquí P _νμ es el operador diferencial escalar definido por

${\displaystyle P_{\nu \mu }=\sum _{\alpha }P_{\nu \mu }^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}.}$

Con esta trivialización, ahora se puede escribir el símbolo principal

${\displaystyle (\sigma _{P}(\xi )u)_{\nu }=\sum _{|\alpha |=k}\sum _{\mu }P_{\nu \mu }^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }u_{\mu }.}$

En el espacio cotangente sobre un punto fijo x de X , el símbolo define un polinomio homogéneo de grado k con valores en . ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}X}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{x},F_{x})}$

Interpretación de Fourier

Un operador diferencial P y su símbolo aparecen naturalmente en conexión con la transformada de Fourier de la siguiente manera. Sea ƒ una función de Schwartz . Luego, por la transformada inversa de Fourier,

${\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {d}{2}}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Esto muestra P como multiplicador de Fourier . Una clase más general de funciones p ( x , ξ ) que satisfacen como máximo las condiciones de crecimiento polinomial en ξ bajo las cuales esta integral se comporta bien comprende los operadores pseudodiferenciales .

Ejemplos

• El operador diferencial es elíptico si su símbolo es invertible; es decir, para cada valor distinto de cero, el mapa de paquetes es invertible. En una variedad compacta , se deduce de la teoría elíptica que P es un operador de Fredholm : tiene núcleo y cokernel de dimensiones finitas. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \theta \in T^{*}X}$ ${\displaystyle \sigma _{P}(\theta ,\dots ,\theta )}$
• En el estudio de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas y parabólicas , los ceros del símbolo principal corresponden a las características de la ecuación diferencial parcial.
• En aplicaciones a las ciencias físicas, operadores como el operador de Laplace desempeñan un papel importante en el establecimiento y resolución de ecuaciones diferenciales parciales .
• En topología diferencial , los operadores derivada exterior y derivada de Lie tienen un significado intrínseco.
• En álgebra abstracta , el concepto de derivación permite generalizaciones de operadores diferenciales, que no requieren el uso de cálculo. Con frecuencia, estas generalizaciones se emplean en geometría algebraica y álgebra conmutativa . Véase también Jet (matemáticas) .
• En el desarrollo de funciones holomorfas de una variable compleja z = x + i  y , a veces se considera que una función compleja es una función de dos variables reales x e y . Se hace uso de las derivadas de Wirtinger , que son operadores diferenciales parciales:
  $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .}$$
  Este enfoque también se utiliza para estudiar funciones de varias variables complejas y funciones de una variable motora .
• El operador diferencial del , también llamado nabla , es un importante operador diferencial vectorial . Aparece frecuentemente en física en lugares como la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell . En coordenadas cartesianas tridimensionales , del se define como

$${\displaystyle \nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.}$$

Del define el gradiente y se utiliza para calcular la curvatura , la divergencia y el laplaciano de varios objetos.

Historia

El paso conceptual de escribir un operador diferencial como algo independiente se atribuye a Louis François Antoine Arbogast en 1800. ^[2]

Notaciones

El operador diferencial más común es la acción de tomar la derivada . Las notaciones comunes para tomar la primera derivada con respecto a una variable x incluyen:

${\displaystyle {d \over dx}}$, , y . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{x},}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$

Al tomar derivadas de orden n superior , el operador puede escribirse:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}}$, , , o . ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle D_{x}^{n}}$ ${\displaystyle \partial _{x}^{n}}$

La derivada de una función f de un argumento x a veces se da como cualquiera de las siguientes:

${\displaystyle [f(x)]'}$

${\displaystyle f'(x).}$

El uso y creación de la notación D se atribuye a Oliver Heaviside , quien consideró operadores diferenciales de la forma

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

en su estudio de ecuaciones diferenciales .

Uno de los operadores diferenciales vistos con más frecuencia es el operador laplaciano , definido por

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}$

Otro operador diferencial es el operador Θ, u operador theta , definido por ^[3]

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$

A esto a veces también se le llama operador de homogeneidad , porque sus funciones propias son los monomios en z :

$${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }$$

En n variables el operador de homogeneidad viene dado por

$${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$$

Como en una variable, los espacios propios de Θ son los espacios de funciones homogéneas . ( Teorema de la función homogénea de Euler )

Al escribir, siguiendo una convención matemática común, el argumento de un operador diferencial generalmente se coloca en el lado derecho del propio operador. A veces se utiliza una notación alternativa: se denota el resultado de aplicar el operador a la función del lado izquierdo del operador y del lado derecho del operador, y la diferencia obtenida al aplicar el operador diferencial a las funciones de ambos lados. por flechas de la siguiente manera:

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}$

${\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.}$

Esta notación de flecha bidireccional se utiliza con frecuencia para describir la corriente de probabilidad de la mecánica cuántica.

Adjunto de un operador

Dado un operador diferencial lineal ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$$

adjunto ${\displaystyle T^{*}}$

$${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$$

producto escalarproducto interno ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Adjunto formal en una variable

En el espacio funcional de funciones integrables al cuadrado en un intervalo real ( a , b ) , el producto escalar está definido por

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx,}$$

donde la línea sobre f ( x ) denota el conjugado complejo de f ( x ). Si además se agrega la condición de que f o g desaparecen como y , también se puede definir el adjunto de T por ${\displaystyle x\to a}$ ${\displaystyle x\to b}$

$${\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}\left[{\overline {a_{k}(x)}}u\right].}$$

Esta fórmula no depende explícitamente de la definición del producto escalar. Por lo tanto, a veces se elige como definición del operador adjunto. Cuando se define según esta fórmula, se llama adjunto formal de T. ${\displaystyle T^{*}}$

Un operador (formalmente) autoadjunto es un operador igual a su propio operador adjunto (formal).

Varias variables

Si Ω es un dominio en R ⁿ y P un operador diferencial en Ω, entonces el adjunto de P se define en L ² (Ω) por dualidad de manera análoga:

${\displaystyle \langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}}$

para todas las funciones L ^{2 suaves} f , g . Dado que las funciones suaves son densas en L ² , esto define el adjunto en un subconjunto denso de L ² : P ^* es un operador densamente definido .

Ejemplo

El operador Sturm-Liouville es un ejemplo bien conocido de operador autoadjunto formal. Este operador diferencial lineal de segundo orden L se puede escribir en la forma

${\displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.}$

Esta propiedad se puede probar utilizando la definición adjunta formal anterior. ^[4]

Este operador es fundamental para la teoría de Sturm-Liouville , donde se consideran las funciones propias (análogas a los vectores propios ) de este operador.

Propiedades de los operadores diferenciales.

La diferenciación es lineal , es decir

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),}$

${\displaystyle D(af)=a(Df),}$

donde f y g son funciones y a es una constante.

Cualquier polinomio en D con coeficientes de función también es un operador diferencial. También podemos componer operadores diferenciales según la regla

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

Entonces se requiere cierto cuidado: en primer lugar, cualquier coeficiente de función en el operador D ₂ debe ser diferenciable tantas veces como lo requiera la aplicación de D ₁ . Para obtener un anillo de tales operadores debemos suponer derivadas de todos los órdenes de los coeficientes utilizados. En segundo lugar, este anillo no será conmutativo : un operador gD no es lo mismo en general que Dg . Por ejemplo tenemos la relación básica en mecánica cuántica :

${\displaystyle Dx-xD=1.}$

El subanillo de operadores que son polinomios en D con coeficientes constantes es, por el contrario, conmutativo. Se puede caracterizar de otra manera: consta de operadores invariantes de traducción.

Los operadores diferenciales también obedecen al teorema de desplazamiento .

Anillo de operadores diferenciales polinomiales

Anillo de operadores diferenciales polinomiales univariados

Si R es un anillo, sea el anillo polinómico no conmutativo sobre R en las variables D y X , e I el ideal bilateral generado por DX − XD − 1. Entonces el anillo de operadores diferenciales polinomiales univariados sobre R es el anillo cociente . Este es un anillo simple no conmutativo . Cada elemento se puede escribir de forma única como una combinación R -lineal de monomios de la forma . Admite un análogo de la división euclidiana de polinomios . ${\displaystyle R\langle D,X\rangle }$ ${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$ ${\displaystyle X^{a}D^{b}{\text{ mod }}I}$

Los módulos diferenciales ^{[ se necesita aclaración ]} sobre (para la derivación estándar) se pueden identificar con los módulos sobre . ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$

Anillo de operadores diferenciales polinomiales multivariados

Si R es un anillo, sea el anillo polinómico no conmutativo sobre R en las variables , y I el ideal bilateral generado por los elementos. ${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle }$ ${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\displaystyle (D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-\delta _{i,j},\ \ \ D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},\ \ \ X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}}$

para todos, ¿dónde está el delta de Kronecker ? Entonces el anillo de operadores diferenciales polinomiales multivariados sobre R es el anillo cociente . ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I}$

Este es un anillo simple no conmutativo . Cada elemento se puede escribir de forma única como una combinación R -lineal de monomios de la forma . ${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}}$

Descripción independiente de las coordenadas

En geometría diferencial y geometría algebraica, a menudo es conveniente tener una descripción independiente de las coordenadas de los operadores diferenciales entre dos paquetes de vectores . Sean E y F dos paquetes de vectores sobre una variedad diferenciable M. Se dice que un mapeo R -lineal de secciones P  : Γ( E ) → Γ( F ) es un operador diferencial lineal de orden k si factoriza a través del haz de chorros J ^k ( E ). En otras palabras, existe un mapeo lineal de haces de vectores.

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F}$

tal que

${\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}$

donde j ^k : Γ( E ) → Γ( J ^k ( E )) es la prolongación que asocia a cualquier sección de E su k -jet .

Esto simplemente significa que para una sección dada s de E , el valor de P ( s ) en un punto x  ∈  M está completamente determinado por el comportamiento infinitesimal de orden k de s en x . En particular, esto implica que P ( s )( x ) está determinado por el germen de s en x , lo que se expresa diciendo que los operadores diferenciales son locales. Un resultado fundamental es el teorema de Peetre que muestra que lo contrario también es cierto: cualquier operador local (lineal) es diferencial.

Relación con el álgebra conmutativa

Una descripción equivalente, pero puramente algebraica, de los operadores diferenciales lineales es la siguiente: un mapa lineal R P es un operador diferencial lineal de orden k , si para cualquier k  + 1 funciones suaves tenemos ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.}$

Aquí el soporte se define como el conmutador. ${\displaystyle [f,P]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)}$

${\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).}$

Esta caracterización de operadores diferenciales lineales muestra que son asignaciones particulares entre módulos sobre un álgebra conmutativa , lo que permite considerar el concepto como parte del álgebra conmutativa .

Variantes

Un operador diferencial de orden infinito.

Un operador diferencial de orden infinito es (aproximadamente) un operador diferencial cuyo símbolo total es una serie de potencias en lugar de un polinomio.

Operador bidiferencial

Un operador diferencial que actúa sobre dos funciones se llama operador bidiferencial . La noción aparece, por ejemplo, en una estructura de álgebra asociativa sobre una cuantificación de deformación de un álgebra de Poisson. ^[5] ${\displaystyle D(g,f)}$

Operador microdiferencial

Un operador microdiferencial es un tipo de operador en un subconjunto abierto de un paquete cotangente, a diferencia de un subconjunto abierto de una variedad. Se obtiene extendiendo la noción de operador diferencial al paquete cotangente. ^[6]

Ver también

• Operador de diferencia
• operador delta
• Operador elíptico
• Curl (matemáticas)
• calculo fraccionario
• Operador diferencial invariante
• Cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas
• sistema lagrangiano
• Teoría espectral
• Operador energético
• Operador de momento
• operador DBAR
• Operador pseudodiferencial
• Solución fundamental
• Teorema del índice de Atiyah-Singer (sección sobre el símbolo del operador)

Referencias

1. Schapira 1985, 1.1.7
2. James Gasser (editor), A Boole Anthology: estudios clásicos y recientes sobre la lógica de George Boole (2000), p. 169; Libros de Google.
3. EW Weisstein. "Operador Theta" . Consultado el 12 de junio de 2009 .

4. ${\displaystyle {\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}}$

5. Omori, Hideki; Maeda, Y.; Yoshioka, A. (1992). "Cuantización de deformaciones de álgebras de Poisson". Actas de la Academia de Japón, Serie A, Ciencias Matemáticas . 68 (5). doi : 10.3792/PJAA.68.97 . S2CID  119540529.
6. Schapira 1985, § 1.2. § 1.3.

• Freed, Daniel S. (1987), Geometría de los operadores de Dirac , p. 8, CiteSeerX  10.1.1.186.8445
• Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi :10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, señor  0717035.
• Schapira, Pierre (1985). Sistemas microdiferenciales en el dominio complejo. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 269. Saltador. doi :10.1007/978-3-642-61665-5. ISBN 978-3-642-64904-2.
• Wells, RO (1973), Análisis diferencial de variedades complejas , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0.

Otras lecturas

• Fedosov, Boris; Schulze, Bert-Wolfgang; Tarjánov, Nikolai (2002). "Fórmulas de índice analítico para operadores de esquinas elípticas". Anales del Instituto Fourier . 52 (3): 899–982. doi : 10.5802/aif.1906 . ISSN  1777-5310.

enlaces externos

• Medios relacionados con operadores diferenciales en Wikimedia Commons
• "Operador diferencial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]