operador delta

En matemáticas , un operador delta es un operador lineal equivalente a desplazamiento en el espacio vectorial de polinomios en una variable sobre un campo que reduce grados en uno. ${\displaystyle Q\colon \mathbb {K} [x]\longrightarrow \mathbb {K} [x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Decir que es equivalente al desplazamiento significa que si , entonces ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle g(x)=f(x+a)}$

${\displaystyle {(Qg)(x)=(Qf)(x+a)}.\,}$

En otras palabras, si es un "desplazamiento" de , entonces también es un desplazamiento de y tiene el mismo "vector de desplazamiento" . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Qf}$ ${\displaystyle Qg}$ ${\displaystyle a}$

Decir que un operador reduce el grado en uno significa que si es un polinomio de grado , entonces es un polinomio de grado o, en el caso , es 0. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Qf}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle Qf}$

A veces, un operador delta se define como una transformación lineal equivalente a desplazamiento en polinomios en la que se asigna a una constante distinta de cero. Aparentemente más débil que la definición dada anteriormente, se puede demostrar que esta última caracterización es equivalente a la definición establecida cuando tiene característica cero, ya que la equivarianza por desplazamiento es una condición bastante fuerte. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Ejemplos

• El operador de diferencia directa

${\displaystyle (\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,}$

es un operador delta.

• La diferenciación con respecto a x , escrita como D , también es un operador delta.
• Cualquier operador de la forma

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}D^{k}}$

(donde D ⁿ (ƒ) = ƒ ^{( n )} es la n ^- ésima derivada ) con es un operador delta. Se puede demostrar que todos los operadores delta se pueden escribir de esta forma. Por ejemplo, el operador de diferencia proporcionado anteriormente se puede expandir como ${\displaystyle c_{1}\neq 0}$

${\displaystyle \Delta =e^{D}-1=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {D^{k}}{k!}}.}$

• La derivada generalizada del cálculo de escala de tiempo que unifica el operador de diferencia directa con la derivada del cálculo estándar es un operador delta.
• En informática y cibernética , el término "operador delta de tiempo discreto" (δ) generalmente se entiende como un operador de diferencia.

${\displaystyle {(\delta f)(x)={{f(x+\Delta t)-f(x)} \over {\Delta t}}},}$

la aproximación de Euler de la derivada habitual con un tiempo de muestra discreto . La formulación delta obtiene un número significativo de ventajas numéricas en comparación con el operador por turnos en el muestreo rápido. ${\displaystyle \Delta t}$

Polinomios básicos

Cada operador delta tiene una secuencia única de "polinomios básicos", una secuencia polinomial definida por tres condiciones: ${\displaystyle Q}$

• ${\displaystyle p_{0}(x)=1;}$
• ${\displaystyle p_{n}(0)=0;}$
• ${\displaystyle (Qp_{n})(x)=np_{n-1}(x){\text{ for all }}n\in \mathbb {N} .}$

Tal secuencia de polinomios básicos es siempre de tipo binomial y se puede demostrar que no existen otras secuencias de tipo binomial. Si se eliminan las dos primeras condiciones anteriores, entonces la tercera condición dice que esta secuencia polinómica es una secuencia de Sheffer , un concepto más general.

Ver también

• Derivado de Pincherle
• operador de turno
• Cálculo umbral

Referencias

• Nikol'Skii, Nikolai Kapitonovich (1986), Tratado sobre el operador de desplazamiento: teoría de la función espectral , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-15021-5

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Operador Delta". MundoMatemático .