Operador densamente definido

Función que se define en casi todas partes (matemáticas)

En matemáticas –específicamente, en teoría de operadores– un operador densamente definido o un operador parcialmente definido es un tipo de función parcialmente definida . En sentido topológico , es un operador lineal que se define "casi en todas partes". Los operadores densamente definidos a menudo surgen en el análisis funcional como operaciones que uno quisiera aplicar a una clase más grande de objetos que aquellos para los cuales a priori "tienen sentido".

Definición

Un operador lineal densamente definido de un espacio vectorial topológico a otro, es un operador lineal que se define en un subespacio lineal denso y toma valores escritos. A veces esto se abrevia cuando el contexto deja en claro que podría no ser el conjunto. -dominio teórico de ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle T:\operatorname {dom} (T)\subseteq X\to Y.}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T.}$

Ejemplos

Considere el espacio de todas las funciones continuas de valores reales definidas en el intervalo unitario; denotemos el subespacio que consta de todas las funciones continuamente diferenciables . Equiparse con la norma suprema ; esto lo convierte en un verdadero espacio de Banach . El operador de diferenciación dado por ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{1}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{\infty }}$ ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle (\mathrm {D} u)(x)=u'(x)}$$

operador lineal ilimitado ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{1}([0,1];\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle \mathrm {D} }$

$${\displaystyle u_{n}(x)=e^{-nx}\quad {\text{ has }}\quad {\frac {\left\|\mathrm {D} u_{n}\right\|_{\infty }}{\left\|u_{n}\right\|_{\infty }}}=n.}$$

${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} ).}$

La integral de Paley-Wiener , por otro lado, es un ejemplo de extensión continua de un operador densamente definido. En cualquier espacio de Wiener abstracto con adjunto hay un operador lineal continuo natural (de hecho es la inclusión, y es una isometría ) desde hasta debajo que va a la clase de equivalencia de in. Se puede demostrar que es denso en Dado que la inclusión anterior es continuo, hay una extensión lineal continua única de la inclusión al conjunto de Esta extensión es el mapa de Paley-Wiener. ${\displaystyle i:H\to E}$ ${\displaystyle j:=i^{*}:E^{*}\to H,}$ ${\displaystyle j\left(E^{*}\right)}$ ${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle j(f)\in j\left(E^{*}\right)\subseteq H}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle j\left(E^{*}\right)}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle I:H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle j\left(E^{*}\right)\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H.}$

Ver también

• Teorema de Blumberg  : cualquier función real sobre R admite una restricción continua sobre un subconjunto denso de R
• Teorema de gráfico cerrado (análisis funcional)  : teoremas que conectan la continuidad con el cierre de gráficos
• Extensión lineal (álgebra lineal)  – Función matemática, en álgebra linealPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función parcial  : función cuyo dominio real de definición puede ser menor que su dominio aparente

Referencias

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos de Matemática Aplicada 13 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0. SEÑOR  2028503.