En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , un álgebra libre es el análogo no conmutativo de un anillo polinómico, ya que sus elementos pueden describirse como "polinomios" con variables no conmutativas. Asimismo, el anillo polinomial puede considerarse como un álgebra conmutativa libre .
Para R un anillo conmutativo , el álgebra libre ( asociativa , unital ) sobre n indeterminados { X 1 ,..., X n } es el módulo R libre con una base que consta de todas las palabras del alfabeto { X 1 ,.. ., X n } (incluida la palabra vacía, que es la unidad del álgebra libre). Este módulo R se convierte en un álgebra R al definir una multiplicación de la siguiente manera: el producto de dos elementos básicos es la concatenación de las palabras correspondientes:
y el producto de dos elementos arbitrarios del módulo R está, por tanto, determinado de forma única (porque la multiplicación en un R -álgebra debe ser R -bilineal). Esta R -álgebra se denota R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩. Esta construcción puede generalizarse fácilmente a un conjunto arbitrario X de indeterminados.
En resumen, para un conjunto arbitrario , el álgebra R libre ( asociativa , unital ) en X es
con la R -multiplicación bilineal que es la concatenación de palabras, donde X * denota el monoide libre en X (es decir , palabras en las letras Xi ), denota la suma directa externa , y Rw denota el módulo R libre en 1 elemento, el palabra w .
Por ejemplo, en R ⟨ X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ⟩, para escalares α, β, γ, δ ∈ R , un ejemplo concreto de un producto de dos elementos es
.
El anillo polinomial no conmutativo se puede identificar con el anillo monoide sobre R del monoide libre de todas las palabras finitas en Xi .
Dado que las palabras sobre el alfabeto { X 1 , ..., X n } forman una base de R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩, está claro que cualquier elemento de R ⟨ X 1 , ..., X n ⟩ se puede escribir únicamente en la forma:
donde están los elementos de R y todos, excepto un número finito de estos elementos, son cero. Esto explica por qué los elementos de R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩ a menudo se denominan "polinomios no conmutativos" en las "variables" (o "indeterminadas") X 1 ,..., X n ; se dice que los elementos son "coeficientes" de estos polinomios, y el R -álgebra R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩ se llama "álgebra polinomial no conmutativa sobre R en n indeterminados". Tenga en cuenta que, a diferencia de lo que ocurre en un anillo polinómico real , las variables no conmutan . Por ejemplo, X 1 X 2 no es igual a X 2 X 1 .
De manera más general, se puede construir el álgebra libre R ⟨ E ⟩ en cualquier conjunto E de generadores . Dado que los anillos pueden considerarse Z -álgebras, un anillo libre en E puede definirse como el álgebra libre Z ⟨ E ⟩.
Sobre un campo , el álgebra libre sobre n indeterminados se puede construir como el álgebra tensorial en un espacio vectorial n -dimensional . Para un anillo de coeficientes más general, la misma construcción funciona si tomamos el módulo libre en n generadores .
La construcción del álgebra libre sobre E es de naturaleza funcional y satisface una propiedad universal apropiada . El funtor de álgebra libre se deja adjunto al funtor olvidadizo de la categoría de R -álgebras a la categoría de conjuntos .
Las álgebras libres sobre anillos de división son anillos ideales libres .
