Es handelt sich um meinen liebsten Jugendtraum, nämlich um den Nachweis, dass die Abel'schen Gleichungen mit Quadratwurzeln racionaler Zahlen durch die Transformations-Gleichungen elliptischer Functionen mit singularen Moduln grade so erschöpft werden, wie die ganzzahligen Abel'schen Gleichungen durch die Kreisteil ungsgleichungen.
Kronecker en una carta a Dedekind en 1880 reproducida en el volumen V de sus obras completas, página 455
El duodécimo problema de Hilbert es la extensión del teorema de Kronecker-Weber sobre extensiones abelianas de los números racionales a cualquier cuerpo de números base . Es uno de los 23 problemas matemáticos de Hilbert y pide análogos de las raíces de la unidad que generen una familia completa de cuerpos de números adicionales, análogamente a los cuerpos ciclotómicos y sus subcuerpos. Leopold Kronecker describió el complejo problema de la multiplicación como su liebster Jugendtraum , o "sueño más querido de su juventud", por lo que el problema también se conoce como el Jugendtraum de Kronecker .
La teoría clásica de la multiplicación compleja , ahora conocida a menudo como el Jugendtraum de Kronecker , hace esto para el caso de cualquier cuerpo cuadrático imaginario , utilizando funciones modulares y funciones elípticas elegidas con una red de períodos particular relacionada con el cuerpo en cuestión. Goro Shimura extendió esto a cuerpos CM . En el caso especial de cuerpos totalmente reales, Samit Dasgupta y Mahesh Kakde proporcionaron una construcción de la extensión abeliana máxima de cuerpos totalmente reales utilizando la conjetura de Brumer-Stark .
El caso general del duodécimo problema de Hilbert todavía está abierto.
El problema fundamental de la teoría de números algebraicos es describir los campos de números algebraicos . El trabajo de Galois dejó en claro que las extensiones de campo están controladas por ciertos grupos , los grupos de Galois . La situación más simple, que ya está en el límite de lo que se entiende bien, es cuando el grupo en cuestión es abeliano . Todas las extensiones cuadráticas, obtenidas al unir las raíces de un polinomio cuadrático, son abelianas, y su estudio fue iniciado por Gauss . Otro tipo de extensión abeliana del campo Q de números racionales se da al unir las raíces n -ésimas de la unidad, lo que da como resultado los campos ciclotómicos . Gauss ya había demostrado que, de hecho, cada campo cuadrático está contenido en un campo ciclotómico más grande. El teorema de Kronecker-Weber muestra que cualquier extensión abeliana finita de Q está contenida en un campo ciclotómico. La pregunta de Kronecker (y de Hilbert) aborda la situación de un cuerpo numérico algebraico más general K : ¿cuáles son los números algebraicos necesarios para construir todas las extensiones abelianas de K ? La respuesta completa a esta pregunta ha sido completamente elaborada sólo cuando K es un cuerpo cuadrático imaginario o su generalización, un cuerpo CM .
La declaración original de Hilbert de su 12º problema es bastante engañosa: parece implicar que las extensiones abelianas de cuerpos cuadráticos imaginarios son generadas por valores especiales de funciones modulares elípticas, lo cual no es correcto. (Es difícil decir exactamente lo que Hilbert estaba diciendo, un problema es que puede haber estado usando el término "función elíptica" para referirse tanto a la función elíptica ℘ como a la función modular elíptica j ). Primero también es necesario usar raíces de la unidad, aunque Hilbert puede haber querido implícitamente incluirlas. Más seriamente, mientras que los valores de las funciones modulares elípticas generan el cuerpo de clase de Hilbert , para extensiones abelianas más generales también es necesario usar valores de funciones elípticas. Por ejemplo, la extensión abeliana no es generada por módulos singulares y raíces de la unidad.
Una forma particularmente atractiva de enunciar el teorema de Kronecker-Weber es decir que la extensión abeliana máxima de Q se puede obtener adjuntando los valores especiales exp(2 π i / n ) de la función exponencial . De manera similar, la teoría de la multiplicación compleja muestra que la extensión abeliana máxima de Q ( τ ), donde τ es una irracionalidad cuadrática imaginaria, se puede obtener adjuntando los valores especiales de ℘( τ , z ) y j ( τ ) de las funciones modulares j y las funciones elípticas ℘, y raíces de la unidad, donde τ está en el cuerpo cuadrático imaginario y z representa un punto de torsión en la curva elíptica correspondiente. Una interpretación del duodécimo problema de Hilbert pide proporcionar un análogo adecuado de funciones exponenciales, elípticas o modulares, cuyos valores especiales generarían la extensión abeliana máxima K ab de un cuerpo numérico general K . En esta forma, permanece sin resolver. Una descripción del campo K ab se obtuvo en la teoría de campos de clases , desarrollada por el propio Hilbert , Emil Artin y otros en la primera mitad del siglo XX. [nota 1] Sin embargo, la construcción de K ab en la teoría de campos de clases implica primero construir extensiones no abelianas más grandes utilizando la teoría de Kummer y luego reducir a las extensiones abelianas, por lo que realmente no resuelve el problema de Hilbert que pide una construcción más directa de las extensiones abelianas.
Los desarrollos desde alrededor de 1960 ciertamente han contribuido. Antes de eso, Hecke (1912) en su disertación utilizó formas modulares de Hilbert para estudiar extensiones abelianas de cuerpos cuadráticos reales . La multiplicación compleja de variedades abelianas fue un área abierta por el trabajo de Shimura y Taniyama . Esto da lugar a extensiones abelianas de cuerpos CM en general. La pregunta de qué extensiones se pueden encontrar es la de los módulos de Tate de tales variedades, como representaciones de Galois . Dado que este es el caso más accesible de cohomología ℓ-ádica , estas representaciones se han estudiado en profundidad.
Robert Langlands argumentó en 1973 que la versión moderna del Jugendtraum debería ocuparse de las funciones zeta de Hasse-Weil de las variedades de Shimura . Si bien imaginó un programa grandioso que llevaría el tema mucho más allá, más de treinta años después siguen existiendo serias dudas sobre su importancia para la pregunta que Hilbert planteó.
Un desarrollo aparte fue la conjetura de Stark (en el caso abeliano de rango uno), que en contraste abordó directamente la cuestión de encontrar unidades particulares que generen extensiones abelianas de cuerpos numéricos y describan coeficientes principales de funciones L de Artin . En 2021, Dasgupta y Kakde anunciaron una solución p -ádica para encontrar la extensión abeliana máxima de cuerpos totalmente reales al demostrar la conjetura integral de Gross-Stark para unidades de Brumer-Stark. [1] [2]
![{\displaystyle \mathbf {Q} (i,{\sqrt[{4}]{1+2i}})/\mathbf {Q} (i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eeb29c282fb30147ba140ab3ce6e8ebbd7218aa)