Campo CM

Campo de multiplicación complejo

En matemáticas , un cuerpo CM es un tipo particular de cuerpo numérico , llamado así por su estrecha relación con la teoría de la multiplicación compleja . Otro nombre utilizado es cuerpo J.

La abreviatura "CM" fue introducida por (Shimura y Taniyama 1961).

Definición formal

Un cuerpo numérico K es un cuerpo CM si es una extensión cuadrática K / F donde el cuerpo base F es totalmente real pero K es totalmente imaginario . Es decir, cada incrustación de F en se encuentra completamente dentro de , pero no hay incrustación de K en . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

En otras palabras, existe un subcuerpo F de K tal que K se genera sobre F por una sola raíz cuadrada de un elemento, digamos β = , de tal manera que el polinomio mínimo de β sobre el cuerpo de números racionales tiene todas sus raíces números complejos no reales . Para esto α debe elegirse totalmente negativo , de modo que para cada incrustación σ de en el cuerpo de números reales, σ(α) < 0. ${\displaystyle {\sqrt {\alpha }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle F}$

Propiedades

Una característica de un cuerpo CM es que la conjugación compleja en induce un automorfismo en el cuerpo que es independiente de su inserción en . En la notación dada, debe cambiar el signo de β. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Un cuerpo de números K es un cuerpo CM si y sólo si tiene un "defecto de unidades", es decir, si contiene un subcuerpo propio F cuyo grupo de unidades tiene el mismo rango que el de K (Remak 1954). De hecho, F es el subcuerpo totalmente real de K mencionado anteriormente. Esto se desprende del teorema de unidades de Dirichlet . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ejemplos

• El ejemplo más simple y motivador de un campo CM es un campo cuadrático imaginario , para el cual el subcampo totalmente real es simplemente el campo de los racionales.
• Uno de los ejemplos más importantes de un cuerpo CM es el cuerpo ciclotómico , que se genera a partir de una raíz primitiva n-ésima de la unidad . Es una extensión cuadrática totalmente imaginaria del cuerpo totalmente real . Este último es el cuerpo fijo de conjugación compleja , y se obtiene a partir de él adjuntando una raíz cuadrada de ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}).}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \zeta _{n}^{2}+\zeta _{n}^{-2}-2=(\zeta _{n}-\zeta _{n}^{-1})^{2}.}$
• La unión Q ^CM de todos los cuerpos CM es similar a un cuerpo CM excepto que tiene grado infinito. Es una extensión cuadrática de la unión de todos los cuerpos totalmente reales Q ^R . El grupo de Galois absoluto Gal( Q / Q ^R ) es generado (como un subgrupo cerrado) por todos los elementos de orden 2 en Gal( Q / Q ), y Gal( Q / Q ^CM ) es un subgrupo de índice 2. El grupo de Galois Gal( Q ^CM / Q ) tiene un centro generado por un elemento de orden 2 (conjugación compleja) y el cociente por su centro es el grupo Gal( Q ^R / Q ).
• Si V es una variedad abeliana compleja de dimensión n , entonces cualquier álgebra abeliana F de endomorfismos de V tiene rango como máximo 2 n sobre Z . Si tiene rango 2 n y V es simple entonces F es un orden en un cuerpo CM. A la inversa, cualquier cuerpo CM surge así de alguna variedad abeliana compleja simple, única hasta la isogenia.
• Un ejemplo de un campo totalmente imaginario que no es CM es el campo numérico definido por el polinomio . ${\displaystyle x^{4}+x^{3}-x^{2}-x+1}$

Referencias

• Remak, Robert (1954), "Über algebraische Zahlkörper mit schwachem Einheitsdefekt", Compositio Mathematica (en alemán), 12 : 35–80, Zbl  0055.26805
• Shimura, Goro (1971), Introducción a la teoría aritmética de funciones automórficas , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, vol. 11, Princeton, NJ: Princeton University Press
• Shimura, Goro; Taniyama, Yutaka (1961), Multiplicación compleja de variedades abelianas y sus aplicaciones a la teoría de números , Publications of the Mathematical Society of Japan, vol. 6, Tokio: The Mathematical Society of Japan, MR  0125113
• Washington, Lawrence C. (1996). Introducción a los campos ciclotómicos (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94762-0.Zbl 0966.11047  .