Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch

Sobre la característica de Euler de un paquete de vectores holomorfos en una variedad compleja compacta

En matemáticas , el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , que lleva el nombre de Friedrich Hirzebruch , Bernhard Riemann y Gustav Roch , es el resultado de Hirzebruch de 1954 que generaliza el teorema clásico de Riemann-Roch en superficies de Riemann a todas las variedades algebraicas complejas de dimensiones superiores. El resultado allanó el camino para que el teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch se demostrara unos tres años después.

Declaración del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch

El teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch se aplica a cualquier paquete de vectores holomorfos E en una variedad compleja compacta X , para calcular la característica holomorfa de Euler de E en cohomología de gavilla , es decir, la suma alterna

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\dim _{\mathbb {C} }H^{i}(X,E)}$

de las dimensiones como espacios vectoriales complejos, donde n es la dimensión compleja de X .

El teorema de Hirzebruch establece que χ( X , E ) es computable en términos de las clases de Chern c _k ( E ) de E , y las clases de Todd del paquete tangente holomórfico de X. Todos estos se encuentran en el anillo de cohomología de X ; mediante el uso de la clase fundamental (o, en otras palabras, integración sobre X ) podemos obtener números de clases en La fórmula de Hirzebruch afirma que ${\displaystyle \operatorname {td} _{j}(X)}$ ${\displaystyle H^{2n}(X).}$

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum \operatorname {ch} _{n-j}(E)\operatorname {td} _{j}(X),}$

donde la suma se toma sobre todos los j relevantes (entonces 0 ≤ j ≤ n ), utilizando el carácter de Chern ch( E ) en cohomología. En otras palabras, los productos se forman en el anillo de cohomología de todos los grados "coincidentes" que suman 2 n . Formulado de manera diferente, da la igualdad.

${\displaystyle \chi (X,E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {td} (X)}$

¿ Dónde está la clase de Todd del paquete tangente de X ? ${\displaystyle \operatorname {td} (X)}$

Casos especiales importantes son cuando E es un haz de líneas complejo y cuando X es una superficie algebraica ( fórmula de Noether ). El teorema de Riemann-Roch de Weil para paquetes de vectores en curvas y el teorema de Riemann-Roch para superficies algebraicas (ver más abajo) están incluidos en su alcance. La fórmula también expresa de manera precisa la vaga noción de que las clases de Todd son en cierto sentido recíprocas del carácter de Chern .

Teorema de Riemann Roch para curvas

Para las curvas, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es esencialmente el teorema clásico de Riemann-Roch . Para ver esto, recordemos que para cada divisor D en una curva hay un haz invertible O( D ) (que corresponde a un haz de líneas) tal que el sistema lineal de D es más o menos el espacio de secciones de O( D ) . Para las curvas, la clase de Todd es y el carácter de Chern de una gavilla O( D ) es simplemente 1+ c ₁ (O( D )), por lo que el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch establece que ${\displaystyle 1+c_{1}(T(X))/2,}$

${\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(D))-h^{1}({\mathcal {O}}(D))=c_{1}({\mathcal {O}}(D))+c_{1}(T(X))/2\ \ \ }$(integrado sobre X ).

Pero h ⁰ (O( D )) es simplemente l ( D ), la dimensión del sistema lineal de D , y por dualidad de Serre h ¹ (O( D )) = h ⁰ (O( K  −  D )) = l ( K  −  D ) donde K es el divisor canónico . Además, c ₁ (O( D )) integrado sobre X es el grado de D , y c ₁ ( T ( X )) integrado sobre X es la clase de Euler 2 − 2 g de la curva X , donde g es el género. Entonces obtenemos el teorema clásico de Riemann Roch.

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)={\text{deg}}(D)+1-g.}$

Para paquetes de vectores V , el carácter de Chern es rango ( V ) + c ₁ ( V ), por lo que obtenemos el teorema de Riemann Roch de Weil para paquetes de vectores sobre curvas:

${\displaystyle h^{0}(V)-h^{1}(V)=c_{1}(V)+\operatorname {rank} (V)(1-g).}$

Teorema de Riemann Roch para superficies

Para superficies, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es esencialmente el teorema de Riemann-Roch para superficies

${\displaystyle \chi (D)=\chi ({\mathcal {O}})+((D.D)-(D.K))/2.}$

combinado con la fórmula de Noether.

Si queremos, podemos usar la dualidad de Serre para expresar h ² (O( D )) como h ⁰ (O( K  −  D )), pero a diferencia del caso de las curvas, en general no existe una manera fácil de escribir h ¹ ( O( D )) término en una forma que no implica cohomología de gavilla (aunque en la práctica a menudo desaparece).

Riemann-Roch asintótico

Sea D un divisor amplio de Cartier en una variedad proyectiva irreducible X de dimensión n . Entonces

${\displaystyle h^{0}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)={\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

De manera más general, si hay algún haz coherente en X entonces ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle h^{0}\left(X,{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)=\operatorname {rank} ({\mathcal {F}}){\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

Ver también

• Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch : contiene muchos cálculos y ejemplos
• Polinomio de Hilbert : HRR se puede utilizar para calcular polinomios de Hilbert

Referencias

• Friedrich Hirzebruch , Métodos topológicos en geometría algebraica ISBN  3-540-58663-6

enlaces externos

• El teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch