Esquema de Hilbert

Esquema de módulos de subesquemas de un esquema, representa el funtor de familia plana de subesquemas

En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , un esquema de Hilbert es un esquema que es el espacio de parámetros para los subesquemas cerrados de algún espacio proyectivo (o un esquema proyectivo más general), refinando la variedad de Chow . El esquema de Hilbert es una unión disjunta de subesquemas proyectivos correspondientes a polinomios de Hilbert . La teoría básica de los esquemas de Hilbert fue desarrollada por Alexander Grothendieck  (1961). El ejemplo de Hironaka muestra que las variedades no proyectivas no necesitan tener esquemas de Hilbert.

Esquema de Hilbert del espacio proyectivo

El esquema de Hilbert clasifica los subesquemas cerrados del espacio proyectivo en el siguiente sentido: Para cualquier esquema localmente noetheriano S , el conjunto de puntos con valores S ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (S,\mathbf {Hilb} (n))}$

del esquema de Hilbert es naturalmente isomorfo al conjunto de subesquemas cerrados de que son planos sobre S . Los subesquemas cerrados de que son planos sobre S pueden considerarse informalmente como las familias de subesquemas del espacio proyectivo parametrizados por S . El esquema de Hilbert se descompone como una unión disjunta de piezas correspondientes al esquema de Hilbert de los subesquemas del espacio proyectivo con el polinomio de Hilbert P . Cada una de estas piezas es proyectiva sobre . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times S}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times S}$ ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n)}$ ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n,P)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$

La construcción como variedad determinante

Grothendieck construyó el esquema de Hilbert del espacio proyectivo de dimensión 1 como un subesquema de un Grassmanniano definido por la desaparición de varios determinantes . Su propiedad fundamental es que para un esquema , representa el funtor cuyos puntos valuados son los subesquemas cerrados de que son planos sobre . ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times T}$ ${\displaystyle T}$

Si es un subesquema del espacio proyectivo -dimensional, entonces corresponde a un ideal graduado del anillo polinómico en variables, con partes graduadas . Para grupos de cohomología superiores de suficientemente grandes con coeficientes en se anulan. Usando la secuencia exacta ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I_{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle I_{X}^{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m)}$

${\displaystyle 0\to I_{X}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

tenemos tiene dimensión , donde es el polinomio de Hilbert del espacio proyectivo. Esto se puede demostrar tensando la secuencia exacta anterior por los haces localmente planos , dando una secuencia exacta donde los dos últimos términos tienen cohomología trivial, lo que implica la trivialidad de la cohomología superior de . Nótese que estamos usando la igualdad del polinomio de Hilbert de un haz coherente con la característica de Euler de sus grupos de cohomología de haces. ${\displaystyle I_{X}^{m}=\Gamma (I_{X}\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m))}$ ${\displaystyle Q(m)-P_{X}(m)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m)}$ ${\displaystyle I_{X}(m)}$

Elija un valor suficientemente grande de . El espacio -dimensional es un subespacio del espacio -dimensional , por lo que representa un punto del Grassmanniano . Esto dará una incrustación de la parte del esquema de Hilbert correspondiente al polinomio de Hilbert en este Grassmanniano. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (Q(m)-P_{X}(m))}$ ${\displaystyle I_{X}^{m}}$ ${\displaystyle Q(m)}$ ${\displaystyle S^{m}}$ ${\displaystyle {\textbf {Gr}}(Q(m)-P_{X}(m),Q(m))}$ ${\displaystyle P_{X}}$

Queda por describir la estructura del esquema en esta imagen, es decir, describir suficientes elementos para el ideal correspondiente a ella. Suficientes elementos de este tipo están dados por las condiciones de que la función I _X ( m ) ⊗ S ( k ) → S ( k + m ) tenga rango como máximo dim( I _X ( k + m )) para todo k positivo , lo que es equivalente a la desaparición de varios determinantes. (Un análisis más cuidadoso muestra que es suficiente tomar k = 1. )

Universalidad

Dado un subesquema cerrado sobre un cuerpo con polinomio de Hilbert , el esquema de Hilbert H= Hilb ( n , P ) tiene un subesquema universal plano sobre tal que ${\displaystyle Y\subset \mathbb {P} _{k}^{n}=X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle W\subset X\times H}$ ${\displaystyle H}$

• Las fibras sobre puntos cerrados son subesquemas cerrados de . Para denotar este punto como . ${\displaystyle W_{x}}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subset X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [Y]\in H}$
• ${\displaystyle H}$es universal con respecto a todas las familias planas de subesquemas de que tienen polinomio de Hilbert . Es decir, dado un esquema y una familia plana , existe un morfismo único tal que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle W'\subset X\times T}$ ${\displaystyle \phi :T\to H}$ ${\displaystyle \phi ^{*}W\cong W'}$

Espacio tangente

El espacio tangente del punto está dado por las secciones globales del fibrado normal ; es decir, ${\displaystyle [Y]\in H}$ ${\displaystyle N_{Y/X}}$

${\displaystyle T_{[Y]}H=H^{0}(Y,N_{Y/X})}$

Libre circulación de intersecciones completas

Para intersecciones locales completas tales que , el punto es liso. Esto implica que ninguna deformación de en está obstruida. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H^{1}(Y,N_{X/Y})=0}$ ${\displaystyle [Y]\in H}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Dimensión del espacio tangente

En el caso , la dimensión de at es mayor o igual a . ${\displaystyle H^{1}(Y,N_{X/Y})\neq 0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle [Y]}$ ${\displaystyle h^{0}(Y,N_{X/Y})-h^{1}(Y,N_{X/Y})}$

Además de estas propiedades, Francis Sowerby Macaulay  (1927) determinó para qué polinomios el esquema de Hilbert no es vacío, y Robin Hartshorne  (1966) demostró que si no es vacío entonces es linealmente conexo. Por lo tanto, dos subesquemas del espacio proyectivo están en el mismo componente conexo del esquema de Hilbert si y solo si tienen el mismo polinomio de Hilbert. ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n,P)}$ ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n,P)}$

Los esquemas de Hilbert pueden tener singularidades malas, como componentes irreducibles que no se reducen en ninguno de sus puntos. También pueden tener componentes irreducibles de dimensión inesperadamente alta. Por ejemplo, se podría esperar que el esquema de Hilbert de d puntos (más precisamente, de dimensión 0, longitud d subesquemas) de un esquema de dimensión n tenga dimensión dn , pero si n ≥ 3 sus componentes irreducibles pueden tener una dimensión mucho mayor.

Interpretación funcional

Existe una interpretación alternativa del esquema de Hilbert que conduce a una generalización de los esquemas de Hilbert relativos parametrizando subesquemas de un esquema relativo. Para un esquema de base fija , sean y sean ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\in (Sch/S)}$

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/S}:(Sch/S)^{op}\to Sets}$

sea ​​el funtor que envía un esquema relativo al conjunto de clases de isomorfismo del conjunto ${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/S}(T)=\left\{{\begin{matrix}Z&\hookrightarrow &X\times _{S}T&\to &X\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\T&=&T&\to &S\end{matrix}}:Z\to T{\text{ is flat}}\right\}/\sim }$

donde la relación de equivalencia está dada por las clases de isomorfismo de . Esta construcción es funcional al tomar pullbacks de familias. Dado , hay una familia sobre . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f:T'\to T}$ ${\displaystyle f^{*}Z=Z\times _{T}T'}$ ${\displaystyle T'}$

Representabilidad para mapas proyectivos

Si la función estructural es proyectiva, entonces este funtor se representa mediante el esquema de Hilbert construido anteriormente. Para generalizar esto al caso de funciones de tipo finito se requiere la tecnología de espacios algebraicos desarrollada por Artin. ^[1] ${\displaystyle X\to S}$

Esquema de Hilbert relativo para mapas de espacios algebraicos

En su mayor generalidad, el funtor de Hilbert se define para una función de tipo finito de espacios algebraicos definidos sobre un esquema . Entonces, el funtor de Hilbert se define como ^[2] ${\displaystyle f\colon X\to B}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}:(Sch/B)^{op}\to Sets}$

enviando T a

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}(T)=\left\{Z\subset X\times _{B}T:{\begin{aligned}&Z\to T{\text{ is flat, proper,}}\\&{\text{and of finite presentation}}\end{aligned}}\right\}}$.

Este funtor no es representable mediante un esquema, sino mediante un espacio algebraico. Además, si , y es una función de esquemas de tipo finito, su funtor de Hilbert se representa mediante un espacio algebraico. ${\displaystyle S={\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle X\to B}$

Ejemplos de esquemas de Hilbert

Esquemas de Fano de hipersuperficies

Uno de los ejemplos motivadores para la investigación del esquema de Hilbert en general fue el esquema Fano de un esquema proyectivo. Dado un subesquema de grado , existe un esquema en parametrizando donde es un -plano en , lo que significa que es una incrustación de grado uno de . ^[3] Para superficies suaves en de grado , los esquemas Fano no vacíos son suaves y de dimensión cero. Esto se debe a que las líneas en superficies suaves tienen autointersección negativa. ^[3] ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle F_{k}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (k,n)}$ ${\displaystyle H\subset X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle d\geq 3}$ ${\displaystyle F_{k}(X)}$

Esquema de puntos de Hilbert

Otro conjunto común de ejemplos son los esquemas de Hilbert de -puntos de un esquema , normalmente denotados . Existe una buena interpretación geométrica en la que los lugares geométricos de los límites que describen la intersección de los puntos pueden considerarse puntos parametrizables junto con sus vectores tangentes. Por ejemplo, es la ampliación de la diagonal ^[4] módulo la acción simétrica. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{[n]}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle B\subset H}$ ${\displaystyle (\mathbb {P} ^{2})^{[2]}}$ ${\displaystyle Bl_{\Delta }(\mathbb {P} ^{2}\times \mathbb {P} ^{2}/S_{2})}$

Hipersuperficies de grado d

El esquema de Hilbert de hipersuperficies de grado k en está dado por la proyectivización . Por ejemplo, el esquema de Hilbert de hipersuperficies de grado 2 en es con la hipersuperficie universal dada por ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(k)))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}(k[x_{0},x_{1}][\alpha ,\beta ,\gamma ]/(\alpha x_{0}^{2}+\beta x_{0}x_{1}+\gamma x_{1}^{2}))\subseteq \mathbb {P} _{x_{0},x_{1}}^{1}\times \mathbb {P} _{\alpha ,\beta ,\gamma }^{2}}$

donde el anillo subyacente es bigradado.

Esquema de Hilbert de curvas y módulos de curvas

Para una curva algebraica de género fijo , el grado del haz dualizante tritensorizado se genera globalmente, lo que significa que su característica de Euler está determinada por la dimensión de las secciones globales, por lo que ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$

${\displaystyle \chi (\omega _{C}^{\otimes 3})=\dim H^{0}(C,\omega _{X}^{\otimes 3})}$.

La dimensión de este espacio vectorial es , por lo tanto, las secciones globales de determinan una incrustación en para cada curva de género. Utilizando la fórmula de Riemann-Roch, el polinomio de Hilbert asociado se puede calcular como ${\displaystyle 5g-5}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5g-6}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle H_{C}(t)=6(g-1)t+(1-g)}$.

Luego, el esquema de Hilbert

${\displaystyle {\text{Hilb}}_{\mathbb {P} ^{5g-6}}^{H_{C}(t)}}$

parametriza todas las curvas de género g . La construcción de este esquema es el primer paso en la construcción de la pila de módulos de curvas algebraicas. La otra herramienta técnica principal son los cocientes GIT, ya que este espacio de módulos se construye como el cociente

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}=[U_{g}/GL_{5g-6}]}$,

¿Dónde está el sublugar geométrico de las curvas suaves en el esquema de Hilbert? ${\displaystyle U_{g}}$

Esquema de Hilbert de puntos en una variedad

El "esquema de Hilbert" se refiere en ocasiones al esquema de Hilbert puntual de subesquemas de dimensión cero en un esquema. De manera informal, se puede pensar en esto como algo así como colecciones finitas de puntos en un esquema, aunque esta imagen puede ser muy engañosa cuando coinciden varios puntos.

Existe un morfismo de Hilbert-Chow desde el esquema reducido de puntos de Hilbert hasta la variedad de ciclos de Chow que lleva cualquier esquema de dimensión 0 a su ciclo 0 asociado. (Fogarty 1968, 1969, 1973).

El esquema de Hilbert de n puntos en M está equipado con un morfismo natural a un n -ésimo producto simétrico de M. Este morfismo es biracional para M de dimensión como máximo 2. Para M de dimensión al menos 3, el morfismo no es biracional para n grande : el esquema de Hilbert es en general reducible y tiene componentes de dimensión mucho mayor que la del producto simétrico. ${\displaystyle M^{[n]}}$

El esquema de Hilbert de puntos sobre una curva C (una variedad compleja de dimensión 1) es isomorfo a una potencia simétrica de C. Es suave.

El esquema de Hilbert de n puntos sobre una superficie también es suave (Grothendieck). Si , se obtiene de ampliando la diagonal y luego dividiendo por la acción inducida por . Esto fue utilizado por Mark Haiman en su prueba de la positividad de los coeficientes de algunos polinomios de Macdonald . ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$

El esquema de Hilbert de una variedad suave de dimensión 3 o más normalmente no es suave.

Esquemas de Hilbert y geometría de Hyperkähler

Sea M una superficie compleja de Kähler con ( superficie K3 o un toro). El fibrado canónico de M es trivial, como se sigue de la clasificación de superficies de Kodaira . Por lo tanto, M admite una forma simpléctica holomorfa. Akira Fujiki (para ) y Arnaud Beauville observaron que también es holomorfamente simpléctica. Esto no es muy difícil de ver, por ejemplo, para . De hecho, es una ampliación de un cuadrado simétrico de M . Las singularidades de son localmente isomorfas a . La ampliación de es , y este espacio es simpléctico. Esto se utiliza para mostrar que la forma simpléctica se extiende naturalmente a la parte suave de los divisores excepcionales de . Se extiende al resto de por el principio de Hartogs . ${\displaystyle c_{1}=0}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle M^{[n]}}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle M^{[2]}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\times \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}}$ ${\displaystyle T^{*}\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle M^{[n]}}$ ${\displaystyle M^{[n]}}$

Una variedad de Kähler simpléctica holomórfica es hiperkähler , como se desprende del teorema de Calabi-Yau . Los esquemas de Hilbert de puntos en la superficie K3 y en un toro de 4 dimensiones dan dos series de ejemplos de variedades de hiperkähler : un esquema de Hilbert de puntos en K3 y una superficie de Kummer generalizada .

Véase también

• Sistema de cuotas
• Regularidad en Castelnuovo-Mumford
• El gran teorema de Matsusaka
• Módulos de curvas algebraicas
• Espacio de módulos
• Superficie modular de Hilbert
• Variedad modular de Siegel

Referencias

1. Artin, M. (31 de diciembre de 2015), "Algebrización de módulos formales: I", Análisis global: artículos en honor a K. Kodaira (PMS-29) , Princeton: Princeton University Press, págs. 21–72, doi : 10.1515/9781400871230-003, ISBN 978-1-4008-7123-0
2. "Sección 97.9 (0CZX): El functor de Hilbert: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 17 de junio de 2020 .
3. "3264 y todo eso" (PDF) . págs. 203, 212.
4. "Introducción general al esquema de Hilbert de puntos en el plano" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 26 de febrero de 2020.

• Beauville, Arnaud (1983), "Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle", Journal of Differential Geometry , 18 (4): 755–782, doi : 10.4310/jdg/1214438181 , SEÑOR  0730926
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• Fogarty, John (1968), "Familias algebraicas en una superficie algebraica", American Journal of Mathematics , 90 (2), The Johns Hopkins University Press: 511–521, doi :10.2307/2373541, JSTOR  2373541, MR  0237496
• Fogarty, John (1969), "Functores de Hilbert truncados", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 234 : 65–88, MR  0244268, archivado desde el original el 12 de febrero de 2013
• Fogarty, John (1973), "Familias algebraicas en una superficie algebraica. II. El esquema de Picard del esquema puntual de Hilbert", American Journal of Mathematics , 95 (3), Johns Hopkins University Press : 660–687, doi :10.2307/2373734, JSTOR  2373734, MR  0335512
• Göttsche, Lothar (1994), Esquemas de Hilbert de subesquemas de dimensión cero de variedades suaves , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1572, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0073491, ISBN 978-3-540-57814-7, Sr.  1312161
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• Macaulay, Francis Sowerby (1927), "Algunas propiedades de enumeración en la teoría de sistemas modulares", Actas de la London Mathematical Society , Serie 2, 26 : 531–555, doi :10.1112/plms/s2-26.1.531
• Mumford, David (21 de agosto de 1966), Lecciones sobre curvas en una superficie algebraica , Anales de estudios matemáticos, vol. 59, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6
• Nakajima, Hiraku (1999), Lecciones sobre esquemas de Hilbert de puntos sobre superficies , University Lecture Series, vol. 18, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1956-2, Sr.  1711344
• Nitsure, Nitin (2005), "Construcción de esquemas de Hilbert y Quot", Geometría algebraica fundamental , Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 105–137, arXiv : math/0504590 , Bibcode :2005math......4590N, MR  2223407
• Qin, Zhenbo (2018), Esquemas de puntos de Hilbert y álgebras de Lie de dimensión infinita , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 228, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-1-4704-4188-3

Ejemplos y aplicaciones

• La fórmula de Bott y la geometría enumerativa
• El número de cúbicas torcidas en una ternaria quíntica
• Curvas racionales en las tripletas de Calabi-Yau: verificación de las predicciones de simetría especular

Enlaces externos

• Bertram, Aaron (1999), Construcción del esquema de Hilbert , consultado el 6 de septiembre de 2008
• Bolognese, Barbara; Losev, Ivan, Una introducción general al esquema de Hilbert de puntos en el plano (PDF) , archivado desde el original el 2017-08-30{{citation}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
• Maclagan, Diane , Notas sobre esquemas de Hilbert (PDF) , archivado desde el original el 7 de marzo de 2016{{citation}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)