En geometría , el ejemplo de Hironaka es una variedad compleja no Kähler que es una deformación de las variedades Kähler encontradas por Heisuke Hironaka (1960, 1962). El ejemplo de Hironaka se puede utilizar para mostrar que varias otras afirmaciones plausibles que se cumplen para variedades suaves de dimensión como máximo 2 fallan para variedades suaves de dimensión como mínimo 3.
Tómese dos curvas suaves C y D en una triple proyectiva suave P , que se intersecan en dos puntos c y d que son nodos para la curva reducible . Para algunas aplicaciones, estas deben elegirse de modo que haya un automorfismo libre de puntos fijos que intercambie las curvas C y D y también intercambie los puntos c y d . El ejemplo de Hironaka V se obtiene pegando dos variedades cuasi-proyectivas y . Sea la variedad obtenida al expandir a lo largo de y luego a lo largo de la transformada estricta de , y sea la variedad obtenida al expandir a lo largo de D y luego a lo largo de la transformada estricta de C . Dado que estas son isomorfas sobre , se pueden pegar, lo que da como resultado una variedad propia V . Entonces V tiene dos curvas racionales suaves L y M que se encuentran sobre c y d tales que es algebraicamente equivalente a 0, por lo que V no puede ser proyectiva.
Para un ejemplo explícito de esta configuración, tome t como un punto de orden 2 en una curva elíptica E , tome P como , tome C y D como los conjuntos de puntos de la forma y , de modo que c y d son los puntos (0,0,0) y , y tome la involución σ como la que lleva a .
La variedad de Hironaka es una variedad completa tridimensional suave pero no es proyectiva ya que tiene una curva no trivial algebraicamente equivalente a 0. Cualquier variedad completa tridimensional suave es proyectiva, por lo que 3 es la dimensión más pequeña posible para un ejemplo de este tipo. Hay muchas variedades complejas bidimensionales que no son algebraicas, como las superficies de Hopf (no Kähler) y los toros no algebraicos (Kähler).
En una variedad proyectiva, un ciclo efectivo distinto de cero tiene un grado distinto de cero, por lo que no puede ser algebraicamente equivalente a 0. En el ejemplo de Hironaka, el ciclo efectivo que consiste en las dos curvas excepcionales es algebraicamente equivalente a 0.
Si se permite que una de las curvas D en la construcción de Hironaka varíe en una familia tal que la mayoría de las curvas de la familia no intersequen a D , entonces se obtiene una familia de variedades tales que la mayoría son proyectivas pero una no lo es. Sobre los números complejos esto da una deformación de variedades Kähler suaves (de hecho, proyectivas) que no es Kähler. Esta familia es trivial en la categoría de suaves, por lo que en particular hay variedades complejas tridimensionales compactas suaves Kähler y no Kähler que son difeomórficas.
Elijamos C y D de modo que P tenga un automorfismo σ de orden 2 que actúe libremente sobre P e intercambie C y D , y también intercambie c y d . Entonces el cociente de V por la acción de σ es un espacio algebraico tridimensional suave con una curva irreducible algebraicamente equivalente a 0. Esto significa que el cociente es un espacio algebraico tridimensional suave que no es un esquema .
Si la construcción anterior se realiza con variedades complejas en lugar de espacios algebraicos, se obtiene un ejemplo de una variedad de Moishezon compacta tridimensional y lisa que no es una variedad abstracta. Una variedad de Moishezon de dimensión 2 como máximo es necesariamente proyectiva, por lo que 3 es la dimensión mínima posible para este ejemplo.
En esencia, esto es lo mismo que los dos ejemplos anteriores. El cociente existe como esquema si cada órbita está contenida en un subesquema abierto afín; el contraejemplo anterior muestra que esta condición técnica no se puede descartar.
En el caso de las variedades cuasi-proyectivas, es obvio que cualquier subconjunto finito está contenido en una subvariedad afín abierta. Esta propiedad no se cumple en el ejemplo de Hironaka: un conjunto de dos puntos que consiste en un punto en cada una de las curvas excepcionales no está contenido en ninguna subvariedad afín abierta.
Para la variedad V de Hironaka sobre los números complejos con un automorfismo de orden 2 como el anterior, el funtor de Hilbert Hilb V / C de subesquemas cerrados no es representable por un esquema, esencialmente porque el cociente por el grupo de orden 2 no existe como esquema (Nitsure 2005, p.112). En otras palabras, esto da un ejemplo de una variedad completa suave cuyo esquema de Hilbert no existe. Grothendieck demostró que el esquema de Hilbert siempre existe para variedades proyectivas.
Elija un torsor Z /2 Z no trivial B → A ; por ejemplo, en la característica no 2, se podría tomar A y B como la línea afín menos el origen con la función de B a A dada por x → x 2 . Piense en B como una cobertura abierta de U para la topología étale. Si V es un esquema completo con una acción libre de punto fijo de un grupo de orden 2, entonces los datos de descenso para la función V × B → B están dados por un isomorfismo adecuado de V × C a sí mismo, donde C = B × A B = B × Z /2 Z . Tal isomorfismo está dado por la acción de Z /2 Z sobre V y C . Si este dato de descenso fuera efectivo, entonces las fibras del descenso sobre U darían un cociente de V por la acción de Z /2 Z . Por lo tanto, si este cociente no existe como esquema (como en el ejemplo anterior), los datos de descendencia son ineficaces. Véase Vistoli (2005, pág. 103).
Si X es un esquema de tipo finito sobre un cuerpo, existe una función natural de divisores a fibrados de líneas. Si X es proyectiva o reducida, entonces esta función es sobreyectiva. Kleiman encontró un ejemplo de una X no reducida y no proyectiva para la cual esta función no es sobreyectiva, como sigue. Tomemos el ejemplo de Hironaka de una variedad con dos curvas racionales A y B tales que A + B es numéricamente equivalente a 0. Entonces, X se obtiene eligiendo los puntos a y b en A y B e introduciendo elementos nilpotentes en estos puntos.
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