Variedad de Chow

En matemáticas , particularmente en el campo de la geometría algebraica , una variedad de Chow es una variedad algebraica cuyos puntos corresponden a ciclos algebraicos efectivos de dimensión y grado fijos en un espacio proyectivo dado . Más precisamente, la variedad de Chow ^[1] es la variedad de módulos finos que parametriza todos los ciclos algebraicos efectivos de dimensión y grado en . ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

La variedad Chow puede construirse mediante una incrustación Chow en un espacio proyectivo suficientemente grande. Esta es una generalización directa de la construcción de una variedad Grassmanniana mediante la incrustación Plücker , ya que las Grassmannianas son el caso de las variedades Chow. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$ ${\displaystyle d=1}$

Las variedades de Chow son distintas de los grupos de Chow , que son el grupo abeliano de todos los ciclos algebraicos en una variedad (no necesariamente espacio proyectivo) hasta la equivalencia racional. Ambos reciben su nombre de Wei-Liang Chow (周煒良), un pionero en el estudio de los ciclos algebraicos.

Antecedentes sobre los ciclos algebraicos

Si X es una subvariedad cerrada de de dimensión , el grado de X es el número de puntos de intersección entre X y un subespacio proyectivo genérico ^[2] -dimensional de . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

El grado es constante en las familias ^[4] de subvariedades, excepto en ciertos límites degenerados. Para comprobarlo, considérese la siguiente familia parametrizada por t.

${\displaystyle X_{t}:=V(x^{2}-tyz)\subset \mathbb {P} ^{2}}$.

Siempre que , es una cónica (una subvariedad irreducible de grado 2), pero degenera en la recta (que tiene grado 1). Hay varios enfoques para conciliar esta cuestión, pero el más simple es declarar que es una recta de multiplicidad 2 (y, de manera más general, asociar multiplicidades a las subvariedades) utilizando el lenguaje de los ciclos algebraicos . ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle X_{0}}$

Un ciclo algebraico -dimensional es una combinación lineal formal finita ${\displaystyle (k-1)}$

${\displaystyle X=\sum _{i}m_{i}X_{i}}$.

donde s son subvariedades cerradas irreducibles de dimensión n en , y s son números enteros. Un ciclo algebraico es efectivo si cada . El grado de un ciclo algebraico se define como ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}\geq 0}$

${\displaystyle \deg(X):=\sum _{i}m_{i}\deg(X_{i})}$.

Un polinomio homogéneo o ideal homogéneo en n-muchas variables define un ciclo algebraico efectivo en , en el que la multiplicidad de cada componente irreducible es el orden de anulación en ese componente. En la familia de ciclos algebraicos definidos por , el ciclo es 2 veces la línea , que tiene grado 2. De manera más general, el grado de un ciclo algebraico es constante en las familias, por lo que tiene sentido considerar el problema de módulos de ciclos algebraicos efectivos de dimensión y grado fijos. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle x^{2}-tyz}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle x=0}$

Ejemplos de variedades de Chow

Hay tres clases especiales de variedades de Chow con construcciones particularmente simples.

Grado 1: Subespacios

Un ciclo algebraico efectivo en un espacio de dimensión k-1 y grado 1 es la proyectivización de un subespacio de dimensión k de un espacio afín de dimensión n. Esto da un isomorfismo a una variedad de Grassmann : ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,1,n)\simeq \operatorname {Gr} (k,n)}$

Este último espacio tiene un sistema distinguido de coordenadas homogéneas , dadas por las coordenadas de Plücker .

Dimensión 0: Puntos

Un ciclo algebraico efectivo en de dimensión 0 y grado d es una d-tupla (desordenada) de puntos en , posiblemente con repetición. Esto da un isomorfismo a una potencia simétrica de : ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {Gr} (1,d,n)\simeq \operatorname {Sym} _{d}\mathbb {P} ^{n-1}}$.

Codimensión 1: Divisores

Un ciclo algebraico efectivo en codimensión 1 ^[5] y grado d se puede definir por la desaparición de un único polinomio de grado d en n-muchas variables, y este polinomio es único hasta el reescalamiento. Si denotamos el espacio vectorial de polinomios de grado d en n-muchas variables, esto da un isomorfismo a un espacio proyectivo : ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle V_{d,n}}$

${\displaystyle \operatorname {Gr} (n-1,d,n)\simeq \mathbb {P} V_{d,n}}$.

Nótese que este último espacio tiene un sistema distinguido de coordenadas homogéneas , que envían un polinomio al coeficiente de un monomio fijo.

Un ejemplo no trivial

La variedad Chow parametriza ciclos de dimensión 1, grado 2 en . Esta variedad Chow tiene dos componentes irreducibles. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (2,2,4)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

• Los módulos de cónicas contenidos en un plano proyectivo (y sus degeneraciones).
• Los módulos de pares de líneas.

Estos dos componentes de ocho dimensiones se intersecan en los módulos de pares de líneas coplanares, que es el lugar geométrico singular en . Esto demuestra que, a diferencia de los casos especiales anteriores, las variedades de Chow no necesitan ser suaves o irreducibles. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (2,2,4)}$

La incrustación de Chow

Sea X una subvariedad irreducible en de dimensión k-1 y grado d. Por la definición de grado, la mayoría de los subespacios proyectivos -dimensionales de intersecan a X en d-muchos puntos. Por el contrario, la mayoría de los subespacios proyectivos -dimensionales de no se intersecan en X en absoluto. Esto se puede agudizar de la siguiente manera. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-k-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

Lema. ^[6] El conjunto que parametriza cuyos subespacios intersecan a X de manera no trivial es una hipersuperficie irreducible de grado ^[7] d. ${\displaystyle Z(X)\subset \operatorname {Gr} (n-k,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

En consecuencia, existe una forma de grado d ^[8] en la que se anula precisamente en , y esta forma es única hasta el escalamiento. Esta construcción se puede extender a un ciclo algebraico declarando que . A cada ciclo algebraico de grado d, esto asocia una forma de grado d en , llamada la forma de Chow de X, que está bien definida hasta el escalamiento. ${\displaystyle R_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (n-k,n)}$ ${\displaystyle Z(X)}$ ${\displaystyle X=\sum _{i}m_{i}X_{i}}$ ${\displaystyle R_{X}:=\prod _{i}R_{X_{i}}^{m_{i}}}$ ${\displaystyle R_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (n-k,n)}$

Sea el espacio vectorial de grado d formado por . ${\displaystyle V_{k,d,n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (n-k,n)}$

El teorema de Chow-van-der-Waerden. ^[9] El mapa que envía es una incrustación cerrada de variedades. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)\hookrightarrow \mathbb {P} V_{k,d,n}}$ ${\displaystyle X\mapsto R_{X}}$

En particular, un ciclo algebraico efectivo X está determinado por su forma Chow . ${\displaystyle R_{X}}$

Si se ha elegido una base para , al enviar a los coeficientes de en esta base se obtiene un sistema de coordenadas homogéneas en la variedad de Chow , llamadas coordenadas de Chow de . Sin embargo, como no hay consenso en cuanto a la "mejor" base para , este término puede ser ambiguo. ${\displaystyle V_{k,d,n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V_{k,d,n}}$

Desde una perspectiva fundamental, el teorema anterior se suele utilizar como definición de . Es decir, la variedad de Chow suele definirse como una subvariedad de , y solo entonces se demuestra que es un espacio de módulos adecuado para el problema de módulos en cuestión. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} V_{k,d,n}}$

Relación con el esquema de Hilbert

Una solución más sofisticada al problema de contar "correctamente" el grado de una subvariedad degenerada es trabajar con subesquemas en lugar de subvariedades. Los esquemas pueden hacer un seguimiento de información infinitesimal que las variedades y los ciclos algebraicos no pueden. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

Por ejemplo, si dos puntos de una variedad se aproximan entre sí en una familia algebraica, la subvariedad límite es un punto único, el ciclo algebraico límite es un punto con multiplicidad 2 y el subesquema límite es un "punto gordo" que contiene la dirección tangente a lo largo de la cual chocaron los dos puntos.

El esquema de Hilbert es el esquema de módulos finos de subesquemas cerrados de dimensión k-1 y grado d dentro de . ^[10] Cada subesquema cerrado determina un ciclo algebraico efectivo y la función inducida ${\displaystyle \operatorname {Hilb} (k,d,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {Hilb} (k,d,n)\longrightarrow \operatorname {Gr} (k,d,n)}$.

se denomina mapa de ciclos o morfismo de Hilbert-Chow . Este mapa es genéricamente un isomorfismo sobre los puntos en correspondientes a subvariedades irreducibles de grado d, pero las fibras sobre ciclos algebraicos no simples pueden ser más interesantes. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$

Cociente de Chow

Un cociente de Chow parametriza los cierres de órbitas genéricas. Se construye como una subvariedad cerrada de una variedad de Chow.

El teorema de Kapranov dice que el espacio de módulos de curvas estables de género cero con n puntos marcados es el cociente de Chow de Grassmann por el toro máximo estándar. ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (2,\mathbb {C} ^{n})}$

Véase también

• Variedad Picard
• Cociente GIT

Referencias

1. La notación de las variedades de Chow no es estándar entre referencias.
2. Aquí y en todo el texto, suponemos que el cuerpo base es algebraicamente cerrado y característico 0, por lo que podemos definir "genérico" como cualquier fenómeno caracterizado por una condición abierta de Zariski. El grado puede definirse en términos más generales, pero contar las intersecciones genéricas es posiblemente la forma más intuitiva.
3. Nótese que el grado no es intrínseco a X como variedad, sino más bien a su inserción en . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$
4. Se supone que todas las familias son planas .
5. Un ciclo algebraico de codimensión 1 también se llama divisor de Weil .
6. [GKZ94, Capítulo 3, Proposición 2.2]
7. En este artículo sólo se ha definido el grado para subvariedades del espacio proyectivo. Sin embargo, las coordenadas de Plucker permiten una definición análoga del grado para subvariedades de Grassmannianos.
8. Una forma de grado d en este contexto significa una coordenada homogénea de grado d. Para un Grassmanniano, esto puede darse por un polinomio de grado d en las coordenadas de Plücker, y está bien definido hasta las relaciones de Plücker.
9. cf [GKZ94, Capítulo 4, Teorema 1.1]
10. Existe una variación considerable en la forma en que se utiliza el término "esquema de Hilbert". Algunos autores no subdividen por dimensión o grado, otros suponen que la dimensión es 0 (es decir, un esquema de Hilbert de puntos) y otros consideran esquemas más generales que . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

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• Gelfand, Israel M .; Kapranov, Mikhail M .; Zelevinsky, IAndrei V. (1994). Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales . Birkhäuser , Boston, MA. ISBN 978-0-8176-4771-1.
• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994) [1947]. Métodos de geometría algebraica, volumen I (libro II) . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46900-5.Sr. 0028055  .
• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994) [1952]. Métodos de geometría algebraica: Volumen 2 Libro III: Teoría general de variedades algebraicas en el espacio proyectivo. Libro IV: Cuádricas y variedades de Grassmann . Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46901-2.Sr. 0048065  .
• Mikhail Kapranov, Cocientes de Chow de Grassmannian, Colección de seminarios de IM Gelfand, 29-110, Adv. Soviet Math., 16, Parte 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993.
• Kollár, János (1996), Curvas racionales sobre variedades algebraicas , Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag
• Kollár, János , "Capítulo 1", Libro sobre módulos de superficies
• Kulikov, Val.S. (2001) [1994], "Variedad de Chow", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Mumford, David ; Fogarty, John; Kirwan, Frances (1994). Teoría de las invariantes geométricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (2)]. vol. 34 (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3.Señor 1304906  .