Campo de geometría algebraica
En geometría algebraica , la teoría de Brill-Noether , introducida por Alexander von Brill y Max Noether (1874), es el estudio de divisores especiales , ciertos divisores en una curva C que determinan más funciones compatibles de las que se podrían predecir. En lenguaje clásico, los divisores especiales se mueven a lo largo de la curva en un sistema lineal de divisores "más grande de lo esperado" .
En todo momento, consideramos una curva proyectiva suave sobre los números complejos (o sobre algún otro campo algebraicamente cerrado ).
La condición para ser un divisor especial D se puede formular en términos de cohomología de haz , como la no desaparición de la cohomología H 1 del haz de secciones del haz invertible o haz de líneas asociado a D. Esto significa que, según el teorema de Riemann-Roch , la cohomología H 0 o espacio de secciones holomorfas es mayor de lo esperado.
Alternativamente, por dualidad de Serre , la condición es que existan diferenciales holomórficos con divisor ≥ – D en la curva.
Principales teoremas de la teoría de Brill-Noether
Para un género g dado , el espacio de módulos para las curvas C del género g debe contener un subconjunto denso que parametrice esas curvas con el mínimo a modo de divisores especiales. Un objetivo de la teoría es "contar constantes", para esas curvas: predecir la dimensión del espacio de divisores especiales (hasta equivalencia lineal ) de un grado dado d , en función de g , que debe estar presente en una curva de ese género.
El enunciado básico se puede formular en términos de la variedad Picard Pic( C ) de una curva suave C , y el subconjunto de Pic( C ) correspondiente a clases de divisores D , con valores dados d de grados( D ) y r de l ( D ) – 1 en la notación del teorema de Riemann-Roch . Hay un límite inferior ρ para la dimensión tenue( d , r , g ) de este subesquema en Pic( C ) :
llamado número de Brill-Noether . La fórmula se puede memorizar mediante el mnemotécnico (usando nuestro deseado y Riemann-Roch)
Para curvas suaves C y para d ≥ 1 , r ≥ 0, los resultados básicos sobre el espacio de sistemas lineales en C de grado d y dimensión r son los siguientes.
- George Kempf demostró que si ρ ≥ 0 entonces no está vacío y cada componente tiene dimensión al menos ρ .
- William Fulton y Robert Lazarsfeld demostraron que si ρ ≥ 1 entonces es conexo.
- Griffiths y Harris (1980) demostraron que si C es genérico, entonces se reduce y todos los componentes tienen dimensión exactamente ρ (por lo que, en particular, está vacío si ρ < 0 ).
- David Gieseker demostró que si C es genérico, entonces es fluido. Por el resultado de conectividad, esto implica que es irreducible si ρ > 0 .
Otros resultados más recientes no necesariamente en términos de espacio de sistemas lineales son:
- Eric Larson (2017) demostró que si ρ ≥ 0 , r ≥ 3 y n ≥ 1 , los mapas de restricción son de rango máximo, también conocida como conjetura de rango máximo. [1] [2]
- Eric Larson e Isabel Vogt (2022) demostraron que si ρ ≥ 0 entonces existe una curva C que interpola por n puntos generales en si y solo si excepto en 4 casos excepcionales: ( d , g , r ) ∈ {(5,2, 3), (6,4,3), (7,2,5), (10,6,5)}. [3] [4]
Referencias
- Barbón, Andrea (2014). Teoría algebraica de Brill-Noether (PDF) (tesis de maestría). Universidad Radboud de Nimega.
- Arbarello, Enrico; Cornalba, Mauricio; Griffiths, Philip A.; Harris, Joe (1985). "Los resultados básicos de la teoría de Brill-Noether". Geometría de Curvas Algebraicas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 267. vol. Yo págs. 203-224. doi :10.1007/978-1-4757-5323-3_5. ISBN 0-387-90997-4.
- von Brill, Alejandro; Noether, Max (1874). "Ueber die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie". Annalen Matemáticas . 7 (2): 269–316. doi :10.1007/BF02104804. JFM 06.0251.01. S2CID 120777748 . Consultado el 22 de agosto de 2009 .
- Griffiths, Phillip; Harris, José (1980). "Sobre la variedad de sistemas lineales especiales sobre una curva algebraica general". Revista de Matemáticas de Duke . 47 (1): 233–272. doi :10.1215/s0012-7094-80-04717-1. SEÑOR 0563378.
- Eduardo Casas-Alvero (2019). Curvas algebraicas, el método de Brill y Noether . Texto universitario. Saltador. ISBN 9783030290153.
- Philip A. Griffiths ; Joe Harris (1994). Principios de Geometría Algebraica . Biblioteca de clásicos de Wiley. Wiley Interciencia. pag. 245.ISBN 978-0-471-05059-9.
Notas
- ^ Larson, Eric (18 de septiembre de 2018). "La conjetura del rango máximo". arXiv : 1711.04906 [matemáticas.AG].
- ^ Hartnett, Kevin (5 de septiembre de 2018). "Los modelos Tinkertoy producen nuevos conocimientos geométricos". Revista Quanta . Consultado el 28 de agosto de 2022 .
- ^ Larson, Eric; Vogt, Isabel (5 de mayo de 2022). "Interpolación de Brill - curvas de Noether". arXiv : 2201.09445 [matemáticas.AG].
- ^ "El viejo problema de las curvas algebraicas recae en los jóvenes matemáticos". Revista Quanta . 2022-08-25 . Consultado el 28 de agosto de 2022 .