diferencial kähler

Forma diferencial en álgebra conmutativa

En matemáticas , los diferenciales de Kähler proporcionan una adaptación de formas diferenciales a anillos o esquemas conmutativos arbitrarios . La noción fue introducida por Erich Kähler en los años 1930. Se adoptó como estándar en álgebra conmutativa y geometría algebraica algo más tarde, una vez que se sintió la necesidad de adaptar métodos de cálculo y geometría sobre números complejos a contextos donde tales métodos no están disponibles.

Definición

Sean R y S anillos conmutativos y φ  : R → S un homomorfismo de anillo . Un ejemplo importante es para R un campo y S un álgebra unital sobre R (como el anillo de coordenadas de una variedad afín ). Los diferenciales de Kähler formalizan la observación de que las derivadas de polinomios son nuevamente polinomiales. En este sentido, la diferenciación es una noción que puede expresarse en términos puramente algebraicos. Esta observación se puede convertir en una definición del módulo.

${\displaystyle \Omega _{S/R}}$

de diferenciales de maneras diferentes, pero equivalentes.

Definición usando derivaciones

Una derivación lineal de R en S es un homomorfismo de módulo R a un módulo M de S que satisface la regla de Leibniz (de esta definición se deduce automáticamente que la imagen de R está en el núcleo de d ^[1] ). El módulo de los diferenciales de Kähler se define como el módulo S para el cual existe una derivación universal . Como ocurre con otras propiedades universales , esto significa que d es la mejor derivación posible en el sentido de que cualquier otra derivación puede obtenerse a partir de ella mediante composición con un homomorfismo de módulo S. En otras palabras, la composición con d proporciona, para cada módulo S M , un isomorfismo del módulo S ${\displaystyle d:S\to M}$ ${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df}$ ${\displaystyle \Omega _{S/R}}$ ${\displaystyle d:S\to \Omega _{S/R}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operatorname {Der} _{R}(S,M).}$

Una construcción de Ω _{S / R} y d procede construyendo un módulo S libre con un generador formal ds para cada s en S e imponiendo las relaciones

• dr = 0 ,
• re ( s + t ) = ds + dt ,
• d ( st ) = s dt + t ds ,

para todo r en R y todo s y t en S . La derivación universal envía s a ds . Las relaciones implican que la derivación universal es un homomorfismo de R -módulos.

Definición utilizando el ideal de aumento

Otra construcción procede dejando que I sea el ideal en el producto tensorial definido como el núcleo del mapa de multiplicación. ${\displaystyle S\otimes _{R}S}$

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\end{cases}}}$

Entonces el módulo de diferenciales de Kähler de S puede definirse de manera equivalente mediante ^[2]

${\displaystyle \Omega _{S/R}=I/I^{2},}$

y la derivación universal es el homomorfismo d definido por

${\displaystyle ds=1\otimes s-s\otimes 1.}$

Esta construcción es equivalente a la anterior porque I es el núcleo de la proyección.

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1\end{cases}}}$

Así tenemos:

${\displaystyle S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.}$

Entonces puede identificarse con I por el mapa inducido por la proyección complementaria. ${\displaystyle S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R}$

${\displaystyle \sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\otimes t_{i}-\sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1.}$

Esto identifica I con el S -módulo generado por los generadores formales ds para s en S , sujeto a que d sea un homomorfismo de R -módulos que envía cada elemento de R a cero. Tomar el cociente por I ² impone precisamente la regla de Leibniz.

Ejemplos y hechos básicos.

Para cualquier anillo conmutativo R , los diferenciales de Kähler del anillo polinómico son un módulo S libre de rango n generado por los diferenciales de las variables: ${\displaystyle S=R[t_{1},\dots ,t_{n}]}$

${\displaystyle \Omega _{R[t_{1},\dots ,t_{n}]/R}^{1}=\bigoplus _{i=1}^{n}R[t_{1},\dots t_{n}]\,dt_{i}.}$

Los diferenciales de Kähler son compatibles con la extensión de escalares , en el sentido de que para una segunda R -álgebra R ′ y para , existe un isomorfismo ${\displaystyle S'=R'\otimes _{R}S}$

${\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}S'\cong \Omega _{S'/R'}.}$

Como caso particular de esto, los diferenciales de Kähler son compatibles con las localizaciones , lo que significa que si W es un conjunto multiplicativo en S , entonces hay un isomorfismo

${\displaystyle W^{-1}\Omega _{S/R}\cong \Omega _{W^{-1}S/R}.}$

Dados dos homomorfismos de anillo , existe una secuencia corta y exacta de módulos T ${\displaystyle R\to S\to T}$

${\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to \Omega _{T/S}\to 0.}$

Si para algún ideal I , el término desaparece y la secuencia puede continuar a la izquierda de la siguiente manera: ${\displaystyle T=S/I}$ ${\displaystyle \Omega _{T/S}}$

${\displaystyle I/I^{2}{\xrightarrow {[f]\mapsto df\otimes 1}}\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to 0.}$

El complejo cotangente proporciona una generalización de estas dos secuencias exactas cortas .

La última secuencia y el cálculo anterior para el anillo polinomial permiten el cálculo de los diferenciales de Kähler de R -álgebras generadas de forma finita . Brevemente, estos son generados por los diferenciales de las variables y tienen relaciones provenientes de los diferenciales de las ecuaciones. Por ejemplo, para un solo polinomio en una sola variable, ${\displaystyle T=R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})}$

${\displaystyle \Omega _{(R[t]/(f))/R}\cong (R[t]\,dt\otimes R[t]/(f))/(df)\cong R[t]/(f,df/dt)\,dt.}$

Diferenciales de Kähler para esquemas

Debido a que los diferenciales de Kähler son compatibles con la localización, se pueden construir en un esquema general realizando cualquiera de las dos definiciones anteriores en subesquemas abiertos afines y pegando. Sin embargo, la segunda definición tiene una interpretación geométrica que globaliza inmediatamente. En esta interpretación, I representa el ideal que define la diagonal en el producto de fibra de Spec( S ) consigo mismo sobre Spec( S ) → Spec( R ) . Por lo tanto, esta construcción tiene un sabor más geométrico, en el sentido de que la noción de primera vecindad infinitesimal de la diagonal se captura así, a través de funciones que desaparecen funciones de módulo que desaparecen al menos hasta el segundo orden (ver espacio cotangente para nociones relacionadas). Además, se extiende a un morfismo general de esquemas al establecerse como el ideal de la diagonal en el producto de fibra . La gavilla cotangente , junto con la derivación definida de manera análoga a la anterior, es universal entre las derivaciones -lineales de -módulos. Si U es un subesquema afín abierto de X cuya imagen en Y está contenida en un subesquema afín abierto V , entonces el haz cotangente se restringe a un haz en U que es igualmente universal. Se trata por tanto de la gavilla asociada al módulo de diferenciales Kähler para los anillos subyacentes U y V. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle X\times _{Y}X}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$ ${\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Al igual que en el caso del álgebra conmutativa, existen secuencias exactas asociadas a morfismos de esquemas. Dados morfismos y esquemas, existe una secuencia exacta de haces en ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _{X/Y}\to 0}$

Además, si es un subesquema cerrado dado por la gavilla ideal , entonces y hay una secuencia exacta de gavillas en ${\displaystyle X\subset Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to \Omega _{Y/Z}|_{X}\to \Omega _{X/Z}\to 0}$

Ejemplos

Extensiones de campo separables finitas

Si es una extensión de campo finita, entonces si y sólo si es separable. En consecuencia, si es una extensión de campo separable finita y es una variedad (o esquema) suave, entonces la secuencia cotangente relativa ${\displaystyle K/k}$ ${\displaystyle \Omega _{K/k}^{1}=0}$ ${\displaystyle K/k}$ ${\displaystyle K/k}$ ${\displaystyle \pi :Y\to \operatorname {Spec} (K)}$

${\displaystyle \pi ^{*}\Omega _{K/k}^{1}\to \Omega _{Y/k}^{1}\to \Omega _{Y/K}^{1}\to 0}$

prueba . ${\displaystyle \Omega _{Y/k}^{1}\cong \Omega _{Y/K}^{1}}$

Módulos cotangentes de variedad proyectiva.

Dado un esquema proyectivo , su haz cotangente se puede calcular a partir de la hazificación del módulo cotangente en el álgebra graduada subyacente. Por ejemplo, considere la curva compleja ${\displaystyle X\in \operatorname {Sch} /\mathbb {k} }$

${\displaystyle \operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{n}+y^{n}-z^{n})}}\right)=\operatorname {Proj} (R)}$

entonces podemos calcular el módulo cotangente como

${\displaystyle \Omega _{R/\mathbb {C} }={\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy\oplus R\cdot dz}{nx^{n-1}dx+ny^{n-1}dy-nz^{n-1}dz}}}$

Entonces,

${\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }={\widetilde {\Omega _{R/\mathbb {C} }}}}$

Morfismos de esquemas

Considere el morfismo

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)=\operatorname {Spec} (R)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])=Y}$

en . Luego, usando la primera secuencia vemos que ${\displaystyle \operatorname {Sch} /\mathbb {C} }$

${\displaystyle {\widetilde {R\cdot dt}}\to {\widetilde {\frac {R\cdot dt\oplus R\cdot dx\oplus R\cdot dy}{ydx+xdy-dt}}}\to \Omega _{X/Y}\to 0}$

por eso

${\displaystyle \Omega _{X/Y}={\widetilde {\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy}{ydx+xdy}}}}$

Formas diferenciales superiores y cohomología algebraica de Rham

complejo de Rham

Como antes, arregla un mapa . Las formas diferenciales de grado superior se definen como las potencias exteriores (sobre ), ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}:=\bigwedge ^{n}\Omega _{X/Y}.}$

La derivación se extiende de forma natural a una secuencia de mapas. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

satisfactorio Este es un complejo de cocadenas conocido como complejo de Rham . ${\displaystyle d\circ d=0.}$

El complejo de Rham disfruta de una estructura multiplicativa adicional, el producto de cuña

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}\otimes \Omega _{X/Y}^{m}\to \Omega _{X/Y}^{n+m}.}$

Esto convierte el complejo de Rham en un álgebra graduada diferencial conmutativa . También tiene una estructura coalgebra heredada de la del álgebra exterior . ^[3]

cohomología de de Rham

La hipercohomología del complejo de haces de De Rham se llama cohomología algebraica de Rham de X sobre Y y se denota por o simplemente si Y queda claro en el contexto. (En muchas situaciones, Y es el espectro de un campo de característica cero.) Grothendieck (1966a) introdujo la cohomología algebraica de Rham. Está estrechamente relacionado con la cohomología cristalina . ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$ ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X)}$

Como es familiar por la cohomología coherente de otras gavillas cuasi coherentes, el cálculo de la cohomología de De Rham se simplifica cuando X = Spec S e Y = Spec R son esquemas afines. En este caso, debido a que los esquemas afines no tienen cohomología superior, se puede calcular como la cohomología del complejo de grupos abelianos. ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$

${\displaystyle 0\to S{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

que son, terminológicamente, las secciones globales de las gavillas . ${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{r}}$

Para tomar un ejemplo muy particular, supongamos que es el grupo multiplicativo. Debido a que se trata de un esquema afín, la hipercohomología se reduce a la cohomología ordinaria. El complejo algebraico de Rham es ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \mathbb {Q} \left[x,x^{-1}\right]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

${\displaystyle \mathbb {Q} [x,x^{-1}]{\xrightarrow {d}}\mathbb {Q} [x,x^{-1}]\,dx.}$

El diferencial d obedece a las reglas habituales del cálculo, lo que significa que el núcleo y el cokernel calculan la cohomología algebraica de Rham, por lo que ${\displaystyle d(x^{n})=nx^{n-1}\,dx.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(X)&=\mathbb {Q} \\H_{\text{dR}}^{1}(X)&=\mathbb {Q} \cdot x^{-1}dx\end{aligned}}}$

y todos los demás grupos de cohomología algebraica de Rham son cero. A modo de comparación, los grupos de cohomología algebraica de Rham son mucho más grandes, a saber, ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}\left[x,x^{-1}\right]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp}\\H_{\text{dR}}^{1}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp-1}\,dx\end{aligned}}}$

Dado que los números de Betti de estos grupos de cohomología no son los esperados, se desarrolló la cohomología cristalina para remediar este problema; define una teoría de cohomología de Weil sobre campos finitos.

Teorema de comparación de Grothendieck

Si X es una variedad algebraica compleja suave , existe un mapa de comparación natural de complejos de haces

${\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }^{\bullet }(-)\to \Omega _{X^{\text{an}}}^{\bullet }((-)^{\text{an}})}$

entre el complejo algebraico de Rham y el complejo suave de Rham definido en términos de formas diferenciales (de valores complejos) en , la variedad compleja asociada a X . Aquí, denota el funtor de análisis complejo. Este mapa está lejos de ser un isomorfismo. No obstante, Grothendieck (1966a) demostró que el mapa de comparación induce un isomorfismo ${\displaystyle X^{\text{an}}}$ ${\textstyle (-)^{\text{an}}}$

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{\ast }(X/\mathbb {C} )\cong H_{\text{dR}}^{\ast }(X^{\text{an}})}$

de la cohomología algebraica a la cohomología suave de De Rham (y, por tanto, a la cohomología singular según el teorema de De Rham ). En particular, si X es una variedad algebraica afín suave incluida en , entonces la inclusión del subcomplejo de formas diferenciales algebraicas en el de todas las formas suaves en X es un cuasiisomorfismo . Por ejemplo, si ${\textstyle H_{\text{sing}}^{*}(X^{\text{an}};\mathbb {C} )}$ ${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle X=\{(w,z)\in \mathbb {C} ^{2}:wz=1\}}$,

entonces, como se muestra arriba, el cálculo de la cohomología algebraica de Rham proporciona generadores explícitos para y , respectivamente, mientras que todos los demás grupos de cohomología desaparecen. Dado que X es homotópicamente equivalente a un círculo , esto es lo que predice el teorema de Grothendieck. ${\textstyle \{1,z^{-1}dz\}}$ ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{0}(X/\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{1}(X/\mathbb {C} )}$

Se pueden encontrar contraejemplos en el caso singular con singularidades que no son de Du Bois , como el anillo graduado con dónde y . ^[4] Otros contraejemplos se pueden encontrar en curvas planas algebraicas con singularidades aisladas cuyos números de Milnor y Tjurina no son iguales. ^[5] ${\displaystyle k[x,y]/(y^{2}-x^{3})}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \deg(y)=3}$ ${\displaystyle \deg(x)=2}$

Cisinski & Déglise (2013) dieron una prueba del teorema de Grothendieck utilizando el concepto de teoría de cohomología mixta de Weil .

Aplicaciones

Divisor canónico

Si X es una variedad suave sobre un campo k , [ ^{se necesita aclaración ]} entonces es un paquete de vectores (es decir, un módulo localmente libre) de rango igual a la dimensión de X. Esto implica, en particular, que ${\displaystyle \Omega _{X/k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \omega _{X/k}:=\bigwedge ^{\dim X}\Omega _{X/k}}$

es un paquete de líneas o, equivalentemente, un divisor . Se le conoce como divisor canónico . Resulta que el divisor canónico es un complejo dualizante y, por lo tanto, aparece en varios teoremas importantes de la geometría algebraica, como la dualidad de Serre o la dualidad de Verdier .

Clasificación de curvas algebraicas.

El género geométrico de una variedad algebraica suave X de dimensión d sobre un campo k se define como la dimensión

${\displaystyle g:=\dim H^{0}(X,\Omega _{X/k}^{d}).}$

Para las curvas, esta definición puramente algebraica concuerda con la definición topológica (para ) como el "número de asas" de la superficie de Riemann asociada a X. Existe una tricotomía bastante marcada de propiedades geométricas y aritméticas dependiendo del género de una curva, siendo g 0 ( curvas racionales ), 1 ( curvas elípticas ) y mayor que 1 (superficies hiperbólicas de Riemann, incluidas las curvas hiperelípticas ), respectivamente. ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

Paquete tangente y teorema de Riemann-Roch

El fibrado tangente de una variedad suave X es, por definición, el dual del haz cotangente . El teorema de Riemann-Roch y su generalización de gran alcance, el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , contienen como ingrediente crucial la clase de Todd del paquete tangente. ${\displaystyle \Omega _{X/k}}$

Morfismos no ramificados y suaves.

El haz de diferenciales está relacionado con varias nociones algebro-geométricas. Un morfismo de esquemas no está ramificado si y sólo si es cero. ^[6] Un caso especial de esta afirmación es que para un campo k , es separable sobre k iff , lo que también se puede leer en el cálculo anterior. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle K:=k[t]/f}$ ${\displaystyle \Omega _{K/k}=0}$

Un morfismo f de tipo finito es un morfismo suave si es plano y si es un módulo localmente libre de rango apropiado. El cálculo anterior muestra que la proyección desde el espacio afín es suave. ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \Omega _{R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/R}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}\to \operatorname {Spec} (R)}$

Periodos

Los períodos son, en términos generales, integrales de ciertas formas diferenciales definidas aritméticamente. ^[7] El ejemplo más simple de un período es, que surge como ${\displaystyle 2\pi i}$

${\displaystyle \int _{S^{1}}{\frac {dz}{z}}=2\pi i.}$

La cohomología algebraica de Rham se utiliza para construir períodos de la siguiente manera: ^[8] Para una variedad algebraica X definida sobre la compatibilidad antes mencionada con el cambio de base produce un isomorfismo natural ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} =H_{\text{dR}}^{n}(X\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} /\mathbb {C} ).}$

Por otro lado, el grupo de cohomología de la derecha es isomorfo a la cohomología de De Rham de la variedad compleja asociada a X , denotada aquí. Otro resultado clásico, el teorema de De Rham , afirma un isomorfismo del último grupo de cohomología con cohomología singular (o cohomología de gavilla ) con coeficientes complejos, , que según el teorema del coeficiente universal es a su vez isomorfo a. Al componer estos isomorfismos se obtienen dos espacios vectoriales racionales que, después de tensar con, se vuelven isomorfos. Eligiendo las bases de estos subespacios racionales (también llamados redes), el determinante de la matriz de cambio de base es un número complejo, bien definido hasta la multiplicación por un número racional. Estos números son períodos . ${\displaystyle X^{\text{an}}}$ ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X^{\text{an}}).}$ ${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Teoría algebraica de números

En teoría algebraica de números , los diferenciales de Kähler pueden usarse para estudiar la ramificación en una extensión de campos numéricos algebraicos . Si L / K es una extensión finita con anillos de números enteros R y S respectivamente, entonces el ideal diferente δ _{L / K} , que codifica los datos de ramificación, es el aniquilador del módulo R Ω _{R / S} : ^[9]

${\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in R:x\,dy=0{\text{ for all }}y\in R\}.}$

Nociones relacionadas

La homología de Hochschild es una teoría de homología para anillos asociativos que resulta estar estrechamente relacionada con los diferenciales de Kähler. Esto se debe al teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg que establece que la homología de Hochschild de un álgebra de variedad suave es isomorfa al complejo de-Rham para un campo de características . Una mejora derivada de este teorema establece que la homología de Hochschild de un álgebra graduada diferencial es isomorfa al complejo de-Rham derivado. ${\displaystyle HH_{\bullet }(R)}$ ${\displaystyle \Omega _{R/k}^{\bullet }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$

El complejo de Rham-Witt es, en términos muy generales, una mejora del complejo de Rham para el anillo de vectores de Witt .

Notas

1. "Proyecto Pilas" . Consultado el 21 de noviembre de 2022 .
2. Hartshorne (1977, pág.172)
3. Laurent-Gengoux, C.; Pichereau, A.; Vanhaecke, P. (2013), Estructuras de Poisson , §3.2.3: Springer, ISBN 978-3-642-31090-4{{citation}}: CS1 maint: location (link)
4. "cohomología algebraica de Rham de variedades singulares", mathoverflow.net
5. Arapura, Donu; Kang, Su-Jeong (2011), "Clases de cohomología y Chern de Kähler-de Rham" (PDF) , Comunicaciones en álgebra , 39 (4): 1153–1167, doi :10.1080/00927871003610320, MR  2782596, S2CID  15924437, archivado desde el original (PDF) el 2015-11-12
6. Milne, James , cohomología de Etale , Proposición I.3.5{{citation}}: CS1 maint: location (link); Se supone que el mapa f es localmente de tipo finito para esta declaración.
7. André, Yves (2004), Una introducción a los motivos , Parte III: Société Mathématique de France
8. Períodos y motivos nori (PDF) , ejemplos elementales
9. Neukirch (1999, pág.201)

Referencias

• Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2013), "Cohomologías mixtas de Weil", Avances en matemáticas , 230 (1): 55–130, arXiv : 0712.3291 , doi : 10.1016/j.aim.2011.10.021

• Grothendieck, Alexander (1966a), "Sobre la cohomología de variedades algebraicas de De Rham", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 29 (29): 95–103, doi :10.1007/BF02684807, ISSN  0073-8301, MR  0199194, S2CID  123434721(carta a Michael Atiyah , 14 de octubre de 1963)

• Grothendieck, Alexander (1966b), Carta a John Tate (PDF)

• Grothendieck, Alexander (1968), "Los cristales y la cohomología de esquemas de De Rham" (PDF) , en Giraud, Jean; Grothendieck, Alejandro ; Kleiman, Steven L .; et al. (eds.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas , Estudios avanzados en matemáticas puras, vol. 3, Amsterdam: Holanda Septentrional, págs. 306–358, SEÑOR  0269663
• Johnson, James (1969), "Diferenciales de Kähler y álgebra diferencial", Annals of Mathematics , 89 (1): 92–98, doi :10.2307/1970810, JSTOR  1970810, Zbl  0179.34302
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Matsumura, Hideyuki (1986), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge University Press
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraische Zahlentheorie , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften , vol. 322, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65399-8, SEÑOR  1697859, Zbl  0956.11021
• Rosenlicht, M. (1976), "Sobre la teoría de funciones elementales de Liouville" (PDF) , Pacific Journal of Mathematics , 65 (2): 485–492, doi : 10.2140/pjm.1976.65.485 , Zbl  0318.12107
• Fu, Guofeng; Halás, Miroslav; Li, Ziming (2011), "Algunas observaciones sobre los diferenciales de Kähler y los diferenciales ordinarios en sistemas de control no lineales", Systems and Control Letters , 60 : 699–703, doi :10.1016/j.sysconle.2011.05.006

enlaces externos

• Notas sobre la cohomología algebraica p-ádica de-Rham: proporciona muchos cálculos sobre la característica 0 como motivación
• Un hilo dedicado a la relación entre formas diferenciales algebraicas y analíticas.
• Diferenciales (proyecto Stacks)