En geometría algebraica , una cohomología de Weil o teoría de cohomología de Weil es una cohomología que satisface ciertos axiomas relacionados con la interacción de ciclos algebraicos y grupos de cohomología. El nombre es en honor a André Weil . Cualquier teoría de cohomología de Weil se factoriza únicamente a través de la categoría de motivos de Chow , pero la categoría de motivos de Chow en sí misma no es una teoría de cohomología de Weil, ya que no es una categoría abeliana .
Definición
Fije un campo base k de característica arbitraria y un "campo de coeficiente" K de característica cero. Una teoría de cohomología de Weil es un functor contravariante
![{\displaystyle H^{*}:\{{\text{variedades proyectivas suaves sobre }}k\}\longrightarrow \{{\text{graded }}K{\text{-álgebras}}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
satisfaciendo los siguientes axiomas. Para cada variedad algebraica proyectiva suave X de dimensión n sobre k , entonces el K -álgebra graduada
![{\displaystyle H^{*}(X)=\bigoplus \nolimits _{i}H^{i}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
se requiere satisfacer lo siguiente:
para cada i < 0 o i > 2 n .
es isomorfo a K (el llamado mapa de orientación).
![{\displaystyle H^{i}(X)\times H^{2n-i}(X)\to H^{2n}(X)\cong K.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H^{*}(X)\otimes H^{*}(Y)\to H^{*}(X\times Y).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Para cada número entero r , hay un mapa de ciclos definido en el grupo de ciclos algebraicos de codimensión r en X ,
![{\displaystyle Z^{r}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma _{X}:Z^{r}(X)\to H^{2r}(X),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- satisfaciendo ciertas condiciones de compatibilidad con respecto a la funcionalidad de H y el isomorfismo de Künneth. Si X es un punto, se requiere que el mapa del ciclo sea la inclusión Z ⊂ K .
- Axioma débil de Lefschetz : para cualquier sección de hiperplano suave j : W ⊂ X (es decir, W = X ∩ H , H algún hiperplano en el espacio proyectivo ambiental), los mapas
![{\displaystyle j^{*}:H^{i}(X)\a H^{i}(W)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- son isomorfismos para e inyecciones para
![{\displaystyle i\leqslant n-2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i\leqslant n-1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Axioma duro de Lefschetz : Sea W una sección de hiperplano y su imagen bajo el mapa de clase de ciclo. El operador de Lefschetz se define como
![{\displaystyle w=\gamma _ {X}(W)\in H^{2}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{casos}L:H^{i}(X)\to H^{i+2}(X)\\x\mapsto x\cdot w,\end{casos}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- donde el punto denota el producto en el álgebra Entonces
![{\displaystyle H^{*}(X).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L^{i}:H^{ni}(X)\a H^{n+i}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- es un isomorfismo para i = 1, ..., n .
Ejemplos
Hay cuatro teorías de cohomología de Weil denominadas clásicas:
Las demostraciones de los axiomas de la cohomología de Betti y de la cohomología de Rham son comparativamente sencillas y clásicas. Para la cohomología -ádica, por ejemplo, la mayoría de las propiedades anteriores son teoremas profundos.![{\displaystyle\ell}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La desaparición de los grupos de cohomología de Betti que exceden el doble de la dimensión se desprende del hecho de que una variedad (compleja) de dimensión compleja n tiene una dimensión real 2 n , por lo que estos grupos de cohomología superiores desaparecen (por ejemplo, comparándolos con la (co)homología simple ) .
El mapa del ciclo de De Rham también tiene una explicación realista: dada una subvariedad Y de codimensión compleja r en una variedad completa X de dimensión compleja n , la dimensión real de Y es 2 n −2 r , por lo que se puede integrar cualquier forma diferencial (2 n −2 r ) a lo largo de Y para producir un número complejo . Esto induce un funcional lineal . Según la dualidad de Poincaré, dar tal funcional equivale a dar un elemento de ; ese elemento es la imagen de Y debajo del mapa del ciclo.![{\displaystyle \textstyle \int _{Y}\colon \;H_{\text{dR}}^{2n-2r}(X)\to \mathbf {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_{\text{dR}}^{2r}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: Wiley, doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, señor 1288523(contiene pruebas de todos los axiomas de la cohomología de Betti y de-Rham)
- Milne, James S. (1980), Étale cohomology , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7(ídem para cohomología l -ádica)
- Kleiman, SL (1968), "Ciclos algebraicos y conjeturas de Weil", Dix exposés sur la cohomologie des schémas , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 359–386, SEÑOR 0292838