En relación con la historia de las matemáticas , la escuela italiana de geometría algebraica se refiere a los matemáticos y su trabajo en geometría biracional , particularmente en superficies algebraicas , centrados en Roma aproximadamente desde 1885 hasta 1935. Hubo entre 30 y 40 matemáticos destacados que hicieron contribuciones importantes, aproximadamente la mitad de ellos italianos. El liderazgo recayó en el grupo en Roma de Guido Castelnuovo , Federigo Enriques y Francesco Severi , quienes estuvieron involucrados en algunos de los descubrimientos más profundos, además de establecer el estilo.
El énfasis en las superficies algebraicas ( variedades algebraicas de dimensión dos) surgió de una teoría geométrica esencialmente completa de curvas algebraicas (dimensión 1). Alrededor de 1870, la teoría de curvas había incorporado, junto con la teoría de Brill-Noether, el teorema de Riemann-Roch en todos sus refinamientos (a través de la geometría detallada del divisor theta ).
La clasificación de superficies algebraicas fue un intento audaz y exitoso de repetir la división de curvas algebraicas por su género g . La división de curvas corresponde a la clasificación aproximada en los tres tipos: g = 0 ( línea proyectiva ); g = 1 ( curva elíptica ); y g > 1 ( superficies de Riemann con diferenciales holomorfas independientes). En el caso de las superficies, la clasificación de Enriques fue en cinco grandes clases similares, con tres de ellas análogas a los casos de curvas, y dos más ( fibraciones elípticas y superficies K3 , como se las llamaría ahora) estando con el caso de variedades abelianas bidimensionales en el territorio 'medio'. Este fue un conjunto de ideas esencialmente sólidas y revolucionarias, recuperadas en el lenguaje moderno de variedades complejas por Kunihiko Kodaira en la década de 1950, y refinadas para incluir fenómenos mod p por Zariski , la escuela Shafarevich y otros alrededor de 1960. También se elaboró la forma del teorema de Riemann-Roch en una superficie .
Algunas pruebas producidas por la escuela no se consideran satisfactorias debido a dificultades fundamentales. Entre ellas se incluye el uso frecuente de modelos biracionales en dimensión tres de superficies que pueden tener modelos no singulares solo cuando están embebidas en un espacio proyectivo de dimensiones superiores . Para evitar estos problemas, se desarrolló una teoría sofisticada para el manejo de un sistema lineal de divisores (en efecto, una teoría de fibrados de líneas para secciones de hiperplanos de supuestas incrustaciones en el espacio proyectivo). Se encontraron muchas técnicas modernas, en forma embrionaria, y en algunos casos la articulación de estas ideas excedió el lenguaje técnico disponible.
Según Guerraggio & Nastasi (pág. 9, 2005), Luigi Cremona es "considerado el fundador de la escuela italiana de geometría algebraica". Más adelante explican que en Turín la colaboración de Enrico D'Ovidio y Corrado Segre "llevaría, ya sea por sus propios esfuerzos o por los de sus estudiantes, la geometría algebraica italiana a su plena madurez". Un antiguo alumno de Segre, HF Baker , escribió [1] que Corrado Segre "probablemente puede decirse que es el padre de esa maravillosa escuela italiana que ha logrado tanto en la teoría biracional de los lugares geométricos algebraicos". Sobre este tema, Brigaglia & Ciliberto (2004) dicen que "Segre había encabezado y mantenido la escuela de geometría que Luigi Cremona había establecido en 1860". La referencia al Mathematics Genealogy Project muestra que, en términos de doctorados italianos , la verdadera productividad de la escuela comenzó con Guido Castelnuovo y Federigo Enriques .
El cuadro de honor de la escuela incluye a los siguientes italianos: Giacomo Albanese , Eugenio Bertini , Luigi Campedelli, Oscar Chisini , Michele De Franchis , Pasquale del Pezzo , Beniamino Segre , Francesco Severi , Guido Zappa (con contribuciones también de Gino Fano , Carlo Rosati, Giuseppe Torelli, Giuseppe Veronese ).
Por otra parte, participaron HF Baker y Patrick du Val (Reino Unido), Arthur Byron Coble (EE. UU.), Georges Humbert y Charles Émile Picard (Francia), Lucien Godeaux (Bélgica), Hermann Schubert y Max Noether , y más tarde Oscar Zariski (Estados Unidos), Erich Kähler (Alemania), HG Zeuthen (Dinamarca).
Todas estas figuras estaban involucradas en la geometría algebraica, más que en la búsqueda de la geometría proyectiva como geometría sintética , que durante el período en discusión era un tema enorme (en términos de volumen) pero secundario (a juzgar por su importancia como investigación).
En 1950 Henry Forder mencionó la escuela italiana en relación con las curvas algebraicas . [2]
El desarrollo posterior de la teoría de curvas planas sólo es fructífero cuando se conecta con la teoría de superficies de Riemann y funciones abelianas . Este ha sido un estudio favorito durante los últimos cincuenta años de los geómetras italianos, quienes también han hecho contribuciones de gran belleza a una teoría similar de superficies y de “ variedades ” de dimensiones superiores. En este sentido, una combinación de la teoría de integrales sobre las variedades y de su topología produce resultados decisivos. La teoría de curvas y superficies está, por tanto, conectada con el álgebra y la topología modernas...
La nueva geometría algebraica que sucedería a la escuela italiana se distinguió por el uso intensivo de la topología algebraica . El fundador de esa tendencia fue Henri Poincaré ; durante la década de 1930 fue desarrollada por Lefschetz , Hodge y Todd . La síntesis moderna reunió el trabajo de estos, el de la escuela de Cartan , y de W. L. Chow y Kunihiko Kodaira , con el material tradicional.
En los primeros años de la escuela italiana bajo Castelnuovo, los estándares de rigor eran tan altos como en la mayoría de las áreas de las matemáticas. Bajo Enriques gradualmente se volvió aceptable el uso de argumentos algo más informales en lugar de pruebas rigurosas completas, como el "principio de continuidad" que decía que lo que es cierto hasta el límite es cierto en el límite, una afirmación que no tenía ni una prueba rigurosa ni siquiera un enunciado preciso. Al principio esto no importó demasiado, ya que la intuición de Enriques era tan buena que esencialmente todos los resultados que afirmaba eran de hecho correctos, y el uso de este estilo más informal de argumentación le permitió producir resultados espectaculares sobre superficies algebraicas. Desafortunadamente, desde aproximadamente 1930 en adelante bajo el liderazgo de Severi los estándares de precisión declinaron aún más, hasta el punto en que algunos de los resultados afirmados no solo estaban demostrados de manera inadecuada, sino que eran incorrectos. Por ejemplo, en 1934 Severi afirmó que el espacio de clases de equivalencia racional de ciclos en una superficie algebraica es de dimensión finita, pero Mumford (1968) demostró que esto es falso para superficies de género geométrico positivo, y en 1946 Severi publicó un artículo en el que afirmaba haber demostrado que una superficie de grado 6 en un espacio proyectivo tridimensional tiene como máximo 52 nodos, pero la séxtica de Barth tiene 65 nodos. Severi no aceptó que sus argumentos fueran inadecuados, lo que dio lugar a algunas disputas acaloradas sobre el estado de algunos resultados.
Hacia 1950 se había vuelto demasiado difícil decir cuáles de los resultados afirmados eran correctos, y la escuela intuitiva informal de geometría algebraica colapsó debido a sus fundamentos inadecuados. [ cita requerida ] Desde aproximadamente 1950 hasta 1980 hubo un esfuerzo considerable para rescatar lo más posible y convertirlo en el estilo algebraico riguroso de geometría algebraica establecido por Weil y Zariski. En particular, en la década de 1960, Kodaira y Shafarevich y sus estudiantes reescribieron la clasificación de Enriques de superficies algebraicas en un estilo más riguroso, y también la extendieron a todas las superficies complejas compactas, mientras que en la década de 1970 Fulton y MacPherson pusieron los cálculos clásicos de la teoría de intersecciones sobre fundamentos rigurosos.