En matemáticas , la teoría de invariantes geométricos (o TIG ) es un método para construir cocientes mediante acciones grupales en geometría algebraica , que se utiliza para construir espacios de módulos . Fue desarrollada por David Mumford en 1965, utilizando ideas del artículo (Hilbert 1893) sobre la teoría de invariantes clásica .
La teoría de invariantes geométricos estudia la acción de un grupo G sobre una variedad algebraica (o esquema ) X y proporciona técnicas para formar el 'cociente' de X por G como un esquema con propiedades razonables. Una motivación fue construir espacios de módulos en geometría algebraica como cocientes de esquemas que parametrizan objetos marcados. En las décadas de 1970 y 1980, la teoría desarrolló interacciones con la geometría simpléctica y la topología equivariante , y se utilizó para construir espacios de módulos de objetos en geometría diferencial , como instantones y monopolos .
La teoría invariante se ocupa de una acción grupal de un grupo G sobre una variedad algebraica (o un esquema ) X. La teoría invariante clásica aborda la situación cuando X = V es un espacio vectorial y G es un grupo finito o uno de los grupos de Lie clásicos que actúa linealmente sobre V. Esta acción induce una acción lineal de G sobre el espacio de funciones polinómicas R ( V ) sobre V mediante la fórmula
Los invariantes polinómicos de la G -acción sobre V son aquellas funciones polinómicas f sobre V que están fijas bajo el 'cambio de variables' debido a la acción del grupo, de modo que g · f = f para todo G en G . Forman un álgebra conmutativa A = R ( V ) G , y esta álgebra se interpreta como el álgebra de funciones sobre el ' cociente de la teoría de invariantes ' V // G porque cualquiera de estas funciones da el mismo valor para todos los puntos que son equivalentes (es decir, f ( v ) = f ( gv ) para todo g ). En el lenguaje de la geometría algebraica moderna ,
De esta descripción surgen varias dificultades. La primera, abordada con éxito por Hilbert en el caso de un grupo lineal general , es demostrar que el álgebra A es finitamente generada. Esto es necesario si se quiere que el cociente sea una variedad algebraica afín . Si un hecho similar se cumple para grupos arbitrarios G fue el tema del decimocuarto problema de Hilbert , y Nagata demostró que la respuesta era negativa en general. Por otra parte, en el curso del desarrollo de la teoría de la representación en la primera mitad del siglo XX, se identificó una gran clase de grupos para los cuales la respuesta es positiva; estos se denominan grupos reductivos e incluyen todos los grupos finitos y todos los grupos clásicos .
La generación finita del álgebra A es sólo el primer paso hacia la descripción completa de A , y el progreso en la resolución de esta cuestión más delicada fue más bien modesto. Los invariantes se habían descrito clásicamente sólo en un rango restringido de situaciones, y la complejidad de esta descripción más allá de los primeros casos ofrecía pocas esperanzas de una comprensión completa de las álgebras de invariantes en general. Además, puede suceder que cualquier invariante polinomial f tome el mismo valor en un par dado de puntos u y v en V , pero estos puntos están en diferentes órbitas de la G -acción. Un ejemplo simple lo proporciona el grupo multiplicativo C * de números complejos no nulos que actúa sobre un espacio vectorial complejo n -dimensional C n mediante multiplicación escalar. En este caso, cada invariante polinomial es una constante, pero hay muchas órbitas diferentes de la acción. El vector cero forma una órbita por sí mismo, y los múltiplos no nulos de cualquier vector no nulo forman una órbita, de modo que las órbitas no nulas están parametrizadas por los puntos del espacio proyectivo complejo CP n –1 . Si esto sucede (órbitas diferentes que tienen los mismos valores de función), se dice que "los invariantes no separan las órbitas", y el álgebra A refleja el espacio cociente topológico X / G de manera bastante imperfecta. De hecho, este último espacio, con la topología cociente , con frecuencia no está separado (no es Hausdorff ). (Este es el caso en nuestro ejemplo: la órbita nula no está abierta porque cualquier entorno del vector nulo contiene puntos en todas las demás órbitas, por lo que en la topología cociente cualquier entorno de la órbita nula contiene todas las demás órbitas). En 1893, Hilbert formuló y demostró un criterio para determinar aquellas órbitas que no están separadas de la órbita cero por polinomios invariantes. Es bastante notable que, a diferencia de su trabajo anterior en teoría de invariantes, que condujo al rápido desarrollo del álgebra abstracta , este resultado de Hilbert siguió siendo poco conocido y poco utilizado durante los siguientes 70 años. Gran parte del desarrollo de la teoría de invariantes en la primera mitad del siglo XX se centró en cálculos explícitos con invariantes y, en cualquier caso, siguió la lógica del álgebra en lugar de la geometría.
La teoría de invariantes geométricos fue fundada y desarrollada por Mumford en una monografía, publicada por primera vez en 1965, que aplicaba ideas de la teoría de invariantes del siglo XIX, incluidos algunos resultados de Hilbert , a las cuestiones de geometría algebraica moderna. (El libro se amplió considerablemente en dos ediciones posteriores, con apéndices adicionales de Fogarty y Mumford, y un capítulo sobre cocientes simplécticos de Kirwan). El libro utiliza tanto la teoría de esquemas como las técnicas computacionales disponibles en los ejemplos. El escenario abstracto utilizado es el de una acción de grupo sobre un esquema X . La idea simplista de un espacio de órbitas
es decir, el espacio cociente de X por la acción de grupo, se topa con dificultades en geometría algebraica, por razones que son explicables en términos abstractos. De hecho, no hay ninguna razón general por la que las relaciones de equivalencia deban interactuar bien con las funciones regulares (bastante rígidas) (funciones polinómicas), que están en el corazón de la geometría algebraica. Las funciones en el espacio de órbitas G \ X que deben considerarse son aquellas en X que son invariantes bajo la acción de G . La aproximación directa puede hacerse, por medio del cuerpo de funciones de una variedad (es decir, funciones racionales ): tome las funciones racionales G -invariantes en él, como el cuerpo de funciones de la variedad cociente . Desafortunadamente, este —el punto de vista de la geometría biracional— solo puede dar una primera aproximación a la respuesta. Como lo expresó Mumford en el Prefacio del libro:
El problema es que, dentro del conjunto de todos los modelos de la clase biracional resultante, hay un modelo cuyos puntos geométricos clasifican el conjunto de órbitas en alguna acción, o el conjunto de objetos algebraicos en algún problema de módulos.
En el capítulo 5, aísla aún más el problema técnico específico abordado, en un problema de módulos de tipo bastante clásico: clasificar el gran "conjunto" de todas las variedades algebraicas sujetas únicamente a ser no singulares (y una condición requerida para la polarización). Se supone que los módulos describen el espacio de parámetros. Por ejemplo, para las curvas algebraicas se sabe desde la época de Riemann que debe haber componentes conexos de dimensiones
De acuerdo con el género g = 0, 1, 2, 3, 4, … , y los módulos son funciones de cada componente. En el problema de módulos gruesos, Mumford considera que las obstrucciones son:
Es el tercer punto el que motivó toda la teoría. Como dice Mumford, si se resuelven las dos primeras dificultades
[La tercera pregunta] se vuelve esencialmente equivalente a la pregunta de si existe un espacio de órbitas de algún subconjunto localmente cerrado de los esquemas de Hilbert o Chow por el grupo proyectivo .
Para abordar esto, introdujo una noción (de hecho, tres) de estabilidad . Esto le permitió abrir el área previamente traicionera -mucho se había escrito, en particular por Francesco Severi , pero los métodos de la literatura tenían limitaciones. El punto de vista biracional puede permitirse el lujo de ser descuidado con los subconjuntos de codimensión 1. Tener un espacio de módulos como esquema es, por un lado, una cuestión sobre la caracterización de esquemas como funtores representables (como lo vería la escuela de Grothendieck ); pero geométricamente es más como una cuestión de compactificación , como revelaron los criterios de estabilidad. La restricción a variedades no singulares no conducirá a un espacio compacto en ningún sentido como espacio de módulos: las variedades pueden degenerar hasta tener singularidades. Por otro lado, los puntos que corresponderían a variedades altamente singulares son definitivamente demasiado 'malos' para incluirlos en la respuesta. El término medio correcto, de puntos lo suficientemente estables para ser admitidos, fue aislado por el trabajo de Mumford. El concepto no era enteramente nuevo, ya que ciertos aspectos del mismo se encontraban en las ideas finales de David Hilbert sobre la teoría de invariantes, antes de pasar a otros campos.
El prefacio del libro también enunció la conjetura de Mumford , posteriormente demostrada por William Haboush .
Si un grupo reductivo G actúa linealmente sobre un espacio vectorial V , entonces un punto distinto de cero de V se llama
Hay formas equivalentes de expresarlas (este criterio se conoce como criterio de Hilbert-Mumford ):
Un punto del espacio proyectivo correspondiente de V se llama inestable, semiestable o estable si es la imagen de un punto en V con la misma propiedad. "Inestable" es lo opuesto de "semistable" (no "estable"). Los puntos inestables forman un conjunto cerrado de Zariski del espacio proyectivo, mientras que los puntos semiestables y estables forman ambos conjuntos abiertos de Zariski (posiblemente vacíos). Estas definiciones son de (Mumford 1977) y no son equivalentes a las de la primera edición del libro de Mumford.
Muchos espacios de módulos pueden construirse como cocientes del espacio de puntos estables de algún subconjunto del espacio proyectivo mediante alguna acción de grupo. Estos espacios pueden a menudo compactarse añadiendo ciertas clases de equivalencia de puntos semiestables. Diferentes órbitas estables corresponden a diferentes puntos en el cociente, pero dos órbitas semiestables diferentes pueden corresponder al mismo punto en el cociente si sus clausuras se intersecan.
Ejemplo: (Deligne & Mumford 1969) Una curva estable es una curva conexa reducida de género ≥2 tal que sus únicas singularidades son puntos dobles ordinarios y cada componente racional no singular se encuentra con los otros componentes en al menos 3 puntos. El espacio de módulos de curvas estables de género G es el cociente de un subconjunto del esquema de Hilbert de curvas en P 5 g –6 con polinomio de Hilbert (6 n – 1)( g – 1) por el grupo PGL 5 g –5 .
Ejemplo: Un fibrado vectorial W sobre una curva algebraica (o sobre una superficie de Riemann ) es un fibrado vectorial estable si y sólo si
para todos los subconjuntos propios distintos de cero V de W y es semiestable si esta condición se cumple con < reemplazado por ≤.
