En matemáticas , y especialmente en geometría algebraica , la estabilidad es una noción que caracteriza cuando un objeto geométrico , por ejemplo un punto , una variedad algebraica , un conjunto de vectores o un haz , tiene algunas propiedades deseables con el fin de clasificarlos. La caracterización exacta de lo que significa ser estable depende del tipo de objeto geométrico, pero todos estos ejemplos comparten la propiedad de tener una cantidad mínima de simetría interna , es decir, dichos objetos estables tienen pocos automorfismos . Esto está relacionado con el concepto de simplicidad en matemáticas, que mide cuando algún objeto matemático tiene pocos subobjetos en su interior (ver por ejemplo grupos simples , que no tienen subgrupos normales no triviales). Además de estabilidad, algunos objetos pueden describirse con términos como semiestable (que tiene una pequeña pero no mínima cantidad de simetría), poliestable (que está hecho de objetos estables) o inestable (que tiene demasiada simetría, lo opuesto a estable).
En muchas áreas de las matemáticas, y de hecho dentro de la geometría misma, a menudo es muy deseable tener objetos altamente simétricos, y estos objetos a menudo se consideran estéticamente agradables . Sin embargo, grandes cantidades de simetría no son deseables cuando se intenta clasificar objetos geométricos construyendo espacios de módulos de ellos, porque las simetrías de estos objetos provocan la formación de singularidades y obstruyen la existencia de familias universales .
El concepto de estabilidad fue introducido por primera vez en su forma moderna por David Mumford en 1965 en el contexto de la teoría geométrica invariante , una teoría que explica cómo tomar cocientes de variedades algebraicas mediante acciones grupales y obtener un espacio de cocientes que sigue siendo una variedad algebraica. , el llamado cociente categórico . [1] Sin embargo, las ideas detrás del trabajo de Mumford se remontan a la teoría invariante de David Hilbert en 1893, y los conceptos fundamentales involucrados se remontan incluso al trabajo de Bernhard Riemann sobre la construcción de espacios de módulos de superficies de Riemann . [2] Desde el trabajo de Mumford, la estabilidad ha aparecido en muchas formas a lo largo de la geometría algebraica, a menudo con varias nociones de estabilidad derivadas de la teoría geométrica invariante o inspiradas en ella. No existe una teoría completamente general de la estabilidad (aunque un intento de formar tal teoría es la estabilidad de Bridgeland ), y este artículo sirve para resumir y comparar las diferentes manifestaciones de la estabilidad en geometría y las relaciones entre ellas.
Además de su uso en clasificación y formación de cocientes en geometría algebraica, la estabilidad también encuentra un uso significativo en geometría diferencial y análisis geométrico , debido al principio general que establece que los objetos geométricos algebraicos estables corresponden a objetos geométricos diferenciales extremos . Aquí por extremo generalmente se entiende en el sentido de cálculo de variaciones , en el sentido de que tales objetos minimizan algunas funciones . El ejemplo prototípico de este principio es el teorema de Kempf-Ness , que relaciona los cocientes GIT con los cocientes simplécticos al mostrar que los puntos estables minimizan la energía funcional del mapa de momentos . Debido a este principio general, la estabilidad ha encontrado uso como herramienta clave para construir la existencia de soluciones a muchas ecuaciones diferenciales parciales importantes en geometría, como las ecuaciones de Yang-Mills y las ecuaciones de Kähler-Einstein . Más ejemplos de esta correspondencia en acción incluyen la correspondencia Kobayashi-Hitchin , la correspondencia nobeliana de Hodge , la conjetura de Yau-Tian-Donaldson para las variedades de Kähler-Einstein e incluso el teorema de uniformización .
