Se dice que una colección de subconjuntos de un espacio topológico es localmente finita si cada punto en el espacio tiene un vecindario que interseca sólo un número finito de los conjuntos en la colección. [1]
En el campo matemático de la topología , la finitud local es una propiedad de las colecciones de subconjuntos de un espacio topológico . Es fundamental en el estudio de la paracompacidad y la dimensión topológica .
Téngase en cuenta que el término localmente finito tiene significados diferentes en otros campos matemáticos.
Una colección finita de subconjuntos de un espacio topológico es localmente finita. [2] Las colecciones infinitas también pueden ser localmente finitas: por ejemplo, la colección de subconjuntos de de la forma para un entero . [1] Una colección contable de subconjuntos no necesita ser localmente finita, como lo demuestra la colección de todos los subconjuntos de de la forma para un número natural n .
Toda colección localmente finita de conjuntos es finita en puntos , lo que significa que cada punto del espacio pertenece a un número finito de conjuntos en la colección. La finitud en puntos es una noción estrictamente más débil, como lo ilustra la colección de intervalos en , que es finita en puntos, pero no localmente finita en el punto . Los dos conceptos se utilizan en las definiciones de espacio paracompacto y espacio metacompacto , y esta es la razón por la que todo espacio paracompacto es metacompacto.
Si una colección de conjuntos es localmente finita, la colección de las clausuras de estos conjuntos también es localmente finita. [3] La razón de esto es que si un conjunto abierto que contiene un punto interseca la clausura de un conjunto, necesariamente interseca al conjunto mismo, por lo tanto, una vecindad puede intersecar como máximo el mismo número de clausuras (puede intersecar menos, ya que dos conjuntos distintos, de hecho disjuntos, pueden tener la misma clausura). Sin embargo, la inversa puede fallar si las clausuras de los conjuntos no son distintas. Por ejemplo, en la topología de complemento finito en la colección de todos los conjuntos abiertos no es localmente finita, pero la colección de todas las clausuras de estos conjuntos es localmente finita (ya que las únicas clausuras son y el conjunto vacío ).
Una unión arbitraria de conjuntos cerrados no es cerrada en general. Sin embargo, la unión de una colección localmente finita de conjuntos cerrados es cerrada. [4] Para ver esto, notamos que si es un punto fuera de la unión de esta colección localmente finita de conjuntos cerrados, simplemente elegimos un vecindario de que interseca esta colección en solo un número finito de estos conjuntos. Definimos una función biyectiva a partir de la colección de conjuntos que interseca a dando así un índice a cada uno de estos conjuntos. Luego, para cada conjunto, elegimos un conjunto abierto que contenga que no lo interseca. La intersección de todos los tales para intersectados con , es un vecindario de que no interseca la unión de esta colección de conjuntos cerrados.
Toda colección localmente finita de conjuntos en un espacio compacto es finita. En efecto, sea una familia localmente finita de subconjuntos de un espacio compacto . Para cada punto , elija un entorno abierto que interseca un número finito de los subconjuntos en . Claramente, la familia de conjuntos: es una cobertura abierta de , y por lo tanto tiene una subcobertura finita : . Como cada interseca solo un número finito de subconjuntos en , la unión de todos ellos interseca solo un número finito de subconjuntos en . Como esta unión es todo el espacio , se deduce que interseca solo un número finito de subconjuntos en la colección . Y como está compuesta de subconjuntos de cada miembro de debe intersecar , por lo tanto es finito.
Toda colección localmente finita de conjuntos en un espacio de Lindelöf , en particular en un espacio de segundo orden contable , es contable. [5] Esto se demuestra mediante un argumento similar al del resultado anterior para espacios compactos.
Una colección de subconjuntos de un espacio topológico se denominaσ-localmente finito [6][7]ocontablemente localmente finito [8]si es una unión contable de colecciones localmente finitas.
La noción de σ-localmente finito es un ingrediente clave en el teorema de metrización de Nagata-Smirnov , que establece que un espacio topológico es metrizable si y solo si es regular , Hausdorff , y tiene una base σ-localmente finita . [9] [10]
En un espacio de Lindelöf , en particular en un segundo espacio contable , toda colección de conjuntos σ-localmente finita es contable.
