Cociente GIT

En geometría algebraica , un cociente GIT afín , o cociente de teoría de invariantes geométricos afines , de un esquema afín con una acción por un esquema de grupo G es el esquema afín , el espectro primo del anillo de invariantes de A , y se denota por . Un cociente GIT es un cociente categórico : cualquier morfismo invariante se factoriza de manera única a través de él. ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})}$ ${\displaystyle X/\!/G}$

Tomando Proj (de un anillo graduado ) en lugar de , se obtiene un cociente GIT proyectivo (que es un cociente del conjunto de puntos semiestables ). ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$

Un cociente GIT es un cociente categórico del lugar geométrico de los puntos semiestables; es decir, "el" cociente del lugar geométrico semiestable. Como el cociente categórico es único, si hay un cociente geométrico , entonces las dos nociones coinciden: por ejemplo, se tiene

${\displaystyle G/H=G/\!/H=\operatorname {Spec} \!{\big (}k[G]^{H}{\big )}}$

para un grupo algebraico G sobre un cuerpo ^k y un subgrupo cerrado H. ^{[ aclaración necesaria} ]

Si X es una variedad proyectiva suave compleja y si G es un grupo de Lie complejo reductivo , entonces el cociente GIT de X por G es homeomorfo al cociente simpléctico de X por un subgrupo compacto maximalista de G ( teorema de Kempf-Ness ).

Construcción de un cociente GIT

Sea G un grupo reductivo que actúa sobre un esquema cuasi-proyectivo X sobre un cuerpo y L un fibrado linealizado amplio sobre X. Sea

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,L^{\otimes n})}$

sea ​​el anillo de secciones. Por definición, el lugar geométrico semiestable es el complemento del conjunto cero en X ; en otras palabras, es la unión de todos los subconjuntos abiertos para secciones globales s de , n grandes. Por amplitud, cada uno es afín; digamos y así podemos formar el cociente GIT afín ${\displaystyle X^{ss}}$ ${\displaystyle V(R_{+}^{G})}$ ${\displaystyle U_{s}=\{s\neq 0\}}$ ${\displaystyle (L^{\otimes n})^{G}}$ ${\displaystyle U_{s}}$ ${\displaystyle U_{s}=\operatorname {Spec} (A_{s})}$

${\displaystyle \pi _{s}\colon U_{s}\to U_{s}/\!/G=\operatorname {Spec} (A_{s}^{G}).}$

Nótese que es de tipo finito por el teorema de Hilbert sobre el anillo de invariantes . Por propiedad universal de los cocientes categóricos , estos cocientes afines se pegan y dan como resultado ${\displaystyle U_{s}/\!/G}$

${\displaystyle \pi \colon X^{ss}\to X/\!/_{L}G,}$

que es el cociente GIT de X con respecto a L . Nótese que si X es proyectivo; es decir, es el Proy de R , entonces el cociente se da simplemente como el Proy del anillo de invariantes . ${\displaystyle X/\!/_{L}G}$ ${\displaystyle R^{G}}$

El caso más interesante es cuando el lugar estable ^[1] no está vacío; es el conjunto abierto de puntos semiestables que tienen estabilizadores finitos y órbitas cerradas en . En tal caso, el cociente GIT se restringe a ${\displaystyle X^{s}}$ ${\displaystyle X^{s}}$ ${\displaystyle X^{ss}}$

${\displaystyle \pi ^{s}\colon X^{s}\to X^{s}/\!/G,}$

que tiene la propiedad: cada fibra es una órbita. Es decir, es un cociente genuino (es decir, cociente geométrico ) y se escribe . Debido a esto, cuando no está vacío, el cociente GIT se suele denominar una "compactificación" de un cociente geométrico de un subconjunto abierto de X . ${\displaystyle \pi ^{s}}$ ${\displaystyle X^{s}/G=X^{s}/\!/G}$ ${\displaystyle X^{s}}$ ${\displaystyle \pi }$

Una pregunta difícil y aparentemente abierta es: ¿qué cociente geométrico surge en la forma GIT anterior? La pregunta es de gran interés ya que el enfoque GIT produce un cociente explícito , en oposición a un cociente abstracto, que es difícil de calcular. Una respuesta parcial conocida a esta pregunta es la siguiente: ^[2] sea una variedad algebraica factorial local (por ejemplo, una variedad suave) con una acción de . Supóngase que hay un subconjunto abierto así como un cociente geométrico tal que (1) es un morfismo afín y (2) es cuasi-proyectivo. Entonces, para algún fibrado linealizado L en X . (Una pregunta análoga es determinar qué subanillo es el anillo de invariantes de alguna manera). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \pi \colon U\to U/G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle U/G}$ ${\displaystyle U\subset X^{s}(L)}$

Ejemplos

Acción grupal finita por O / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2}

Un ejemplo simple de un cociente GIT lo da la acción -al enviar ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\mapsto (-x)&&y\mapsto (-y)\end{aligned}}}$

Nótese que los monomios generan el anillo . Por lo tanto, podemos escribir el anillo de invariantes como ${\displaystyle x^{2},xy,y^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2}}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2}=\mathbb {C} [x^{2},xy,y^{2}]={\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}$

Esquematizando teóricamente, obtenemos el morfismo

${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}\to {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}\right)=:\mathbb {A} ^{2}/(\mathbb {Z} /2)}$

que es una subvariedad singular de con singularidad aislada en . Esto se puede comprobar utilizando las diferenciales, que son ${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}$ ${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle df={\begin{bmatrix}c&-2b&a\end{bmatrix}}}$

Por lo tanto, el único punto en el que tanto la diferencial como el polinomio se anulan es en el origen. El cociente obtenido es una superficie cónica con un punto doble ordinario en el origen. ${\displaystyle f}$

Acción del toro en el plano

Considere la acción del toro de sobre por . Nótese que esta acción tiene algunas órbitas: el origen , los ejes perforados, y las cónicas afines dadas por para algún . Entonces, el cociente GIT tiene estructura haz que es el subanillo de polinomios , por lo tanto es isomorfo a . Esto da el cociente GIT ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle t\cdot (x,y)=(tx,t^{-1}y)}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \{(x,0):x\neq 0\},\{(0,y):y\neq 0\}}$ ${\displaystyle xy=a}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle X//\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{2}}^{\mathbb {G} _{m}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [xy]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle \pi \colon \mathbb {A} ^{2}\to \mathbb {A} ^{2}//\mathbb {G} _{m}}$

Observe que la imagen inversa del punto está dada por las órbitas , lo que demuestra que el cociente GIT no es necesariamente un espacio de órbitas. Si lo fuera, habría tres orígenes, un espacio no separado. ^[3] ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle (0,0),\{(x,0):x\neq 0\},\{(0,y):y\neq 0\}}$

Véase también

• pila de cocientes
• Variedad de personajes
• Cociente de Chow

Notas

1. NB: En (Mumford, Fogarty y Kirwan 1994), se le llamó el conjunto de puntos propiamente estables.
2. Mumford, Fogarty y Kirwan 1994, Converse 1.13. NB: aunque el resultado se indica para una variedad suave, la prueba allí es válida para una variedad factorial local.
3. Thomas, Richard P. (2006). "Notas sobre TIG y reducción simpléctica para haces y variedades". Encuestas en geometría diferencial . 10 (1). Prensa internacional de Boston: 221–273. arXiv : math/0512411 . doi :10.4310/sdg.2005.v10.n1.a7. ISSN  1052-9233. MR  2408226. S2CID  16294331.

Referencias

Pedagógico

• Mukai, Shigeru (2002). Introducción a los invariantes y módulos. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 81. ISBN 978-0-521-80906-1.
• Brion, Michel. "Introducción a las acciones de grupos algebraicos" (PDF) .
• Laza, Radu (15 de marzo de 2012). "GIT y módulos con un toque diferente". arXiv : 1111.3032 [matemáticas.AG].
• Thomas, Richard P. (2006). "Notas sobre TIG y reducción simpléctica para haces y variedades". Un tributo al profesor S.-S. Chern . Encuestas en geometría diferencial. Vol. 10. págs. 221–273. arXiv : math/0512411 . doi :10.4310/SDG.2005.v10.n1.a7. MR  2408226. S2CID  16294331.

Referencias

• Alper, Jarod (14 de abril de 2008). "Buenos espacios de módulos para pilas de Artin". arXiv : 0804.2242 [math.AG].
• Doran, Brent; Kirwan, Frances (2007). "Hacia una teoría invariante geométrica no reductiva". Pure and Applied Mathematics Quarterly . 3 (1, número especial: En honor a Robert D. MacPherson. Parte 3): 61–105. arXiv : math/0703131 . Bibcode :2007math......3131D. doi :10.4310/PAMQ.2007.v3.n1.a3. MR  2330155. S2CID  3190064.
• Hoskins, Victoria. "Cocientes en geometría algebraica y simpléctica".
• Kirwan, Frances C. (1984). Cohomología de cocientes en geometría compleja y algebraica . Mathematical Notes. Vol. 31. Princeton NJ: Princeton University Press .
• Mumford, David ; Fogarty, John; Kirwan, Frances (1994). Teoría de las invariantes geométricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (2)]. vol. 34 (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3.Señor 1304906  .