Subconjunto cerrado localmente

En topología , una rama de las matemáticas, se dice que un subconjunto de un espacio topológico es localmente cerrado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[1] [2] [3] [4]} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle E}$es la intersección de un conjunto abierto y un conjunto cerrado en ${\displaystyle X.}$
• Para cada punto hay una vecindad de tal que está cerrada en ${\displaystyle x\in E,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E\cap U}$ ${\displaystyle U.}$
• ${\displaystyle E}$está abierto en su cierre ${\displaystyle {\overline {E}}.}$
• El conjunto está cerrado en ${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$es la diferencia de dos conjuntos cerrados en ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$es la diferencia de dos conjuntos abiertos en ${\displaystyle X.}$

La segunda condición justifica la terminología localmente cerrada y es la definición de Bourbaki de localmente cerrada. ^[1] Para ver que la segunda condición implica la tercera, use los hechos de que para subconjuntos está cerrado si y solo si y que para un subconjunto y un subconjunto abierto ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A={\overline {A}}\cap B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle {\overline {E}}\cap U={\overline {E\cap U}}\cap U.}$

Ejemplos

El intervalo es un subconjunto localmente cerrado de Para otro ejemplo, considere el interior relativo de un disco cerrado en Está localmente cerrado ya que es una intersección del disco cerrado y una bola abierta. ${\displaystyle (0,1]=(0,2)\cap [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Por otro lado, no es un subconjunto localmente cerrado de . ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\neq 0\}\cup \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Recuerde que, por definición, una subvariedad de una variedad - es un subconjunto tal que para cada punto hay un gráfico a su alrededor de modo que, por lo tanto, una subvariedad está localmente cerrada. ^[5] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi (E\cap U)=\mathbb {R} ^{k}\cap \varphi (U).}$

Aquí hay un ejemplo de geometría algebraica. Sea U un gráfico afín abierto en una variedad proyectiva X (en la topología de Zariski). Entonces cada subvariedad cerrada Y de U está localmente cerrada en X ; es decir, donde denota el cierre de Y en X. (Ver también variedad cuasi proyectiva y variedad cuasi afín ). ${\displaystyle Y=U\cap {\overline {Y}}}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}}$

Propiedades

Las intersecciones finitas y la preimagen bajo un mapa continuo de conjuntos localmente cerrados están localmente cerrados. ^[1] Por otro lado, una unión y un complemento de subconjuntos localmente cerrados no necesitan estar cerrados localmente. ^[6] (Esto motiva la noción de conjunto construible ).

Especialmente en la teoría de la estratificación , para un subconjunto localmente cerrado el complemento se denomina límite de (no debe confundirse con límite topológico ). ^[2] Si es una subvariedad cerrada con límite de una variedad, entonces el interior relativo (es decir, el interior como variedad) de está localmente cerrado y su límite como variedad es el mismo que su límite como un subconjunto localmente cerrado. ^[2] ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$

Se dice que un espacio topológico essubmáximo si cada subconjunto está localmente cerrado. Consulteel Glosario de topología#Spara obtener más información sobre esta noción.

Ver también

• Espacio generado contablemente  : espacio topológico en el que la topología está determinada por sus subconjuntos contables.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Notas

1. Bourbaki 2007, cap. 1, § 3, núm. 3.
2. Pflaum 2001, Explicación 1.1.2.
3. Ganster, M.; Reilly, Illinois (1989). "Conjuntos localmente cerrados y LC -funciones continuas". Revista Internacional de Matemáticas y Ciencias Matemáticas . 12 (3): 417–424. doi : 10.1155/S0161171289000505 . ISSN  0161-1712.
4. Engelking 1989, Ejercicio 2.7.1.
5. Mather, John (2012). "Notas sobre estabilidad topológica". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 49 (4): 475–506. doi : 10.1090/S0273-0979-2012-01383-6 .sección 1, pág. 476
6. Bourbaki 2007, cap. 1, § 3, ejercicio 7.

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (2007). Topología general. Capítulos 1 a 4. Berlín: Springer. doi :10.1007/978-3-540-33982-3. ISBN 978-3-540-33982-3.
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• Pflaum, Markus J. (2001). Estudio analítico y geométrico de espacios estratificados . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1768. Berlín: Springer. ISBN 3-540-42626-4. OCLC  47892611.

enlaces externos

• set local cerrado en el n Lab