En matemáticas , una variedad cuasi-proyectiva en geometría algebraica es un subconjunto localmente cerrado de una variedad proyectiva , es decir, la intersección dentro de algún espacio proyectivo de un subconjunto abierto de Zariski y un subconjunto cerrado de Zariski . Se utiliza una definición similar en la teoría de esquemas , donde un esquema cuasiproyectivo es un subesquema localmente cerrado de algún espacio proyectivo . [1]
Un espacio afín es un subconjunto abierto de Zariski de un espacio proyectivo , y dado que cualquier subconjunto afín cerrado puede expresarse como una intersección de la terminación proyectiva y el espacio afín incrustado en el espacio proyectivo, esto implica que cualquier variedad afín es cuasiproyectiva. Hay subconjuntos localmente cerrados de espacio proyectivo que no son afines, por lo que lo cuasiproyectivo es más general que afín. Tomar el complemento de un solo punto en el espacio proyectivo de dimensión al menos 2 da una variedad cuasiproyectiva no afín. Este es también un ejemplo de una variedad cuasiproyectiva que no es ni afín ni proyectiva.
Dado que las variedades cuasiproyectivas generalizan tanto las variedades afines como las proyectivas, a veces se las denomina simplemente variedades . Las variedades isomórficas a variedades algebraicas afines como variedades cuasiproyectivas se denominan variedades afines ; lo mismo ocurre con las variedades proyectivas. Por ejemplo, el complemento de un punto en la recta afín, es decir , es isomorfo al conjunto cero del polinomio en el plano afín. Como un conjunto afín no es cerrado, cualquier polinomio cero en el complemento debe ser cero en la recta afín. Para otro ejemplo, el complemento de cualquier cónica en el espacio proyectivo de dimensión 2 es afín. Las variedades isomorfas a subconjuntos abiertos de variedades afines se denominan cuasi afines .
Las variedades cuasi proyectivas son localmente afines en el mismo sentido en que una variedad es localmente euclidiana : cada punto de una variedad cuasi proyectiva tiene una vecindad que es una variedad afín. Esto produce una base de conjuntos afines para la topología de Zariski en una variedad cuasiproyectiva.
