Criterio de Hilbert-Mumford

En matemáticas , el criterio de Hilbert-Mumford , introducido por David Hilbert ^[1] y David Mumford , caracteriza los puntos semiestables y estables de una acción de grupo en un espacio vectorial en términos de valores propios de subgrupos de 1 parámetro (Dieudonné y Carrell 1970, 1971, p.58).

Definición de estabilidad

Cuando el peso de la fibra sobre el límite x ₀ es positivo, el punto x se lleva a 0 a lo largo de la acción C ^* y el cierre de la órbita contiene 0. Cuando el peso es positivo, x se va al infinito y la órbita se cierra.

Sea G un grupo reductivo que actúa linealmente sobre un espacio vectorial V , un punto distinto de cero de V se llama

• semiestable si el 0 no está contenido en el cierre de su órbita, e inestable en caso contrario;
• estable si su órbita es cerrada y su estabilizador es finito. Un punto estable es a fortiori semiestable. Un punto semiestable pero no estable se llama estrictamente semiestable .

Cuando G es el grupo multiplicativo , p. ej. C ^* en el contexto complejo, la acción equivale a una representación de dimensión finita . Podemos descomponer V en una suma directa , donde en cada componente V _i la acción se da como . El entero i se denomina peso. Luego, para cada punto x , observamos el conjunto de pesos en el que tiene un componente distinto de cero. ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \lambda \colon \mathbf {C} ^{*}\to \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle V=\textstyle \bigoplus _{i}V_{i}}$ ${\displaystyle \lambda (t)\cdot v=t^{i}v}$

• Si todos los pesos son estrictamente positivos, entonces , por lo que 0 está en el cierre de la órbita de x , es decir, x es inestable; ${\displaystyle \lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x=0}$
• Si todos los pesos son no negativos, siendo 0 un peso, entonces o bien 0 es el único peso, en cuyo caso x se estabiliza mediante C ^* ; o bien hay algunos pesos positivos además de 0, entonces el límite es igual al componente de peso 0 de x , que no está en la órbita de x . Por lo tanto, los dos casos corresponden exactamente al fallo respectivo de las dos condiciones en la definición de un punto estable, es decir, hemos demostrado que x es estrictamente semiestable. ${\displaystyle \lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x}$

Declaración

El criterio de Hilbert-Mumford dice esencialmente que el caso del grupo multiplicativo es la situación típica. Precisamente, para un grupo reductivo general G que actúa linealmente sobre un espacio vectorial V , la estabilidad de un punto x se puede caracterizar mediante el estudio de subgrupos de 1 parámetro de G , que son morfismos no triviales . Nótese que los pesos para la inversa son precisamente menos los de , por lo que las afirmaciones se pueden hacer simétricas. ${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {G} _{m}\to G}$ ${\displaystyle \lambda ^{-1}}$ ${\displaystyle \lambda }$

• Un punto x es inestable si y sólo si existe un subgrupo de 1 parámetro de G para el cual x admite sólo pesos positivos o sólo pesos negativos; equivalentemente, x es semiestable si y sólo si no existe tal subgrupo de 1 parámetro, es decir, para cada subgrupo de 1 parámetro hay pesos no positivos y no negativos;
• Un punto x es estrictamente semiestable si y sólo si hay un subgrupo de 1 parámetro de G para el cual x admite 0 como peso, siendo todos los pesos no negativos (o no positivos);
• Un punto x es estable si y sólo si no existe ningún subgrupo de 1 parámetro de G para el cual x admita sólo pesos no negativos o sólo pesos no positivos, es decir, para cada subgrupo de 1 parámetro existen pesos tanto positivos como negativos.

Ejemplos y aplicaciones

La acción de C ^* sobre el plano ^C2 , siendo las órbitas cónicas planas (hipérbolas).

Acción de C*En el avión

El ejemplo estándar es la acción de C ^* sobre el plano C2 definido como . Claramente el peso en la dirección x es 1 y el peso en la dirección y es ^-1 . Por lo tanto, por el criterio de Hilbert-Mumford, un punto distinto de cero en el eje x admite 1 como su único peso, y un punto distinto de cero en el eje y admite -1 como su único peso, por lo que ambos son inestables; un punto general en el plano admite tanto 1 como -1 como pesos, por lo que es estable. ${\displaystyle t\cdot (x,y)=(tx,t^{-1}y)}$

Puntos en P1

En los problemas de módulos surgen muchos ejemplos . Por ejemplo, considere un conjunto de n puntos en la curva racional P ¹ (más precisamente, un subesquema de longitud n de P ¹ ). El grupo de automorfismos de P ¹ , PSL(2, C ), actúa sobre tales conjuntos (subesquemas), y el criterio de Hilbert-Mumford nos permite determinar la estabilidad bajo esta acción.

Podemos linealizar el problema identificando un conjunto de n puntos con un polinomio homogéneo de grado n en dos variables. Por lo tanto, consideramos la acción de SL(2, C ) sobre el espacio vectorial de tales polinomios homogéneos. Dado un subgrupo de 1 parámetro , podemos elegir las coordenadas x e y de modo que la acción sobre P ¹ esté dada como ${\displaystyle H^{0}({\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{1}}(n))}$ ${\displaystyle \lambda \colon \mathbf {C} ^{*}\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$

${\displaystyle \lambda (t)\cdot [x:y]=[t^{k}x:t^{-k}y].}$

Para un polinomio homogéneo de forma , el término tiene peso k (2 i - n ). Por lo que el polinomio admite pesos tanto positivos como negativos (resp. no positivos y no negativos) si y solo si hay términos con i > n /2 e i < n/2 (resp. i ≥ n /2 e i ≤ n/2 ). En particular, la multiplicidad de x o y debe ser < n /2 (resp. ≤ n /2). Si repetimos sobre todos los subgrupos de 1 parámetro, podemos obtener la misma condición de multiplicidad para todos los puntos en P ¹ . Por el criterio de Hilbert-Mumford, el polinomio (y por lo tanto el conjunto de n puntos) es estable (resp. semiestable) si y solo si su multiplicidad en cualquier punto es < n /2 (resp. ≤ n /2). ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}y^{n-i}}$ ${\displaystyle x^{i}y^{n-i}}$

Cúbicas planas

Se puede realizar un análisis similar utilizando un polinomio homogéneo para determinar la estabilidad de las cúbicas planas . El criterio de Hilbert-Mumford muestra que una cúbica plana es estable si y solo si es suave; es semiestable si y solo si admite en el peor de los casos puntos dobles ordinarios como singularidades ; una cúbica con peores singularidades (por ejemplo, una cúspide ) es inestable.

Véase también

• Teoría de invariantes geométricos
• Cociente GIT

Referencias

1. Hilbert, D. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme (Sobre sistemas invariantes completos)", Matemáticas. Annalen , 42 (3): 313, doi :10.1007/BF01444162

• Dieudonné, Jean A. ; Carrell, James B. (1970), "Teoría invariante, antigua y nueva", Advances in Mathematics , 4 : 1–80, doi : 10.1016/0001-8708(70)90015-0 , ISSN  0001-8708, MR  0255525
• Dieudonné, Jean A. ; Carrell, James B. (1971), Teoría invariante, antigua y nueva , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-215540-6, Sr.  0279102
• Harris, Joe ; Morrison, Ian (1998), Módulos de curvas , Springer , doi :10.1007/b98867
• Thomas, Richard P. (2006), "Notas sobre GIT y reducción simpléctica para paquetes y variedades", Surveys in Differential Geometry , 10 , arXiv : math/0512411v3