Cohomología de gavilla coherente

En matemáticas , especialmente en geometría algebraica y teoría de variedades complejas , la cohomología de gavilla coherente es una técnica para producir funciones con propiedades específicas. Muchas cuestiones geométricas pueden formularse como preguntas sobre la existencia de secciones de haces de líneas o de haces coherentes más generales ; dichas secciones pueden verse como funciones generalizadas. La cohomología proporciona herramientas computables para producir secciones o explicar por qué no existen. También proporciona invariantes para distinguir una variedad algebraica de otra.

Gran parte de la geometría algebraica y la geometría analítica compleja se formula en términos de haces coherentes y su cohomología.

Gavillas coherentes

Las gavillas coherentes pueden verse como una generalización de haces de vectores . Existe una noción de haz analítico coherente en un espacio analítico complejo y una noción análoga de haz algebraico coherente en un esquema . En ambos casos, el espacio dado viene con un haz de anillos , el haz de funciones holomorfas o funciones regulares , y los haces coherentes se definen como una subcategoría completa de la categoría de -módulos (es decir, haces de -módulos ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Los paquetes de vectores como el paquete tangente juegan un papel fundamental en la geometría. De manera más general, para una subvariedad cerrada de con inclusión , un paquete de vectores determina una gavilla coherente , la imagen directa de la gavilla , que es cero en el exterior . De esta manera, muchas preguntas sobre subvariedades de pueden expresarse en términos de haces coherentes en . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:Y\to X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}E}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

A diferencia de los paquetes de vectores, las gavillas coherentes (en el caso analítico o algebraico) forman una categoría abeliana y, por lo tanto, se cierran en operaciones como la toma de núcleos , imágenes y cokernels . En un esquema, las gavillas cuasi coherentes son una generalización de gavillas coherentes, incluidas las gavillas localmente libres de rango infinito.

Cohomología de la gavilla

Para un haz de grupos abelianos en un espacio topológico , los grupos de cohomología del haz para números enteros se definen como los functores derivados derechos del funtor de secciones globales . Como resultado, es cero para y puede identificarse con . Para cualquier secuencia corta exacta de gavillas , existe una secuencia larga exacta de grupos de cohomología: ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle i<0}$ ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle 0\to {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}\to 0}$

${\displaystyle 0\to H^{0}(X,{\mathcal {A}})\to H^{0}(X,{\mathcal {B}})\to H^{0}(X,{\mathcal {C}})\to H^{1}(X,{\mathcal {A}})\to \cdots .}$

Si hay un haz de módulos en un esquema , entonces los grupos de cohomología (definidos utilizando el espacio topológico subyacente de ) son módulos sobre el anillo de funciones regulares. Por ejemplo, si es un esquema sobre un campo , entonces los grupos de cohomología son espacios vectoriales . La teoría se vuelve poderosa cuando es un haz coherente o cuasi coherente, debido a la siguiente secuencia de resultados. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Teoremas de desaparición en el caso afín

El análisis complejo fue revolucionado por los teoremas A y B de Cartan en 1953. Estos resultados dicen que si es un haz analítico coherente en un espacio de Stein , entonces está abarcado por sus secciones globales y para todos . (Un espacio complejo es Stein si y sólo si es isomorfo a un subespacio analítico cerrado de para algunos ). Estos resultados generalizan una gran cantidad de trabajos más antiguos sobre la construcción de funciones analíticas complejas con singularidades dadas u otras propiedades. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

En 1955, Serre introdujo haces coherentes en la geometría algebraica (al principio sobre un campo algebraicamente cerrado , pero Grothendieck eliminó esa restricción ). Los análogos de los teoremas de Cartan se mantienen con gran generalidad: si es un haz cuasi coherente en un esquema afín , entonces está abarcado por sus secciones globales, y para . ^[2] Esto está relacionado con el hecho de que la categoría de haces cuasi coherentes en un esquema afín es equivalente a la categoría de -módulos, y la equivalencia toma una gavilla al -módulo . De hecho, los esquemas afines se caracterizan entre todos los esquemas cuasi compactos por la desaparición de la cohomología superior para haces cuasi coherentes. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}})}$

Cohomología de Čech y cohomología del espacio proyectivo

Como consecuencia de la desaparición de la cohomología para esquemas afines: para un esquema separado , una cobertura abierta afín de y una gavilla cuasi coherente en , los grupos de cohomología son isomórficos a los grupos de cohomología de Čech con respecto a la cobertura abierta . ^[2] En otras palabras, conocer las secciones de en todas las intersecciones finitas de los subesquemas abiertos afines determina la cohomología de con coeficientes en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{*}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Utilizando la cohomología de Čech, se puede calcular la cohomología del espacio proyectivo con coeficientes en cualquier paquete de líneas. Es decir, para un campo , un entero positivo y cualquier número entero , la cohomología del espacio proyectivo con coeficientes en el paquete de líneas viene dada por: ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$

${\displaystyle H^{i}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(j))\cong {\begin{cases}\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}\geq 0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=0\\[6pt]0&i\neq 0,n\\[6pt]\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}<0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=n\end{cases}}}$

En particular, este cálculo muestra que la cohomología del espacio proyectivo con coeficientes en cualquier paquete de líneas tiene una dimensión finita como espacio vectorial. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

La desaparición de estos grupos de cohomología por encima de la dimensión es un caso muy especial del teorema de desaparición de Grothendieck : para cualquier haz de grupos abelianos en un espacio topológico de dimensión noetheriano , para todos . ^[5] Esto es especialmente útil para un esquema noetheriano (por ejemplo, una variedad en un campo) y una gavilla cuasi coherente. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n<\infty }$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}$ ${\displaystyle i>n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Cohomología de gavilla de curvas planas.

Dada una curva plana proyectiva suave de grado , la cohomología de la gavilla se puede calcular fácilmente utilizando una secuencia larga y exacta en cohomología. Primero tenga en cuenta que para la incrustación existe el isomorfismo de grupos de cohomología. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$ ${\displaystyle i:C\to \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} ^{2},i_{*}{\mathcal {O}}_{C})\cong H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$

ya que es exacto. Esto significa que la secuencia corta y exacta de haces coherentes ${\displaystyle i_{*}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{C}\to 0}$

on , llamada secuencia ideal ^[6] , se puede utilizar para calcular la cohomología mediante la secuencia larga exacta en cohomología. La secuencia se lee como ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}}$

que puede simplificarse utilizando los cálculos anteriores sobre el espacio proyectivo. Para simplificar, supongamos que el anillo base es (o cualquier campo algebraicamente cerrado). Luego están los isomorfismos. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\end{aligned}}}$

lo que muestra que la curva es un espacio vectorial de dimensión finita de rango ${\displaystyle H^{1}}$

${\displaystyle {d-1 \choose d-3}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}}$.

Teorema de Kunneth

Existe un análogo de la fórmula de Kunneth en la cohomología de gavilla coherente para productos de variedades. ^[7] Dados esquemas cuasi compactos con diagonales afines sobre un campo , (por ejemplo, esquemas separados), y sean y , entonces hay un isomorfismo ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Coh}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\in {\text{Coh}}(Y)}$

${\displaystyle H^{k}(X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y,\pi _{1}^{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {G}})\cong \bigoplus _{i+j=k}H^{i}(X,{\mathcal {F}})\otimes _{k}H^{j}(Y,{\mathcal {G}})}$

¿Dónde están las proyecciones canónicas de to ? ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}$ ${\displaystyle X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y}$ ${\displaystyle X,Y}$

Calcular la cohomología de curvas en gavillas.

En , una sección genérica de define una curva , dando la secuencia ideal ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a,b)=\pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(a)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(b)}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-a,-b)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{C}\to 0}$

Entonces, la secuencia larga y exacta se lee como

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{0}(X,{\mathcal {O}})\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}})\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{2}(X,{\mathcal {O}})\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}}$

donación

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\end{aligned}}}$

Como es el género de la curva, podemos usar la fórmula de Kunneth para calcular sus números de Betti. Esto es ${\displaystyle H^{1}}$

${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-a,-b))\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-a))\otimes _{k}H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-b))}$

que es de rango

${\displaystyle {\binom {a-1}{a-2}}{\binom {b-1}{b-2}}=(a-1)(b-1)=ab-a-b+1}$^[8]

para . En particular, si se define por el lugar de desaparición de una sección genérica de , es del género ${\displaystyle -a,-b\leq -2}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(2,k)}$

${\displaystyle 2k-2-k+1=k-1}$

por lo tanto, se puede encontrar una curva de cualquier género dentro de . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$

dimensionalidad finita

Para un esquema adecuado sobre un campo y cualquier haz coherente , los grupos de cohomología tienen una dimensión finita como espacios vectoriales. ^[9] En el caso especial en el que es proyectivo sobre , esto se demuestra reduciéndolo al caso de haces de líneas en el espacio proyectivo, discutido anteriormente. En el caso general de un esquema adecuado sobre un campo, Grothendieck demostró la finitud de la cohomología reduciéndola al caso proyectivo, utilizando el lema de Chow . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

La dimensión finita de la cohomología también se cumple en la situación análoga de haces analíticos coherentes en cualquier espacio complejo compacto , mediante un argumento muy diferente. Cartan y Serre demostraron la dimensión finita en esta situación analítica utilizando un teorema de Schwartz sobre operadores compactos en espacios de Fréchet . Grothendieck (para esquemas localmente noetherianos) y Grauert (para espacios analíticos complejos) demostraron versiones relativas de este resultado para un morfismo adecuado . Es decir, para un morfismo adecuado (en el entorno algebraico o analítico) y un haz coherente en , los haces de imágenes directas superiores son coherentes. ^[10] Cuando es un punto, este teorema da la dimensión finita de la cohomología. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$

La dimensión finita de la cohomología conduce a muchos invariantes numéricos para variedades proyectivas. Por ejemplo, si es una curva proyectiva suave sobre un campo algebraicamente cerrado , el género de se define como la dimensión del espacio vectorial . Cuando es el campo de números complejos , esto concuerda con el género del espacio de puntos complejos en su topología clásica (euclidiana). (En ese caso, es una superficie orientada cerrada .) Entre muchas generalizaciones posibles de dimensiones superiores, el género geométrico de una variedad proyectiva suave de dimensión es la dimensión de , y el género aritmético (según una convención ^[11] ) es el suma alterna ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )=X^{an}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X})=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})).}$

dualidad serre

La dualidad de Serre es análoga a la dualidad de Poincaré para la cohomología de gavilla coherente. En esta analogía, el paquete canónico desempeña el papel de haz de orientación . Es decir, para un esquema de dimensión adecuado y fluido sobre un campo , existe un mapa de trazas natural , que es un isomorfismo si está geométricamente conexo , lo que significa que el cambio de base de a un cierre algebraico de está conexo . La dualidad de Serre para un paquete vectorial dice que el producto ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{n}(X,K_{X})\to k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})\to H^{n}(X,K_{X})\to k}$

es un emparejamiento perfecto para cada número entero . ^[12] En particular, los espacios vectoriales y tienen la misma dimensión (finita). (Serre también demostró la dualidad de Serre para paquetes de vectores holomórficos en cualquier variedad compleja compacta). La teoría de la dualidad de Grothendieck incluye generalizaciones a cualquier haz coherente y cualquier morfismo adecuado de esquemas, aunque las declaraciones se vuelven menos elementales. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{i}(X,E)}$ ${\displaystyle H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})}$

Por ejemplo, para una curva proyectiva suave sobre un campo algebraicamente cerrado , la dualidad de Serre implica que la dimensión del espacio de 1-formas en es igual al género de (la dimensión de ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{1})=H^{0}(X,K_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Teoremas de GAGA

Los teoremas de GAGA relacionan variedades algebraicas de números complejos con los espacios analíticos correspondientes. Para un esquema X de tipo finito sobre C , hay un functor desde haces algebraicos coherentes en X hasta haces analíticos coherentes en el espacio analítico asociado X ^an . El teorema clave de GAGA (de Grothendieck, generalizando el teorema de Serre en el caso proyectivo) es que si X es propio sobre C , entonces este funtor es una equivalencia de categorías. Además, para cada haz algebraico coherente E en un esquema adecuado X sobre C , el mapa natural

${\displaystyle H^{i}(X,E)\to H^{i}(X^{\text{an}},E^{\text{an}})}$

de espacios vectoriales complejos (de dimensión finita) es un isomorfismo para todo i . ^[13] (El primer grupo aquí se define usando la topología de Zariski, y el segundo usando la topología clásica (euclidiana).) Por ejemplo, la equivalencia entre haces coherentes algebraicos y analíticos en el espacio proyectivo implica el teorema de Chow de que todo subespacio analítico cerrado de CP ⁿ es algebraico.

Teoremas de desaparición

El teorema de fuga de Serre dice que para cualquier haz de líneas amplio en un esquema adecuado sobre un anillo noetheriano , y cualquier haz coherente en , existe un número entero tal que, para todos , el haz está atravesado por sus secciones globales y no tiene cohomología en grados positivos. ^{[14] [15]} ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle m\geq m_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes L^{\otimes m}}$

Aunque el teorema de desaparición de Serre es útil, lo inexplicable del número puede ser un problema. El teorema de desaparición de Kodaira es un resultado explícito importante. Es decir, si es una variedad proyectiva suave sobre un campo de característica cero, es un paquete de líneas amplias en y un paquete canónico , entonces ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle H^{j}(X,K_{X}\otimes L)=0}$

para todos . Tenga en cuenta que el teorema de Serre garantiza la misma desaparición para potencias grandes de . La desaparición de Kodaira y sus generalizaciones son fundamentales para la clasificación de variedades algebraicas y el programa modelo mínimo . La desaparición de Kodaira falla en campos de características positivas. ^[dieciséis] ${\displaystyle j>0}$ ${\displaystyle L}$

Teoría de Hodge

El teorema de Hodge relaciona la cohomología de gavilla coherente con la cohomología singular (o cohomología de De Rham ). Es decir, si es una variedad proyectiva compleja suave, entonces existe una descomposición canónica de suma directa de espacios vectoriales complejos: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{a}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{b=0}^{a}H^{a-b}(X,\Omega ^{b}),}$

para cada . El grupo de la izquierda significa la cohomología singular de en su topología clásica (euclidiana), mientras que los grupos de la derecha son grupos de cohomología de haces coherentes, que (según GAGA) pueden tomarse en Zariski o en la topología clásica. La misma conclusión es válida para cualquier esquema adecuado y fluido o para cualquier variedad Kähler compacta . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Por ejemplo, el teorema de Hodge implica que la definición del género de una curva proyectiva suave como la dimensión de , que tiene sentido en cualquier campo , concuerda con la definición topológica (como la mitad del primer número de Betti ) cuando se trata de números complejos. La teoría de Hodge ha inspirado una gran cantidad de trabajos sobre las propiedades topológicas de variedades algebraicas complejas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Teoremas de Riemann-Roch

Para un esquema adecuado X sobre un campo k , la característica de Euler de una gavilla coherente E en X es el número entero

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,E)).}$

La característica de Euler de una gavilla coherente E se puede calcular a partir de las clases de Chern de E , según el teorema de Riemann-Roch y sus generalizaciones, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch . Por ejemplo, si L es un conjunto de líneas en una curva suave y adecuada geométricamente conectada X sobre un campo k , entonces

${\displaystyle \chi (X,L)={\text{deg}}(L)-{\text{genus}}(X)+1,}$

donde deg( L ) denota el grado de L .

Cuando se combina con un teorema de desaparición, el teorema de Riemann-Roch a menudo se puede utilizar para determinar la dimensión del espacio vectorial de secciones de un paquete de líneas. Saber que un conjunto de líneas en X tiene suficientes secciones, a su vez, puede usarse para definir un mapa desde X al espacio proyectivo, tal vez una inmersión cerrada. Este enfoque es esencial para clasificar variedades algebraicas.

El teorema de Riemann-Roch también es válido para haces de vectores holomorfos en una variedad compleja compacta, según el teorema del índice de Atiyah-Singer .

Crecimiento

Las dimensiones de los grupos de cohomología en un esquema de dimensión n pueden crecer como máximo como un polinomio de grado n .

Sea X un esquema proyectivo de dimensión n y D un divisor de X . Si hay alguna gavilla coherente en X entonces ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle h^{i}(X,{\mathcal {F}}(mD))=O(m^{n})}$por cada i .

Para una cohomología superior del divisor nef D en X ;

${\displaystyle h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD))=O(m^{n-1})}$

Aplicaciones

Dado un esquema X sobre un campo k , la teoría de la deformación estudia las deformaciones de X en vecindades infinitesimales. El caso más simple, el de deformaciones sobre el anillo de números duales , examina si existe un esquema _XR sobre Spec R tal que la fibra especial ${\displaystyle R:=k[\epsilon ]/\epsilon ^{2}}$

${\displaystyle X_{R}\times _{\operatorname {Spec} R}\operatorname {Spec} k}$

es isomorfo al dado X . La cohomología de la gavilla coherente con coeficientes en la gavilla tangente controla esta clase de deformaciones de X , siempre que X sea suave. A saber, ${\displaystyle T_{X}}$

• Las clases de isomorfismo de deformaciones del tipo anterior están parametrizadas por la primera cohomología coherente , ${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})}$
• hay un elemento (llamado clase de obstrucción) en el que desaparece si y sólo si existe una deformación de X sobre la especificación R como se muestra arriba. ${\displaystyle H^{2}(X,T_{X})}$

Notas

1. (Hartshorne 1977, (III.1.1A) y sección III.2.)
2. Proyecto ab Stacks, etiqueta 01X8.
3. Proyecto de pilas, etiqueta 01XE.
4. (Hartshorne 1977, Teorema III.5.1.)
5. (Hartshorne 1977, Teorema III.2.7.)
6. Hochenegger, Andreas (2019). "Introducción a categorías derivadas de gavillas coherentes". En Andreas Hochenegger; Manfred Lehn; Paolo Stellari (eds.). Geometría biracional de hipersuperficies . Apuntes de conferencias de la Unione Matematica Italiana. vol. 26. págs. 267–295. arXiv : 1901.07305 . Código Bib : 2019arXiv190107305H. doi :10.1007/978-3-030-18638-8_7. ISBN 978-3-030-18637-1. S2CID  119721183.
7. "Sección 33.29 (0BEC): Fórmula de Künneth: el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 23 de febrero de 2020 .
8. Vakil. «BASES DE GEOMETRÍA ALGEBRAICA CLASES 35 Y 36» (PDF) .
9. Proyecto pilas, etiqueta 02O3.
10. (Grothendieck y Dieudonné 1961, (EGA 3) 3.2.1), (Grauert y Remmert 1984, Teorema 10.4.6.)
11. (Serre 1955, artículo 80.)
12. (Hartshorne 1977, Teorema III.7.6.)
13. (Grothendieck y Raynaud 2003, (SGA 1) Exposé XII.)
14. (Hartshorne 1977, Teorema II.5.17 y Proposición III.5.3.)
15. (Grothendieck y Dieudonné 1961, (EGA 3) Teorema 2.2.1)
16. Michel Raynaud. Contra-ejemplo del teorema de desaparición en característica p > 0 . En CP Ramanujam - un homenaje , Tata Inst. Fondo. Res. Estudios en Matemáticas. 8, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, (1978), págs. 273-278.

Referencias

• Cartan, Henri; Serre, Jean-Pierre (1953). "Un teorema de finitud con respecto a las variedades analíticas compactas". Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris . 237 : 128-130. Zbl  0050.17701.
• Grauert, Hans ; Remmert, Reinhold (1984), Gavillas analíticas coherentes , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 265, Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-69582-7, ISBN 3-540-13178-7, SEÑOR  0755331
• Grothendieck, Alejandro ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1960–61 – Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) , París: Société Mathématique de France , arXiv : math.AG/ 0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2, SEÑOR  2017446
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 . doi :10.1007/bf02684274. SEÑOR  0217085.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents" (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi :10.2307/1969915, JSTOR  1969915, SEÑOR  0068874
• Parshin, AN (2001) [1994], "Teoremas de finitud", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (2004). "El teorema de la finitud". Teoría de los Espacios Stein . Clásicos en Matemáticas. págs. 186-203. doi :10.1007/978-3-642-18921-0_8. ISBN 978-3-540-00373-1.

enlaces externos

• Los autores del proyecto Stacks, El proyecto Stacks