En matemáticas , en el campo de la geometría algebraica , la función de período relaciona familias de variedades de Kähler con familias de estructuras de Hodge .
Sea f : X → B un morfismo sumergido holomorfo. Para un punto b de B , denotamos la fibra de f sobre b por X b . Fijemos un punto 0 en B . El teorema de Ehresmann garantiza que existe un pequeño entorno abierto U alrededor de 0 en el que f se convierte en un fibrado . Es decir, f −1 ( U ) es difeomórfica a X 0 × U . En particular, la función compuesta
es un difeomorfismo. Este difeomorfismo no es único porque depende de la elección de la trivialización. La trivialización se construye a partir de caminos suaves en U , y se puede demostrar que la clase de homotopía del difeomorfismo depende solo de la elección de una clase de homotopía de caminos de b a 0. En particular, si U es contráctil, hay un difeomorfismo bien definido hasta la homotopía.
El difeomorfismo de X b a X 0 induce un isomorfismo de grupos de cohomología
y dado que los mapas homotópicos inducen mapas idénticos en cohomología, este isomorfismo depende solo de la clase de homotopía del camino de b a 0.
Supóngase que f es propia y que X 0 es una variedad de Kähler. La condición de Kähler es abierta, por lo que después de posiblemente encoger U , X b es compacto y Kähler para todo b en U . Después de encoger U aún más podemos suponer que es contráctil. Entonces hay un isomorfismo bien definido entre los grupos de cohomología de X 0 y X b . Estos isomorfismos de grupos de cohomología no preservarán en general las estructuras de Hodge de X 0 y X b porque son inducidas por difeomorfismos, no biholomorfismos . Sea F p H k ( X b , C ) el p ésimo paso de la filtración de Hodge . Los números de Hodge de X b son los mismos que los de X 0 , [1] por lo que el número b p , k = dim F p H k ( X b , C ) es independiente de b . La función de período es la función
donde F es la variedad bandera de cadenas de subespacios de dimensiones b p , k para todo p , que envía
Como X b es una variedad de Kähler, la filtración de Hodge satisface las relaciones bilineales de Hodge-Riemann . Estas implican que
No todas las banderas de subespacios satisfacen esta condición. El subconjunto de la variedad de banderas que satisface esta condición se denomina dominio de período local no polarizado y se denota como . es un subconjunto abierto de la variedad de banderas F .
Supongamos ahora no sólo que cada X b es Kähler, sino que hay una clase de Kähler que varía holomorfamente en b . En otras palabras, supongamos que hay una clase ω en H 2 ( X , Z ) tal que para cada b , la restricción ω b de ω a X b es una clase de Kähler. ω b determina una forma bilineal Q en H k ( X b , C ) por la regla
Esta forma varía holomórficamente en b y, en consecuencia, la imagen de la función de período satisface restricciones adicionales que nuevamente provienen de las relaciones bilineales de Hodge-Riemann. Estas son:
El dominio de período local polarizado es el subconjunto del dominio de período local no polarizado cuyas banderas satisfacen estas condiciones adicionales. La primera condición es una condición cerrada y la segunda es una condición abierta y, en consecuencia, el dominio de período local polarizado es un subconjunto localmente cerrado del dominio de período local no polarizado y de la variedad de banderas F . La asignación de período se define de la misma manera que antes.
El dominio del período local polarizado y el mapeo del período polarizado todavía se denotan como y , respectivamente.
Centrarse únicamente en las aplicaciones de períodos locales ignora la información presente en la topología del espacio base B . Las aplicaciones de períodos globales se construyen de modo que esta información siga estando disponible. La dificultad en la construcción de aplicaciones de períodos globales proviene de la monodromía de B : ya no hay una clase de homotopía única de difeomorfismos que relacionen las fibras X b y X 0 . En cambio, distintas clases de homotopía de caminos en B inducen posiblemente distintas clases de homotopía de difeomorfismos y, por lo tanto, posiblemente distintos isomorfismos de grupos de cohomología. En consecuencia, ya no hay una bandera bien definida para cada fibra. En cambio, la bandera se define solo hasta la acción del grupo fundamental .
En el caso no polarizado, defina el grupo de monodromía Γ como el subgrupo de GL( H k ( X 0 , Z )) que consiste en todos los automorfismos inducidos por una clase de homotopía de curvas en B como se indicó anteriormente. La variedad bandera es un cociente de un grupo de Lie por un subgrupo parabólico, y el grupo de monodromía es un subgrupo aritmético del grupo de Lie. El dominio de período no polarizado global es el cociente del dominio de período no polarizado local por la acción de Γ (es, por lo tanto, una colección de clases laterales dobles ). En el caso polarizado, se requiere que los elementos del grupo de monodromía también conserven la forma bilineal Q , y el dominio de período polarizado global se construye como un cociente por Γ de la misma manera. En ambos casos, la aplicación de período lleva un punto de B a la clase de la filtración de Hodge en X b .
Griffiths demostró que la función de período es holomorfa. Su teorema de transversalidad limita el rango de la función de período.
La filtración de Hodge se puede expresar en coordenadas utilizando matrices de períodos. Elija una base δ 1 , ..., δ r para la parte libre de torsión del k ésimo grupo de homología integral H k ( X , Z ) . Fije p y q con p + q = k , y elija una base ω 1 , ..., ω s para las formas armónicas de tipo ( p , q ) . La matriz de períodos de X 0 con respecto a estas bases es la matriz
Las entradas de la matriz de período dependen de la elección de la base y de la estructura compleja. Los δ pueden variarse mediante la elección de una matriz Λ en SL( r , Z ) , y los ω pueden variarse mediante la elección de una matriz A en GL( s , C ) . Una matriz de período es equivalente a Ω si puede escribirse como A ΩΛ para alguna elección de A y Λ .
Consideremos la familia de curvas elípticas
donde λ es cualquier número complejo distinto de cero o uno. La filtración de Hodge en el primer grupo de cohomología de una curva tiene dos pasos, F 0 y F 1 . Sin embargo, F 0 es el grupo de cohomología completo, por lo que el único término interesante de la filtración es F 1 , que es H 1,0 , el espacio de 1-formas armónicas holomorfas .
H 1,0 es unidimensional porque la curva es elíptica y, para todo λ, está abarcada por la forma diferencial ω = dx / y . Para encontrar representantes explícitos del grupo de homología de la curva, tenga en cuenta que la curva se puede representar como el gráfico de la función multivaluada
en la esfera de Riemann . Los puntos de ramificación de esta función están en cero, uno, λ e infinito. Haz dos cortes de rama, uno que vaya de cero a uno y el otro que vaya de λ al infinito. Estos agotan los puntos de ramificación de la función, por lo que cortan la función multivaluada en dos láminas de un solo valor. Fija un ε > 0 pequeño . En una de estas láminas, traza la curva γ( t ) = 1/2 + (1/2 + ε)exp(2πi t ) . Para ε suficientemente pequeño, esta curva rodea el corte de rama [0, 1] y no se encuentra con el corte de rama [λ, ∞] . Ahora trace otra curva δ( t ) que comience en una lámina como δ( t ) = 1 + 2(λ − 1) t para 0 ≤ t ≤ 1/2 y continúe en la otra lámina como δ( t ) = λ + 2(1 − λ)( t − 1/2) para 1/2 ≤ t ≤ 1 . Cada mitad de esta curva conecta los puntos 1 y λ en las dos láminas de la superficie de Riemann . Del teorema de Seifert–van Kampen , el grupo de homología de la curva está libre de rango dos. Debido a que las curvas se encuentran en un solo punto, 1 + ε , ninguna de sus clases de homología es un múltiplo propio de alguna otra clase de homología y, por lo tanto, forman una base de H 1 . La matriz de períodos para esta familia es, por lo tanto
La primera entrada de esta matriz la abreviaremos como A , y la segunda como B.
La forma bilineal √ −1 Q es definida positiva porque localmente, siempre podemos escribir ω como f dz , por lo tanto
Por la dualidad de Poincaré, γ y δ corresponden a las clases de cohomología γ * y δ * que juntas son una base para H 1 ( X 0 , Z ) . De ello se deduce que ω puede escribirse como una combinación lineal de γ * y δ * . Los coeficientes se dan evaluando ω con respecto a los elementos de base dual γ y δ:
Cuando reescribimos la definición positiva de Q en estos términos, tenemos
Como γ * y δ * son integrales, no cambian bajo conjugación. Además, como γ y δ se intersecan en un único punto y un único punto es un generador de H 0 , el producto de copa de γ * y δ * es la clase fundamental de X 0 . En consecuencia, esta integral es igual a . La integral es estrictamente positiva, por lo que ni A ni B pueden ser cero.
Después de reescalar ω, podemos suponer que la matriz de períodos es igual a (1 τ) para algún número complejo τ con una parte imaginaria estrictamente positiva. Esto elimina la ambigüedad que surge de la acción GL(1, C ) . La acción de SL(2, Z ) es entonces la acción habitual del grupo modular en el semiplano superior. En consecuencia, el dominio del período es la esfera de Riemann. Esta es la parametrización habitual de una curva elíptica como una red.
