Teorema de Seifert-Van Kampen

Describe el grupo fundamental en términos de una cubierta por dos subespacios abiertos conexos por trayectorias.

En matemáticas , el teorema de Seifert-Van Kampen de topología algebraica (llamado así por Herbert Seifert y Egbert van Kampen ), a veces llamado simplemente teorema de Van Kampen , expresa la estructura del grupo fundamental de un espacio topológico en términos de los grupos fundamentales de dos subespacios abiertos y conexos por trayectorias que cubren . Por lo tanto, se puede utilizar para cálculos del grupo fundamental de espacios que se construyen a partir de otros más simples. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Teorema de Van Kampen para grupos fundamentales

Sea X un espacio topológico que es la unión de dos subespacios abiertos y conexos por trayectorias U ₁ , U ₂ . Supóngase que U ₁ ∩ U ₂ es conexo por trayectorias y no vacío , y sea x ₀ un punto en U ₁ ∩ U ₂ que se utilizará como base de todos los grupos fundamentales. Las funciones de inclusión de U ₁ y U ₂ en X inducen homomorfismos de grupo y . Entonces X es conexo por trayectorias y y forman un diagrama de empuje conmutativo : ${\displaystyle j_{1}:\pi _{1}(U_{1},x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle j_{2}:\pi _{1}(U_{2},x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle j_{1}}$ ${\displaystyle j_{2}}$

El morfismo natural k es un isomorfismo , es decir, el grupo fundamental de X es el producto libre de los grupos fundamentales de U ₁ y U ₂ con amalgama de . ^[1] ${\displaystyle \pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})}$

Generalmente los morfismos inducidos por la inclusión en este teorema no son en sí mismos inyectivos , y la versión más precisa del enunciado es en términos de expulsiones de grupos .

Teorema de Van Kampen para grupoides fundamentales

Desafortunadamente, el teorema dado anteriormente no calcula el grupo fundamental del círculo –que es el ejemplo básico más importante en topología algebraica– porque el círculo no puede ser realizado como la unión de dos conjuntos abiertos con intersección conexa . Este problema puede resolverse trabajando con el grupoide fundamental en un conjunto A de puntos base, elegidos de acuerdo con la geometría de la situación. Por lo tanto, para el círculo, se utilizan dos puntos base. ^[2] ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$

Este grupoide consiste en clases de homotopía relativas a los puntos finales de caminos en X que unen puntos de A ∩ X . En particular, si X es un espacio contráctil , y A consiste en dos puntos distintos de X , entonces se ve fácilmente que es isomorfo al grupoide a menudo escrito con dos vértices y exactamente un morfismo entre dos vértices cualesquiera. Este grupoide juega un papel en la teoría de grupoides análogo al del grupo de números enteros en la teoría de grupos. ^[3] El grupoide también permite para los grupoides una noción de homotopía: es un objeto de intervalo unitario en la categoría de grupoides. ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Una unión conectada de dos espacios no conectados, con un conjunto de puntos base

La categoría de grupoides admite todos los colimites , y en particular todos los pushouts.

Teorema. Sea el espacio topológico X cubierto por los interiores de dos subespacios X ₁ , X ₂ y sea A un conjunto que satisface cada componente de trayectoria de X ₁ , X ₂ y X ₀ = X ₁ ∩ X ₂ . Entonces A satisface cada componente de trayectoria de X y el diagrama P de morfismos inducidos por inclusión

es un diagrama de empuje en la categoría de grupoides. ^[4]

Este teorema proporciona la transición de la topología al álgebra , al determinar completamente el grupoide fundamental ; luego uno tiene que usar el álgebra y la combinatoria para determinar un grupo fundamental en algún punto base. ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$

Una interpretación del teorema es que calcula homotopías de 1-tipos. Para ver su utilidad, uno puede encontrar fácilmente casos donde X está conectado pero es la unión de los interiores de dos subespacios, cada uno con, digamos, 402 componentes de trayectoria y cuya intersección tiene, digamos, 1004 componentes de trayectoria. La interpretación de este teorema como una herramienta de cálculo para "grupos fundamentales" necesita cierto desarrollo de la "teoría combinatoria de grupoides". ^{[5] [6]} Este teorema implica el cálculo del grupo fundamental del círculo como el grupo de números enteros, ya que el grupo de números enteros se obtiene del grupoide identificando, en la categoría de grupoides, sus dos vértices. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Existe una versión del último teorema cuando X está cubierto por la unión de los interiores de una familia de subconjuntos. ^{[7] [8]} ${\displaystyle \{U_{\lambda }:\lambda \in \Lambda \}}$

La conclusión es que si A cumple con cada componente de la ruta de todas las intersecciones 1, 2 y 3 veces de los conjuntos , entonces A cumple con todos los componentes de la ruta de X y el diagrama ${\displaystyle U_{\lambda }}$

${\displaystyle \bigsqcup _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda ^{2}}\pi _{1}(U_{\lambda }\cap U_{\mu },A)\rightrightarrows \bigsqcup _{\lambda \in \Lambda }\pi _{1}(U_{\lambda },A)\rightarrow \pi _{1}(X,A)}$

de morfismos inducidos por inclusiones es un coecualizador en la categoría de grupoides.

[...] la gente todavía se obstina en fijar, en los cálculos con grupos fundamentales, un único punto de base, en lugar de elegir hábilmente un paquete completo de puntos que sea invariante bajo las simetrías de la situación, y que de este modo se pierdan en el camino. En ciertas situaciones (como los teoremas de descenso para grupos fundamentales a la Van Kampen) es mucho más elegante, incluso indispensable para comprender algo, trabajar con grupoides fundamentales con respecto a un paquete adecuado de puntos de base [...]

—  Alexander Grothendieck , Programa Esquisse d'un (Sección 2, traducción al inglés)

Formulaciones equivalentes

En el lenguaje de la teoría de grupos combinatorios , si es un espacio topológico; y son subespacios abiertos y conexos por trayectorias de ; no está vacío y está conexo por trayectorias; y ; entonces es el producto libre con la amalgama de y , con respecto a los homomorfismos (no necesariamente inyectivos) y . Presentaciones de grupo dadas : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap V}$ ${\displaystyle w\in U\cap V}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,w)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(U,w)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(V,w)}$ ${\displaystyle I:\pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(U,w)}$ ${\displaystyle J:\pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(V,w)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(U,w)&=\langle u_{1},\dots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,w)&=\langle v_{1},\dots ,v_{m}\mid \beta _{1},\dots ,\beta _{n}\rangle \\\pi _{1}(U\cap V,w)&=\langle w_{1},\dots ,w_{p}\mid \gamma _{1},\dots ,\gamma _{q}\rangle \end{aligned}}}$

La amalgama se puede presentar ^[9] como

${\displaystyle \pi _{1}(X,w)=\left\langle u_{1},\dots ,u_{k},v_{1},\dots ,v_{m}\left|\alpha _{1},\dots ,\alpha _{l},\beta _{1},\dots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1},\dots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .}$

En teoría de categorías , es el empuje , en la categoría de grupos , del diagrama: ${\displaystyle \pi _{1}(X,w)}$

${\displaystyle \pi _{1}(U,w)\gets \pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(V,w).}$

Ejemplos

2-esfera

Se puede utilizar el teorema de Van Kampen para calcular grupos fundamentales para espacios topológicos que se pueden descomponer en espacios más simples. Por ejemplo, considere la esfera . Elija conjuntos abiertos y donde n y s denotan los polos norte y sur respectivamente. Entonces tenemos la propiedad de que A , B y A ∩ B son conjuntos abiertos conexos por trayectorias. Por lo tanto, podemos ver que hay un diagrama conmutativo que incluye A ∩ B en A y B y luego otra inclusión de A y B en y que hay un diagrama correspondiente de homomorfismos entre los grupos fundamentales de cada subespacio. La aplicación del teorema de Van Kampen da el resultado ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle A=S^{2}\setminus \{n\}}$ ${\displaystyle B=S^{2}\setminus \{s\}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

${\displaystyle \pi _{1}(S^{2})=\pi _{1}(A)\cdot \pi _{1}(B)/\ker(\Phi ).}$

Sin embargo, A y B son homeomorfos a R ² que está simplemente conexo , por lo que tanto A como B tienen grupos fundamentales triviales . De esto se desprende claramente que el grupo fundamental de es trivial. ${\displaystyle S^{2}}$

Suma de espacios en cuña

Dados dos espacios puntiagudos y podemos formar su suma de cuña , , tomando el cociente de identificando sus dos puntos base. ${\displaystyle (X,x)}$ ${\displaystyle (Y,y)}$ ${\displaystyle (X\vee Y,p)}$ ${\displaystyle X\coprod Y}$

Si admite un entorno abierto contráctil y admite un entorno abierto contráctil (que es el caso si, por ejemplo, y son complejos CW ), entonces podemos aplicar el teorema de Van Kampen a tomando y como los dos conjuntos abiertos y concluimos que el grupo fundamental de la cuña es el producto libre de los grupos fundamentales de los dos espacios con los que comenzamos: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle V\subset Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\vee Y}$ ${\displaystyle X\vee V}$ ${\displaystyle U\vee Y}$

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y,p)\cong \pi _{1}(X,x)*\pi _{1}(Y,y)}$.

Género orientablegramosuperficies

Un ejemplo más complicado es el cálculo del grupo fundamental de una superficie orientable de género n S , también conocida como el grupo de superficies de género n . Se puede construir S utilizando su polígono fundamental estándar . Para el primer conjunto abierto A , se elige un disco dentro del centro del polígono. Se elige B como el complemento en S del punto central de A . Entonces la intersección de A y B es un anillo , que se sabe que es homotópicamente equivalente a (y por lo tanto tiene el mismo grupo fundamental que) un círculo. Entonces , que son los números enteros, y . Por lo tanto, la inclusión de into envía cualquier generador al elemento trivial. Sin embargo, la inclusión de into no es trivial. Para entender esto, primero se debe calcular . Esto se hace fácilmente ya que se puede retraer por deformación B (que es S con un punto eliminado) sobre los bordes etiquetados por ${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)=\pi _{1}(S^{1})}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A)=\pi _{1}(D^{2})={1}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}.}$

Se sabe que este espacio es la suma de cuñas de 2 n círculos (también llamado ramo de círculos ), que además se sabe que tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo libre con 2 n generadores, que en este caso se pueden representar por las propias aristas: . Ahora tenemos suficiente información para aplicar el teorema de Van Kampen. Los generadores son los bucles ( A está simplemente conexo, por lo que no contribuye con generadores) y hay exactamente una relación: ${\displaystyle \{A_{1},B_{1},\dots ,A_{n},B_{n}\}}$ ${\displaystyle \{A_{1},B_{1},\dots ,A_{n},B_{n}\}}$

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.}$

Utilizando generadores y relaciones, este grupo se denota

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\dots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}$

Conectividad simple

Si X es un espacio que puede escribirse como la unión de dos conjuntos abiertos simplemente conexos U y V con U ∩ V no vacío y conexo por trayectorias , entonces X es simplemente conexo. ^[10]

Generalizaciones

Como se explicó anteriormente, este teorema fue extendido por Ronald Brown al caso no conexo utilizando el grupoide fundamental en un conjunto A de puntos base. El teorema para recubrimientos arbitrarios, con la restricción de que A cumpla con todas las intersecciones triples de los conjuntos del recubrimiento, se da en el artículo de Brown y Abdul Razak Salleh. ^[11] El teorema y la demostración para el grupo fundamental, pero utilizando algunos métodos de grupoide, también se dan en el libro de J. Peter May . ^[12] La versión que permite más de dos conjuntos superpuestos pero con A como singleton también se da en el libro de Allen Hatcher a continuación, teorema 1.20. ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$

En el libro de Ronald Brown se dan aplicaciones del grupoide fundamental sobre un conjunto de puntos base al teorema de la curva de Jordan , a los espacios de recubrimiento y a los espacios de órbitas . ^[13] En el caso de los espacios de órbitas, es conveniente tomar A para incluir todos los puntos fijos de la acción. Un ejemplo aquí es la acción de conjugación sobre el círculo.

En un artículo sobre teorías de grupos de dimensiones superiores y grupoides se dan referencias a versiones de dimensiones superiores del teorema que proporcionan alguna información sobre los tipos de homotopía. ^[14] Así, Ronald Brown y Philip J. Higgins dieron un teorema de Van Kampen bidimensional que calcula grupos de homotopía relativa segunda no abelianos. ^[15] Brown, Higgins y Rafael Sivera dan una explicación completa y extensiones a todas las dimensiones, ^{[16] mientras que Ronald Brown y} Jean-Louis Loday dan una extensión a n -cubos de espacios . ^[17]

Los grupos fundamentales también aparecen en la geometría algebraica y son el tema principal del primer Séminaire de géométrie algébrique (SGA1) de Alexander Grothendieck . Allí aparece una versión del teorema de Van Kampen, que se demuestra siguiendo líneas bastante diferentes a las de la topología algebraica, concretamente mediante la teoría de la descendencia. Una prueba similar funciona en la topología algebraica. ^[18]

Véase también

• Álgebra de dimensiones superiores
• Teoría de categorías superiores
• Secuencia de Mayer-Vietoris
• Pseudocírculo
• Ronald Brown (matemático)

Notas

1. Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-7939-1.OCLC 697506452  .pág. 252, Teorema 10.1.
2. R. Brown, Grupoides y teorema de Van Kampen, Proc. London Math. Soc . (3) 17 (1967) 385–401.
3. Ronald Brown. "Grupoides en matemáticas". http://groupoids.org.uk/gpdsweb.html
4. R. Brown. Topología y grupoides. , Booksurge PLC (2006). http://groupoids.org.uk/topgpds.html
5. PJ Higgins, Categorías y grupoides , Van Nostrand, 1971, Reimpresiones de Teoría y aplicaciones de categorías, n.º 7 (2005), págs. 1–195.
6. R. Brown, Topología y grupoides. , Booksurge PLC (2006).
7. Ronald Brown, Philip J. Higgins y Rafael Sivera. Topología algebraica no abeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica , European Mathematical Society Tracts vol 15, agosto de 2011.
8. "Teoremas de Van Kampen generalizados de dimensiones superiores (HD-GVKT)". 15 de octubre de 2024.
9. Lee 2011, pág. 253, Teorema 10.3.
10. Greenberg y Harper 1981
11. Brown, Ronald; Salleh, Abdul Razak (1984). "Un teorema de Van Kampen para uniones de espacios no conexos". Archiv der Mathematik . 42 (1). Basilea: 85–88. doi :10.1007/BF01198133.
12. May, J. Peter (1999). Una introducción concisa a la topología algebraica . capítulo 2.
13. Brown, Ronald, "Topología y grupoides", Booksurge, (2006)
14. Ronald Brown. "Teoría de grupos de dimensiones superiores". 2007. http://www.bangor.ac.uk/~mas010/hdaweb2.htm
15. Brown, Ronald; Higgins, Philip J. (1978). "Sobre la conexión entre los segundos grupos de homotopía relativa de algunos espacios relacionados". Actas de la London Mathematical Society . 3. 36 (2): 193–212. doi :10.1112/plms/s3-36.2.193.
16. Brown, Ronald, Higgins, Philip J. y Sivera, Rafael, "Topología algebraica nobeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica", EMS Tracts in Mathematics vol 15, 20011. http://groupoids.org.uk/nonab-at.html
17. Brown, Ronald; Loday, Jean-Louis (1987). "Teoremas de Van Kampen para diagramas de espacios". Topología . 26 (3): 311–334. doi :10.1016/0040-9383(87)90004-8.
18. Douady, Adrien y Douady, Régine, "Algèbre et théories galoisiennes", Cassini (2005)

Referencias

• Allen Hatcher, Topología algebraica. (2002) Cambridge University Press, Cambridge, xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X y ISBN 0-521-79540-0  
• Peter May, Un curso conciso de topología algebraica. (1999) University of Chicago Press, ISBN 0-226-51183-9 (La sección 2.7 proporciona una presentación teórica de categorías del teorema como un colimite en la categoría de grupoides) . 
• Ronald Brown, Grupoides y teorema de Van Kampen, Proc. London Math. Soc . (3) 17 (1967) 385–401.
• Discusión de Mathoverflow sobre muchos puntos básicos
• Ronald Brown, Topología y grupoides (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8 
• R. Brown y A. Razak, Teorema de Van Kampen para uniones de espacios no conexos, Archiv. Math. 42 (1984) 85–88. (Este artículo ofrece probablemente la versión óptima del teorema, es decir, la versión grupoide del teorema para una cubierta abierta arbitraria y un conjunto de puntos base que cumple con cada componente de trayectoria de cada intersección 1-2-3 de los conjuntos de la cubierta).
• PJ Higgins, Categorías y grupoides (1971) Van Nostrand Reinhold
• Ronald Brown, Teoría de grupos de dimensiones superiores (2007) (ofrece una visión amplia de los teoremas de Van Kampen de dimensiones superiores que involucran múltiples grupoides) .
• Greenberg, Marvin J.; Harper, John R. (1981), Topología algebraica. Un primer curso , Mathematics Lecture Note Series, vol. 58, Benjamin/Cummings, ISBN 0805335579
• Seifert, H. , Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume . Berichte Sachs. Akád. Leipzig, Matemáticas-Física. kl. (83) (1931) 26–66.
• ER van Kampen. Sobre la conexión entre los grupos fundamentales de algunos espacios relacionados. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), págs. 261–267.
• Brown, R., Higgins, P. J, Sobre la conexión entre los segundos grupos de homotopía relativa de algunos espacios relacionados , Proc. London Math. Soc. (3) 36 (1978) 193–212.
• Brown, R., Higgins, PJ y Sivera, R.. 2011, EMS Tracts in Mathematics Vol.15 (2011) Topología algebraica no abeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica; (La primera de las tres partes analiza las aplicaciones de las versiones unidimensionales y bidimensionales del teorema de Seifert-van Kampen. El último permite realizar cálculos de grupos de homotopía relativa de segundo orden no abelianos y, de hecho, de homotopía de 2 tipos. La segunda parte aplica un teorema de van Kampen de homotopía superior para complejos cruzados, demostrado en la parte III).
• "Resultado del teorema de Van Kampen". PlanetMath .
• R. Brown, H. Kamps, T. Porter: Un grupoide doble de homotopía de un espacio de Hausdorff II: un teorema de Van Kampen, Teoría y aplicaciones de categorías, 14 (2005) 200–220.
• Dylan GL Allegretti, Conjuntos simpliciales y teorema de Van Kampen (analiza versiones generalizadas del teorema de Van Kampen aplicadas a espacios topológicos y conjuntos simpliciales).
• R. Brown y J.-L. Loday, "Teoremas de Van Kampen para diagramas de espacios", Topología 26 (1987) 311–334.

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Enlaces externos

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