Estructura de Hodge

Estructura algebraica

En matemáticas, una estructura de Hodge , llamada así por WVD Hodge , es una estructura algebraica a nivel de álgebra lineal , similar a la que la teoría de Hodge da a los grupos de cohomología de una variedad de Kähler suave y compacta . Las estructuras de Hodge se han generalizado para todas las variedades complejas (incluso si son singulares y no completas ) en forma de estructuras de Hodge mixtas , definidas por Pierre Deligne (1970). Una variación de la estructura de Hodge es una familia de estructuras de Hodge parametrizadas por una variedad, estudiada por primera vez por Phillip Griffiths (1968). Todos estos conceptos fueron generalizados posteriormente a módulos de Hodge mixtos sobre variedades complejas por Morihiko Saito (1989).

Estructuras de Hodge

Definición de estructuras de Hodge

Una estructura de Hodge pura de peso entero n consiste en un grupo abeliano y una descomposición de su complejización en una suma directa de subespacios complejos , donde , con la propiedad de que el conjugado complejo de es : ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$ ${\displaystyle p+q=n}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$ ${\displaystyle H^{q,p}}$

${\displaystyle H:=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q},}$

${\displaystyle {\overline {H^{p,q}}}=H^{q,p}.}$

Se obtiene una definición equivalente al reemplazar la descomposición de suma directa de por la filtración de Hodge , una filtración decreciente finita de por subespacios complejos sujeta a la condición ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F^{p}H(p\in \mathbb {Z} ),}$

${\displaystyle \forall p,q\ :\ p+q=n+1,\qquad F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}=0\quad {\text{and}}\quad F^{p}H\oplus {\overline {F^{q}H}}=H.}$

La relación entre estas dos descripciones se da de la siguiente manera:

${\displaystyle H^{p,q}=F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}},}$

${\displaystyle F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,n-i}.}$

Por ejemplo, si es una variedad de Kähler compacta , es el -ésimo grupo de cohomología de X con coeficientes enteros, entonces es su -ésimo grupo de cohomología con coeficientes complejos y la teoría de Hodge proporciona la descomposición de en una suma directa como la anterior, de modo que estos datos definen una estructura de Hodge pura de peso . Por otro lado, la secuencia espectral de Hodge–de Rham proporciona la filtración decreciente por como en la segunda definición. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }=H^{n}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H=H^{n}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle F^{p}H}$

Para aplicaciones en geometría algebraica, a saber, la clasificación de variedades proyectivas complejas por sus períodos , el conjunto de todas las estructuras de Hodge de peso en es demasiado grande. Utilizando las relaciones bilineales de Riemann , en este caso llamadas relaciones bilineales de Hodge Riemann , se puede simplificar sustancialmente. Una estructura de Hodge polarizada de peso n consiste en una estructura de Hodge y una forma bilineal entera no degenerada en ( polarización ), que se extiende a por linealidad, y satisface las condiciones: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },H^{p,q})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(\varphi ,\psi )&=(-1)^{n}Q(\psi ,\varphi )&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'};\\Q(\varphi ,\psi )&=0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'},p\neq q';\\i^{p-q}Q\left(\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\ \varphi \neq 0.\end{aligned}}}$

En términos de la filtración de Hodge, estas condiciones implican que

${\displaystyle {\begin{aligned}Q\left(F^{p},F^{n-p+1}\right)&=0,\\Q\left(C\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \neq 0,\end{aligned}}}$

¿Dónde está el operador de Weil en , dado por en ? ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C=i^{p-q}}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$

Otra definición de una estructura de Hodge se basa en la equivalencia entre la gradación en un espacio vectorial complejo y la acción del grupo circular U(1) . En esta definición, una acción del grupo multiplicativo de números complejos visto como un toro algebraico real bidimensional, se da en . ^[2] Esta acción debe tener la propiedad de que un número real a actúa por un ⁿ . El subespacio es el subespacio sobre el que actúa como multiplicación por ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle z^{\,p}{\bar {z}}^{\,q}.}$

A-Estructura de Hodge

En la teoría de motivos, resulta importante permitir coeficientes más generales para la cohomología. La definición de una estructura de Hodge se modifica fijando un subanillo noetheriano A del cuerpo de números reales , para el cual es un cuerpo. Luego se define una A -estructura de Hodge pura de peso n como antes, reemplazando por A . Existen funtores naturales de cambio de base y restricción que relacionan las A -estructuras de Hodge y las B -estructuras para A un subanillo de B . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Estructuras mixtas de Hodge

En la década de 1960, Jean-Pierre Serre observó, basándose en las conjeturas de Weil , que incluso las variedades algebraicas singulares (posiblemente reducibles) y no completas deberían admitir "números de Betti virtuales". Más precisamente, se debería poder asignar a cualquier variedad algebraica X un polinomio P _X ( t ), llamado su polinomio de Poincaré virtual , con las propiedades

• Si X no es singular y proyectivo (o completo) $${\displaystyle P_{X}(t)=\sum \operatorname {rank} (H^{n}(X))t^{n}}$$
• Si Y es un subconjunto algebraico cerrado de X y U = X  \  Y $${\displaystyle P_{X}(t)=P_{Y}(t)+P_{U}(t)}$$

La existencia de tales polinomios se seguiría de la existencia de un análogo de la estructura de Hodge en las cohomologías de una variedad algebraica general (singular y no completa). La característica novedosa es que la n -ésima cohomología de una variedad general parece como si contuviera piezas de diferentes pesos. Esto llevó a Alexander Grothendieck a su teoría conjetural de los motivos y motivó la búsqueda de una extensión de la teoría de Hodge, que culminó en el trabajo de Pierre Deligne . Introdujo la noción de una estructura de Hodge mixta, desarrolló técnicas para trabajar con ellas, dio su construcción (basada en la resolución de singularidades de Heisuke Hironaka ) y las relacionó con los pesos de la cohomología l-ádica , demostrando la última parte de las conjeturas de Weil .

Ejemplo de curvas

Para motivar la definición, considere el caso de una curva algebraica compleja reducible X que consiste en dos componentes no singulares, y , que se intersecan transversalmente en los puntos y . Además, suponga que los componentes no son compactos, pero pueden compactificarse sumando los puntos . El primer grupo de cohomología de la curva X (con soporte compacto) es dual al primer grupo de homología, que es más fácil de visualizar. Hay tres tipos de ciclos-uno en este grupo. Primero, hay elementos que representan pequeños bucles alrededor de las punciones . Luego hay elementos que provienen de la primera homología de la compactificación de cada uno de los componentes. El ciclo-uno en ( ) correspondiente a un ciclo en la compactificación de este componente, no es canónico: estos elementos se determinan módulo el lapso de . Finalmente, módulo los dos primeros tipos, el grupo se genera por un ciclo combinatorio que va desde a a lo largo de un camino en un componente y regresa a lo largo de un camino en el otro componente . Esto sugiere que admite una filtración creciente ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle X_{k}\subset X}$ ${\displaystyle k=1,2}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$

${\displaystyle 0\subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}=H^{1}(X),}$

cuyos cocientes sucesivos W _n / W _{n −1} se originan a partir de la cohomología de variedades completas suaves, por lo que admiten estructuras de Hodge (puras), aunque de pesos diferentes. Se pueden encontrar más ejemplos en "A Naive Guide to Mixed Hodge Theory". ^[3]

Definición de estructura mixta de Hodge

Una estructura de Hodge mixta sobre un grupo abeliano consiste en una filtración decreciente finita F ^p sobre el espacio vectorial complejo H (la complejización de ), llamada filtración de Hodge y una filtración creciente finita W _i sobre el espacio vectorial racional (obtenida extendiendo los escalares a números racionales), llamada filtración de peso , sujeta al requisito de que el n -ésimo cociente graduado asociado de con respecto a la filtración de peso, junto con la filtración inducida por F sobre su complejización, sea una estructura de Hodge pura de peso n , para todo entero n . Aquí la filtración inducida sobre ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H=W_{n}\otimes \mathbb {C} /W_{n-1}\otimes \mathbb {C} }$

se define por

${\displaystyle F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=\left(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} \right)/W_{n-1}\otimes \mathbb {C} .}$

Se puede definir una noción de morfismo de estructuras de Hodge mixtas, que debe ser compatible con las filtraciones F y W y demostrar lo siguiente:

Teorema. Las estructuras de Hodge mixtas forman una categoría abeliana . Los núcleos y conúcleos de esta categoría coinciden con los núcleos y conúcleos habituales en la categoría de espacios vectoriales, con las filtraciones inducidas.

La cohomología total de una variedad de Kähler compacta tiene una estructura de Hodge mixta, donde el espacio n- ésimo de la filtración de pesos W _n es la suma directa de los grupos de cohomología (con coeficientes racionales) de grado menor o igual a n . Por lo tanto, se puede pensar en la teoría clásica de Hodge en el caso compacto y complejo como si proporcionara una doble gradación en el grupo de cohomología complejo, que define una filtración creciente F ^p y una filtración decreciente W _n que son compatibles de cierta manera. En general, el espacio de cohomología total todavía tiene estas dos filtraciones, pero ya no provienen de una descomposición de suma directa. En relación con la tercera definición de la estructura de Hodge pura, se puede decir que una estructura de Hodge mixta no se puede describir utilizando la acción del grupo Una idea importante de Deligne es que en el caso mixto hay un grupo proalgebraico no conmutativo más complicado que se puede utilizar con el mismo efecto utilizando el formalismo tannakiano . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}.}$

Además, la categoría de estructuras de Hodge (mixtas) admite una buena noción de producto tensorial, correspondiente al producto de variedades, así como conceptos relacionados de Hom interno y objeto dual , lo que la convierte en una categoría tannakiana . Según la filosofía de Tannaka-Krein , esta categoría es equivalente a la categoría de representaciones de dimensión finita de un cierto grupo, que Deligne, Milne y et al. han descrito explícitamente, véase Deligne y Milne (1982) ^[4] y Deligne (1994). La descripción de este grupo fue reformulada en términos más geométricos por Kapranov (2012). El análisis correspondiente (mucho más complejo) para estructuras de Hodge polarizables puras racionales fue realizado por Patrikis (2016).

Estructura mixta de Hodge en cohomología (teorema de Deligne)

Deligne ha demostrado que el n- ésimo grupo de cohomología de una variedad algebraica arbitraria tiene una estructura de Hodge mixta canónica. Esta estructura es funcional y compatible con los productos de variedades ( isomorfismo de Künneth ) y el producto en cohomología. Para una variedad no singular completa X esta estructura es pura de peso n y la filtración de Hodge se puede definir a través de la hipercohomología del complejo de De Rham truncado.

La prueba consta, en líneas generales, de dos partes, que se ocupan de la falta de compacidad y de las singularidades. Ambas partes utilizan la resolución de singularidades (debida a Hironaka) de manera esencial. En el caso singular, las variedades se reemplazan por esquemas simpliciales, lo que conduce a un álgebra homológica más complicada, y se utiliza una noción técnica de una estructura de Hodge sobre complejos (en oposición a la cohomología).

Utilizando la teoría de motivos , es posible refinar la filtración de peso en la cohomología con coeficientes racionales a una con coeficientes integrales. ^[5]

Ejemplos

• La estructura de Tate–Hodge es la estructura de Hodge con módulo subyacente dado por (un subgrupo de ), con Por lo tanto, es pura de peso −2 por definición y es la única estructura de Hodge pura unidimensional de peso −2 hasta isomorfismos. De manera más general, su potencia tensorial n se denota por es unidimensional y pura de peso −2 n . ${\displaystyle \mathbb {Z} (1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (1)\otimes \mathbb {C} =H^{-1,-1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (n);}$
• La cohomología de una variedad de Kähler compacta tiene una estructura de Hodge, y el n- ésimo grupo de cohomología es puro de peso n .
• La cohomología de una variedad compleja (posiblemente singular o no propia) tiene una estructura de Hodge mixta. Esto fue demostrado para variedades lisas por Deligne (1971), Deligne (1971a) y en general por Deligne (1974).
• Para una variedad proyectiva con singularidades de cruce normal existe una secuencia espectral con una página E ₂ degenerada que calcula todas sus estructuras de Hodge mixtas. La página E ₁ tiene términos explícitos con un diferencial que proviene de un conjunto simplicial. ^[6] ${\displaystyle X}$
• Toda variedad suave X admite una compactificación suave con complemento a un divisor de cruce normal. Las formas logarítmicas correspondientes se pueden utilizar para describir la estructura mixta de Hodge en la cohomología de X explícitamente. ^[7]
• La estructura de Hodge para una hipersuperficie proyectiva suave de grado fue elaborada explícitamente por Griffiths en su artículo "Integrales de período de variedades algebraicas". Si es el polinomio que define la hipersuperficie , entonces el anillo cociente jacobiano graduado contiene toda la información de la cohomología media de . Muestra que Por ejemplo, considere la superficie K3 dada por , por lo tanto y . Entonces, el anillo jacobiano graduado es El isomorfismo para los grupos de cohomología primitivos se lee entonces por lo tanto Observe que es el espacio vectorial generado por que es 19-dimensional. Hay un vector adicional en dado por la clase Lefschetz . Del teorema del hiperplano de Lefschetz y la dualidad de Hodge, el resto de la cohomología es en como es -dimensional. Por lo tanto, el diamante de Hodge se lee ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n+1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle R(f)={\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{0}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n+1}}}\right)}}}$$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{\text{prim}}\cong R(f)_{(n+1-p)d-n-2}}$$ ${\displaystyle g=x_{0}^{4}+\cdots +x_{3}^{4}}$ ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle n=2}$ $${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{3},x_{1}^{3},x_{2}^{3},x_{3}^{3})}}}$$ $${\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{prim}\cong R(g)_{(2+1-p)4-2-2}=R(g)_{4(3-p)-4}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0,2}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{8}=\mathbb {C} \cdot x_{0}^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}\\H^{1,1}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{4}\\H^{2,0}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{0}=\mathbb {C} \cdot 1\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R(g)_{4}}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}x_{0}^{2}x_{1}^{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{3},&x_{0}^{2}x_{2}^{2},&x_{0}^{2}x_{2}x_{3},&x_{0}^{2}x_{3}^{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{3},\\x_{0}x_{1}x_{2}^{2},&x_{0}x_{1}x_{2}x_{3},&x_{0}x_{1}x_{3}^{2},&x_{0}x_{2}^{2}x_{3},&x_{0}x_{2}x_{3}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}x_{3},&x_{1}^{2}x_{3}^{2},\\x_{1}x_{2}^{2}x_{3},&x_{1}x_{2}x_{3}^{2},&x_{2}^{2}x_{3}^{2}\end{array}}}$$ ${\displaystyle H^{1,1}(X)}$ ${\displaystyle [L]}$ ${\displaystyle H^{k,k}(X)}$ ${\displaystyle 1}$
• También podemos utilizar el isomorfismo anterior para verificar el género de una curva plana de grado. Como es una curva suave y el teorema de fibración de Ehresmann garantiza que toda otra curva suave de género es difeomorfa, tenemos que el género entonces es el mismo. Así, utilizando el isomorfismo de la cohomología primitiva con la parte graduada del anillo jacobiano, vemos que Esto implica que la dimensión es la deseada. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x^{d}+y^{d}+z^{d}}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle H^{1,0}\cong R(f)_{d-3}\cong \mathbb {C} [x,y,z]_{d-3}}$$ $${\displaystyle {2+d-3 \choose 2}={d-1 \choose 2}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}}$$
• Los números de Hodge para una intersección completa también son fácilmente calculables: existe una fórmula combinatoria encontrada por Friedrich Hirzebruch . ^[8]

Aplicaciones

La maquinaria basada en las nociones de estructura de Hodge y estructura de Hodge mixta forma parte de la teoría de motivos , todavía en gran parte conjetural, concebida por Alexander Grothendieck . La información aritmética para la variedad algebraica no singular X , codificada por el valor propio de los elementos de Frobenius que actúan sobre su cohomología l-ádica , tiene algo en común con la estructura de Hodge que surge de X considerada como una variedad algebraica compleja. Sergei Gelfand y Yuri Manin señalaron alrededor de 1988 en sus Métodos de álgebra homológica que, a diferencia de las simetrías de Galois que actúan sobre otros grupos de cohomología, el origen de las "simetrías de Hodge" es muy misterioso, aunque formalmente se expresan a través de la acción del grupo bastante sencillo sobre la cohomología de De Rham. Desde entonces, el misterio se ha profundizado con el descubrimiento y la formulación matemática de la simetría especular. ${\displaystyle R_{\mathbf {C/R} }{\mathbf {C} }^{*}}$

Variación de la estructura de Hodge

Una variación de la estructura de Hodge (Griffiths (1968), Griffiths (1968a), Griffiths (1970)) es una familia de estructuras de Hodge parametrizadas por una variedad compleja X . Más precisamente, una variación de la estructura de Hodge de peso n en una variedad compleja X consiste en un haz localmente constante S de grupos abelianos finitamente generados en X , junto con una filtración de Hodge decreciente F en S ⊗ O _X , sujeta a las dos condiciones siguientes:

• La filtración induce una estructura de Hodge de peso n en cada tallo de la gavilla S
• ( Transversalidad de Griffiths ) La conexión natural en S ⊗ O _X se traduce en ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F^{n-1}\otimes \Omega _{X}^{1}.}$

Aquí la conexión (plana) natural en S ⊗ O _X inducida por la conexión plana en S y la conexión plana d en O _X , y O _X es el haz de funciones holomorfas en X , y es el haz de 1-formas en X . Esta conexión plana natural es una conexión de Gauss–Manin ∇ y puede describirse mediante la ecuación de Picard–Fuchs . ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$

Una variación de la estructura de Hodge mixta se puede definir de manera similar, añadiendo una gradación o filtración W a S . Se pueden encontrar ejemplos típicos en los morfismos algebraicos . Por ejemplo, ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=y^{6}-x^{6}\end{cases}}}$

tiene fibras

${\displaystyle X_{t}=f^{-1}(\{t\})=\left\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{6}-x^{6}=t\right\}}$

que son curvas planas suaves de género 10 para y degeneran en una curva singular en Entonces, las haces de cohomología ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle t=0.}$

${\displaystyle \mathbb {R} f_{*}^{i}\left({\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} ^{2}}\right)}$

Dar variaciones de estructuras de Hodge mixtas.

Módulos Hodge

Los módulos de Hodge son una generalización de la variación de las estructuras de Hodge en una variedad compleja. Se los puede considerar informalmente como algo así como haces de estructuras de Hodge en una variedad; la definición precisa de Saito (1989) es bastante técnica y complicada. Existen generalizaciones para módulos de Hodge mixtos y para variedades con singularidades.

Para cada variedad compleja suave, hay una categoría abeliana de módulos de Hodge mixtos asociada a ella. Estos se comportan formalmente como las categorías de haces sobre las variedades; por ejemplo, los morfismos f entre variedades inducen funtores f _∗ , f* , f _! , f ^! entre ( categorías derivadas de) módulos de Hodge mixtos similares a los de los haces.

Véase también

• Estructura mixta de Hodge
• Conjetura de Hodge
• Ideal jacobiano
• Estructura de Hodge-Tate , un análogo p -ádico de las estructuras de Hodge.

Notas

1. En términos de secuencias espectrales, véase álgebra homológica , las filtraciones de Hodge se pueden describir de la siguiente manera:

   ${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(\operatorname {gr} _{n}^{W}H)\Rightarrow H^{p+q},}$

   utilizando notaciones en #Definición de estructura mixta de Hodge. El hecho importante es que esta está degenerada en el término E ¹ , lo que significa que la secuencia espectral de Hodge–de Rham, y luego la descomposición de Hodge, depende solo de la estructura compleja, no de la métrica de Kähler en M .
2. Más precisamente, sea S el grupo algebraico real conmutativo bidimensional definido como la restricción de Weil del grupo multiplicativo de a en otras palabras, si A es un álgebra sobre entonces el grupo S ( A ) de puntos con valor A de S es el grupo multiplicativo de Entonces es el grupo de números complejos distintos de cero. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle A\otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle S(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$
3. Durfee, Alan (1981). "Una guía ingenua para la teoría mixta de Hodge". Análisis complejo de singularidades : 48–63. hdl :2433/102472.
4. El segundo artículo titulado Categorías Tannakianas de Deligne y Milne se centró en este tema.
5. Gillet, Enrique ; Soulé, Christophe (1996). "Descendencia, motivos y teoría K ". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 1996 (478): 127–176. arXiv : alg-geom/9507013 . Código Bib : 1995alg.geom..7013G. doi :10.1515/crll.1996.478.127. SEÑOR  1409056. S2CID  16441433., sección 3.1
6. Jones, BF, "Estructura de Hodge mixta de Deligne para variedades proyectivas con sólo singularidades de cruce normal" (PDF) , Seminario de trabajo sobre teoría de Hodge, primavera de 2005
7. Nicolaescu, Liviu, "Estructuras de Hodge mixtas en variedades algebraicas suaves" (PDF) , Seminario de trabajo sobre teoría de Hodge, primavera de 2005
8. "Rombo de Hodge de intersecciones completas". Stack Exchange . 14 de diciembre de 2013.

Referencias introductorias

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• Arapura, Donu, Variedades algebraicas complejas y su cohomología (PDF) , pp. 120–123, archivado desde el original (PDF) el 4 de enero de 2020(Proporciona herramientas para calcular números de Hodge utilizando cohomología de haces)
• Una guía ingenua sobre la teoría mixta de Hodge
• Dimca, Alexandru (1992). Singularidades y topología de hipersuperficies . Universitext. Nueva York: Springer-Verlag . pp. 240, 261. doi :10.1007/978-1-4612-4404-2. ISBN . 0-387-97709-0. Sr.  1194180. S2CID  117095021.(Proporciona una fórmula y generadores para números de Hodge mixtos de fibra de Milnor afín de un polinomio homogéneo ponderado, y también una fórmula para complementos de polinomios homogéneos ponderados en un espacio proyectivo ponderado).

Artículos de encuesta

• Arapura, Donu (2006), Estructuras de Hodge mixtas asociadas a variaciones geométricas (PDF) , arXiv : math/0611837 , Bibcode :2006math.....11837A

Referencias

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• Deligne, Pierre (1971a), Teoría de Hodge. II., Instituto. Altos estudios de ciencia. Publ. Matemáticas. No. 40, págs. 5 a 57, SEÑOR  0498551Esto construye una estructura de Hodge mixta sobre la cohomología de una variedad compleja.
• Deligne, Pierre (1974), Teoría de Hodge. III., Instituto. Altos estudios de ciencia. Publ. Matemáticas. Núm. 44, págs. 5 a 77, SEÑOR  0498552Esto construye una estructura de Hodge mixta sobre la cohomología de una variedad compleja.
• Deligne, Pierre (1994), "Estructuras de Hodge mixtas reales", Motives (Seattle, WA, 1991), Parte 1, Actas de simposios sobre matemáticas puras , vol. 55, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 509–514, MR  1265541
• Deligne, Pierre ; Milne, James (1982), "Categorías tannakianas", ciclos de Hodge, motivos y variedades de Shimura por Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shih , Lecture Notes in Mathematics , vol. 900, Springer-Verlag , págs. 1–414Se puede encontrar una versión anotada de este artículo en la página de inicio de J. Milne.
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