Teorema de desaparición de Kodaira

Proporciona condiciones generales bajo las cuales los grupos de cohomología de gavilla con índices > 0 son cero

En matemáticas , el teorema de desaparición de Kodaira es un resultado básico de la teoría de la variedad compleja y la geometría algebraica compleja , y describe las condiciones generales bajo las cuales los grupos de cohomología de gavilla con índices q > 0 son automáticamente cero. Las implicaciones para el grupo con índice q = 0 suelen ser que su dimensión (el número de secciones globales independientes ) coincide con una característica holomorfa de Euler que se puede calcular utilizando el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch .

El caso analítico complejo

La afirmación del resultado de Kunihiko Kodaira es que si M es una variedad Kähler compacta de dimensión compleja n , L cualquier paquete de líneas holomorfas en M que sea positivo , y KM es el paquete _de líneas canónico , entonces

${\displaystyle H^{q}(M,K_{M}\otimes L)=0}$

para q > 0. Aquí representa el producto tensorial de haces de líneas . Por medio de la dualidad de Serre , se obtiene también la desaparición de para q < n . Hay una generalización, el teorema de desaparición de Kodaira-Nakano , en el que , donde Ω ⁿ ( L ) denota el haz de formas holomorfas ( n ,0 ) en M con valores en L , se reemplaza por Ω ^r ( L ), el haz de formas holomorfas ( r ,0 ) con valores en L . Entonces el grupo de cohomología H ^q ( M , Ω ^r ( L )) desaparece siempre que  q  +  r  >  n . ${\displaystyle K_{M}\otimes L}$ ${\displaystyle H^{q}(M,L^{\otimes -1})}$ ${\displaystyle K_{M}\otimes L\cong \Omega ^{n}(L)}$

El caso algebraico

El teorema de desaparición de Kodaira se puede formular en el lenguaje de la geometría algebraica sin ninguna referencia a métodos trascendentales como la métrica de Kähler. La positividad del haz de líneas L se traduce en que el haz invertible correspondiente es amplio (es decir, cierta potencia tensor proporciona una incrustación proyectiva). El teorema algebraico de desaparición de Kodaira-Akizuki-Nakano es el siguiente enunciado:

Si k es un campo de característica cero, X es un esquema k suave y proyectivo de dimensión d , y L es una gavilla invertible amplia en X , entonces

${\displaystyle H^{q}(X,L\otimes \Omega _{X/k}^{p})=0{\text{ for }}p+q>d,{\text{ and}}}$

${\displaystyle H^{q}(X,L^{\otimes -1}\otimes \Omega _{X/k}^{p})=0{\text{ for }}p+q<d,}$

donde Ω ^p denota los haces de formas diferenciales relativas (algebraicas) (ver diferencial de Kähler ).

Raynaud (1978) demostró que este resultado no siempre es válido para campos de característica p > 0 y, en particular, falla para superficies de Raynaud . Posteriormente, Sommese (1986) dio un contraejemplo para variedades singulares con singularidades canónicas no logarítmicas, ^[1] y también Lauritzen y Rao (1997) dieron contraejemplos elementales inspirados en espacios homogéneos adecuados con estabilizadores no reducidos.

Sin embargo, hasta 1987, la única demostración conocida de la característica cero se basaba en la demostración analítica compleja y los teoremas de comparación GAGA . Sin embargo, en 1987 Pierre Deligne y Luc Illusie dieron una prueba puramente algebraica del teorema de desaparición en (Deligne & Illusie 1987). Su prueba se basa en mostrar que la secuencia espectral de Hodge-de Rham para la cohomología algebraica de Rham degenera en el grado 1. Esto se demuestra al extraer un resultado correspondiente más específico de la característica p  > 0: el resultado de la característica positiva no se mantiene sin limitaciones. pero se puede levantar para proporcionar el resultado completo.

Consecuencias y aplicaciones

Históricamente, el teorema de incrustación de Kodaira se derivó con la ayuda del teorema de desaparición. Con la aplicación de la dualidad de Serre, la desaparición de varios grupos de cohomología de haz (generalmente relacionados con el haz de líneas canónicas) de curvas y superficies ayuda con la clasificación de variedades complejas, por ejemplo, la clasificación de Enriques-Kodaira .

Ver también

• Teorema de desaparición de Kawamata-Viehweg
• Teorema de desaparición de Mumford
• Teorema de desaparición de Ramanujam

Nota

1. (Fujino 2009, Proposición 2.64)

Referencias

• Deligne, Pierre; Illusie, Luc (1987), "Relèvements modulo p ² et décomposition du complexe de de Rham", Inventiones Mathematicae , 89 (2): 247–270, Bibcode :1987InMat..89..247D, doi :10.1007/BF01389078, S2CID  119635574
• Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Conferencias sobre teoremas de fuga (PDF) , Seminario DMV, vol. 20, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-2822-1, señor  1193913
• Phillip Griffiths y Joseph Harris , Principios de geometría algebraica
• Kodaira, Kunihiko (1953), "Sobre un método geométrico diferencial en la teoría de pilas analíticas", Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE. UU. , 39 (12): 1268–1273, Bibcode : 1953PNAS...39.1268K, doi : 10.1073/pnas.39.12.1268 , PMC  1063947 , PMID  16589409
• Lauritzen, Niels; Rao, Prabhakar (1997), "Contraejemplos elementales de Kodaira que desaparecen en la característica principal", Proc. Académico indio. Ciencia. Matemáticas. Ciencia. , Springer Verlag, 107 : 21–25, arXiv : alg-geom/9604012 , doi : 10.1007/BF02840470, S2CID  16736679
• Raynaud, Michel (1978), "Contre-exemple au vanishing theorem en caractéristique p>0", CP Ramanujam---un tributo , Tata Inst. Fondo. Res. Estudios de Matemáticas, vol. 8, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 273–278, MR  0541027
• Fujino, Osamu (2009). "Introducción al programa de modelo log mínimo para pares log canónicos". arXiv : 0907.1506 . {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
• Sommese, Andrew John (1986). "Sobre la estructura teórica de adjunción de variedades proyectivas". Análisis Complejo y Geometría Algebraica . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1194, págs. 175-213. doi :10.1007/BFb0077004. ISBN 978-3-540-16490-6.