Homología singular

En topología algebraica , la homología singular se refiere al estudio de un determinado conjunto de invariantes algebraicos de un espacio topológico X , los llamados grupos de homología. Intuitivamente, la homología singular cuenta, para cada dimensión n , los huecos n -dimensionales de un espacio. La homología singular es un ejemplo particular de teoría de la homología , que ahora se ha convertido en una colección bastante amplia de teorías. De las diversas teorías, es quizás una de las más simples de entender, ya que se basa en construcciones bastante concretas (ver también la teoría relacionada de homología simple ). ${\displaystyle H_{n}(X).}$

En resumen, la homología singular se construye tomando mapas del estándar n -simplex a un espacio topológico y componiéndolos en sumas formales , llamadas cadenas singulares . La operación de frontera, que asigna cada simplex de n dimensiones a su límite de dimensiones ( n −1) , induce el complejo de cadena singular . La homología singular es entonces la homología del complejo de cadenas. Los grupos de homología resultantes son los mismos para todos los espacios equivalentes de homotopía , motivo de su estudio. Estas construcciones se pueden aplicar a todos los espacios topológicos, por lo que la homología singular se puede expresar como un funtor desde la categoría de espacios topológicos hasta la categoría de grupos abelianos graduados .

Simplicidades singulares

El estándar 2-simple Δ ² en R ³

Un singular n -símplex en un espacio topológico X es una función continua (también llamada mapa) del estándar n - símplex a X , escrito Este mapa no necesita ser inyectivo , y puede haber símplices singulares no equivalentes con la misma imagen. en X. _ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma :\Delta ^{n}\to X.}$

El límite de denotado como se define como la suma formal de los simples ( n  − 1) -simlices representados por la restricción de a las caras del estándar n -simplex, con un signo alterno para tener en cuenta la orientación. (Una suma formal es un elemento del grupo abeliano libre en los simples. La base del grupo es el conjunto infinito de todos los simples simples posibles. La operación del grupo es la "suma" y la suma del simplex a con el simplex b suele ser simplemente designado a  +  b , pero a  +  a  = 2 a y así sucesivamente. Cada simplex a tiene un negativo − a .) Por lo tanto, si designamos por sus vértices ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle \partial _{n}\sigma ,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle [p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=[\sigma (e_{0}),\sigma (e_{1}),\ldots ,\sigma (e_{n})]}$

correspondiente a los vértices del estándar n -simplex (que por supuesto no especifica completamente el simplex singular producido por ), entonces ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \partial _{n}\sigma =\partial _{n}[p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}[p_{0},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{n}]=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sigma \mid _{e_{0},\ldots ,e_{k-1},e_{k+1},\ldots ,e_{n}}}$

es una suma formal de las caras de la imagen simplex designadas de una manera específica. ^[1] (Es decir, una cara en particular tiene que ser la restricción de una cara cuya restricción depende del orden en que se enumeran sus vértices). Así, por ejemplo, el límite de (una curva que va de a ) es el límite formal suma (o "diferencia formal") . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma =[p_{0},p_{1}]}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle [p_{1}]-[p_{0}]}$

Complejo de cadena singular

La construcción habitual de homología singular procede definiendo sumas formales de simples, que pueden entenderse como elementos de un grupo abeliano libre , y luego mostrando que podemos definir un cierto grupo, el grupo de homología del espacio topológico, que involucra al operador de frontera. .

Considere primero el conjunto de todos los posibles n singulares n -símplices en un espacio topológico X . Este conjunto puede usarse como base de un grupo abeliano libre , de modo que cada n -simplex singular sea un generador del grupo. Por supuesto, este conjunto de generadores suele ser infinito y frecuentemente incontable , ya que hay muchas formas de mapear un simplex en un espacio topológico típico. El grupo abeliano libre generado por esta base se denota comúnmente como . Los elementos de se llaman n -cadenas singulares ; son sumas formales de simples singulares con coeficientes enteros. ${\displaystyle \sigma _{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$

El límite se extiende fácilmente para actuar sobre n -cadenas singulares. La extensión, llamada operador de límite , escrita como ${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

es un homomorfismo de grupos. El operador de frontera, junto con , forman un complejo en cadena de grupos abelianos, llamado complejo singular . A menudo se denota como o más simplemente . ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })}$ ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$

El núcleo del operador de frontera es , y se denomina grupo de n -ciclos singulares . La imagen del operador de frontera es , y se llama grupo de n -fronteras singulares . ${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle B_{n}(X)=\operatorname {im} (\partial _{n+1})}$

También se puede demostrar que , implicando . El -ésimo grupo de homología de se define entonces como el grupo de factores ${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}$ ${\displaystyle B_{n}(X)\subseteq Z_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}(X)/B_{n}(X).}$

Los elementos de se llaman clases de homología . ^[2] ${\displaystyle H_{n}(X)}$

Invariancia de homotopía

Si X e Y son dos espacios topológicos con el mismo tipo de homotopía (es decir, son equivalentes de homotopía ), entonces

${\displaystyle H_{n}(X)\cong H_{n}(Y)\,}$

para todo n ≥ 0. Esto significa que los grupos de homología son invariantes de homotopía y, por lo tanto, invariantes topológicos .

En particular, si X es un espacio contráctil conexo , entonces todos sus grupos de homología son 0, excepto . ${\displaystyle H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} }$

Una prueba de la invariancia de homotopía de grupos de homología singulares se puede esbozar de la siguiente manera. Un mapa continuo f : X → Y induce un homomorfismo

${\displaystyle f_{\sharp }:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(Y).}$

Se puede comprobar inmediatamente que

${\displaystyle \partial f_{\sharp }=f_{\sharp }\partial ,}$

es decir, f _# es un mapa de cadena , que desciende a homomorfismos por homología

${\displaystyle f_{*}:H_{n}(X)\rightarrow H_{n}(Y).}$

Ahora mostramos que si f y g son homotópicamente equivalentes, entonces f _* = g _* . De esto se deduce que si f es una equivalencia de homotopía, entonces f _* es un isomorfismo.

Sea F  : X × [0, 1] → Y una homotopía que lleva f a g . A nivel de cadenas, defina un homomorfismo.

${\displaystyle P:C_{n}(X)\rightarrow C_{n+1}(Y)}$

que, geométricamente hablando, toma un elemento base σ: Δ ⁿ → X de C _n ( X ) al "prisma" P (σ): Δ ⁿ × I → Y . El límite de P (σ) se puede expresar como

${\displaystyle \partial P(\sigma )=f_{\sharp }(\sigma )-g_{\sharp }(\sigma )-P(\partial \sigma ).}$

Entonces, si α en C _n ( X ) es un n -ciclo, entonces f _# ( α ) y g _# ( α ) difieren en un límite:

${\displaystyle f_{\sharp }(\alpha )-g_{\sharp }(\alpha )=\partial P(\alpha ),}$

es decir, son homólogos. Esto prueba la afirmación. ^[3]

Grupos de homología de espacios comunes.

La siguiente tabla muestra los k-ésimos grupos de homología de espacios proyectivos reales n-dimensionales RP ⁿ , espacios proyectivos complejos, CP ⁿ , un punto, esferas S ⁿ ( ) y un T ³ de 3 toros con coeficientes enteros. ${\displaystyle H_{k}(X)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

Funcionalidad

La construcción anterior se puede definir para cualquier espacio topológico y se conserva mediante la acción de mapas continuos. Esta generalidad implica que la teoría de la homología singular puede reformularse en el lenguaje de la teoría de categorías . En particular, se puede entender que el grupo de homología es un functor de la categoría de espacios topológicos Top a la categoría de grupos abelianos Ab .

Consideremos primero que es un mapa desde espacios topológicos hasta grupos abelianos libres. Esto sugiere que podría considerarse un funtor, siempre que se pueda comprender su acción sobre los morfismos de Top . Ahora bien, los morfismos de Top son funciones continuas, por lo que si es un mapa continuo de espacios topológicos, se puede extender a un homomorfismo de grupos. ${\displaystyle X\mapsto C_{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f_{*}:C_{n}(X)\to C_{n}(Y)\,}$

definiendo

${\displaystyle f_{*}\left(\sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}a_{i}(f\circ \sigma _{i})}$

donde es un simplex singular y es una cadena n singular , es decir, un elemento de . Esto demuestra que es un funtor. ${\displaystyle \sigma _{i}:\Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\,}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle C_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }$

de la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupos abelianos .

El operador de límite conmuta con mapas continuos, de modo que . Esto permite tratar todo el complejo de cadenas como un functor. En particular, esto muestra que el mapa es un funtor. ${\displaystyle \partial _{n}f_{*}=f_{*}\partial _{n}}$ ${\displaystyle X\mapsto H_{n}(X)}$

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }$

de la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupos abelianos. Según el axioma de homotopía, se tiene que también es un funtor, llamado funtor de homología, que actúa sobre hTop , la categoría de homotopía del cociente : ${\displaystyle H_{n}}$

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {hTop} \to \mathbf {Ab} .}$

Esto distingue la homología singular de otras teorías de homología, en las que sigue siendo un functor, pero no necesariamente está definido en todo Top . En cierto sentido, la homología singular es la teoría de homología "más amplia", en el sentido de que cada teoría de homología en una subcategoría de Top concuerda con la homología singular en esa subcategoría. Por otra parte, la homología singular no tiene las propiedades categóricas más limpias; Tal limpieza motiva el desarrollo de otras teorías de homología, como la homología celular . ${\displaystyle H_{n}}$

De manera más general, el funtor de homología se define axiomáticamente, como un funtor en una categoría abeliana o, alternativamente, como un funtor en complejos de cadenas , satisfaciendo axiomas que requieren un morfismo de límite que convierte secuencias exactas cortas en secuencias exactas largas . En el caso de homología singular, el functor de homología se puede factorizar en dos partes, una parte topológica y una parte algebraica. La pieza topológica está dada por

${\displaystyle C_{\bullet }:\mathbf {Top} \to \mathbf {Comp} }$

que mapea espacios topológicos como y funciones continuas como . Aquí se entiende entonces el funtor de cadena singular, que asigna espacios topológicos a la categoría de complejos de cadena Comp (o Kom ). La categoría de complejos de cadenas tiene complejos de cadenas como objetos y mapas de cadenas como morfismos . ${\displaystyle X\mapsto (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })}$ ${\displaystyle f\mapsto f_{*}}$ ${\displaystyle C_{\bullet }}$

La segunda parte algebraica es el funtor de homología.

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {Comp} \to \mathbf {Ab} }$

que mapas

${\displaystyle C_{\bullet }\mapsto H_{n}(C_{\bullet })=Z_{n}(C_{\bullet })/B_{n}(C_{\bullet })}$

y lleva mapas en cadena a mapas de grupos abelianos. Es este funtor de homología el que puede definirse axiomáticamente, de modo que sea por sí solo un functor en la categoría de complejos de cadena.

Los mapas de homotopía vuelven a entrar en escena definiendo mapas de cadenas homotópicamente equivalentes. Por tanto, se puede definir la categoría de cociente hComp o K , la categoría de homotopía de los complejos de cadena .

Coeficientes en R

Dado cualquier anillo unitario R , el conjunto de n -símplices singulares en un espacio topológico puede considerarse como los generadores de un módulo R libre . Es decir, en lugar de realizar las construcciones anteriores desde el punto de partida de grupos abelianos libres, se utilizan R -módulos libres en su lugar. Todas las construcciones se llevan a cabo con pocos o ningún cambio. El resultado de esto es

${\displaystyle H_{n}(X;R)\ }$

que ahora es un módulo R. Eso sí, no suele ser un módulo gratuito. El grupo de homología habitual se recupera observando que

${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )=H_{n}(X)}$

cuando se toma el anillo como el anillo de los números enteros. La notación H _n ( X ; R ) no debe confundirse con la notación casi idéntica H _n ( X , A ), que denota la homología relativa (a continuación).

El teorema del coeficiente universal proporciona un mecanismo para calcular la homología con los coeficientes R en términos de homología con los coeficientes enteros habituales utilizando la secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R\to H_{n}(X;R)\to Tor_{1}(H_{n-1}(X;\mathbb {Z} ),R)\to 0.}$

donde Tor es el functor Tor . ^[8] Es de destacar que si R no tiene torsión, entonces Tor_1(G, R) = 0 para cualquier G, por lo que la breve secuencia exacta anterior se reduce a un isomorfismo entre y ${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R}$ ${\displaystyle H_{n}(X;R).}$

Homología relativa

Para un subespacio , se entiende por homología relativa H _n ( X , A ) la homología del cociente de los complejos de cadena, es decir, ${\displaystyle A\subset X}$

${\displaystyle H_{n}(X,A)=H_{n}(C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A))}$

donde el cociente de complejos de cadenas viene dado por la secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0.}$^[9]

Homología reducida

La homología reducida de un espacio X , anotada como es una modificación menor de la homología habitual que simplifica las expresiones de algunas relaciones y cumple la intuición de que todos los grupos de homología de un punto deben ser cero. ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)}$

Para la homología habitual definida en un complejo de cadena:

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

Para definir la homología reducida, aumentamos el complejo de cadena con un valor adicional entre y cero: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle C_{0}}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0}$

dónde . Esto se puede justificar interpretando el conjunto vacío como "(-1)-simplex", lo que significa que . ${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$ ${\displaystyle C_{-1}\simeq \mathbb {Z} }$

Los grupos de homología reducida ahora se definen por para n positivo y . ^[10] ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{0}(X)=\ker(\epsilon )/\mathrm {im} (\partial _{1})}$

Para n > 0, mientras que para n = 0, ${\displaystyle H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)}$ ${\displaystyle H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z} .}$

Cohomología

Al dualizar el complejo de cadena de homología (es decir, aplicando el funtor Hom(-, R ), siendo R cualquier anillo) obtenemos un complejo de cocadena con mapa de colímites . Los grupos de cohomología de X se definen como los grupos de homología de este complejo; en una broma, "la cohomología es la homología del co [el complejo dual]". ${\displaystyle \delta }$

Los grupos de cohomología tienen una estructura algebraica más rica, o al menos más familiar, que los grupos de homología. En primer lugar, forman un álgebra graduada diferencial de la siguiente manera:

• el conjunto graduado de grupos forma un módulo R graduado ;
• a esto se le puede dar la estructura de un álgebra R graduada usando el producto de copa ;
• el homomorfismo de Bockstein β da un diferencial.

Hay operaciones de cohomología adicionales , y el álgebra de cohomología tiene una estructura de suma mod p (como antes, la cohomología mod p es la cohomología del complejo de cocadena mod p , no la reducción mod p de la cohomología), en particular la estructura del álgebra de Steenrod .

Homología y cohomología de Betti.

Dado que el número de teorías de homología se ha vuelto grande (ver Categoría: Teoría de la homología ), los términos homología de Betti y cohomología de Betti a veces se aplican (particularmente por autores que escriben sobre geometría algebraica ) a la teoría singular, como dando lugar a los números de Betti de la espacios más familiares como complejos simpliciales y variedades cerradas .

Extraordinaria homología

Si uno define una teoría de homología axiomáticamente (a través de los axiomas de Eilenberg-Steenrod ) y luego relaja uno de los axiomas (el axioma de dimensión ), se obtiene una teoría generalizada, llamada teoría de homología extraordinaria . Estos surgieron originalmente en forma de teorías de cohomología extraordinarias , a saber, la teoría K y la teoría del cobordismo . En este contexto, la homología singular se denomina homología ordinaria.

Ver también

• categoría derivada
• Teorema de escisión
• Teorema de Hurewicz
• Homología simple
• Homología celular

Referencias

1. Nacedor, 105
2. Nacedor, 108
3. Teorema 2.10. Hatcher, 111
4. Nacedor, 144
5. Nacedor, 140
6. Nacedor, 110
7. Nacedor, 142-143
8. Nacedor, 264
9. Nacedor, 115
10. Nacedor, 110

• Allen Hatcher, topología algebraica. Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN  0-521-79160-X y ISBN 0-521-79540-0 
• JP May, Un curso conciso en topología algebraica , Chicago University Press ISBN 0-226-51183-9 
• Joseph J. Rotman, Introducción a la topología algebraica , Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1