Teorema de Hurewicz

Da un homomorfismo de grupos de homotopía a grupos de homología.

En matemáticas , el teorema de Hurewicz es un resultado básico de la topología algebraica , que conecta la teoría de la homotopía con la teoría de la homología a través de un mapa conocido como homomorfismo de Hurewicz . El teorema lleva el nombre de Witold Hurewicz y generaliza resultados anteriores de Henri Poincaré .

Declaración de los teoremas

Los teoremas de Hurewicz son un vínculo clave entre los grupos de homotopía y los grupos de homología .

versión absoluta

Para cualquier espacio X conectado por camino y entero positivo n existe un homomorfismo de grupo

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X),}$

llamado homomorfismo de Hurewicz , del n -ésimo grupo de homotopía al n -ésimo grupo de homología (con coeficientes enteros). Se da de la siguiente manera: se elige un generador canónico , luego se lleva una clase de mapas de homotopía . ${\displaystyle u_{n}\in H_{n}(S^{n})}$ ${\displaystyle f\in \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)}$

El teorema de Hurewicz establece casos en los que el homomorfismo de Hurewicz es un isomorfismo .

• Porque , si X es conexo (es decir: para todos ), entonces para todos , y el mapa de Hurewicz es un isomorfismo. ^{[1] : 366, Thm.4.32} Esto implica, en particular, que la conectividad homológica es igual a la conectividad homotópica cuando esta última es al menos 1. Además, el mapa de Hurewicz es un epimorfismo en este caso. ^{[1] : 390, ?} ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$ ${\displaystyle i<n}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{i}}}(X)=0}$ ${\displaystyle i<n}$ ${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$ ${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)}$
• Porque , el homomorfismo de Hurewicz induce un isomorfismo , entre la abelianización del primer grupo de homotopía (el grupo fundamental ) y el primer grupo de homología. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}_{*}\colon \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X)}$

Versión relativa

Para cualquier par de espacios y números enteros existe un homomorfismo ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle k>1}$

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X,A)\to H_{k}(X,A)}$

de grupos de homotopía relativa a grupos de homología relativa. El teorema relativo de Hurewicz establece que si ambos y están conexos y el par es -conexo, entonces for y se obtiene de factorizando la acción de . Esto se demuestra, por ejemplo, en Whitehead (1978) por inducción, demostrando a su vez la versión absoluta y el lema de adición de homotopía. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle H_{k}(X,A)=0}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A)}$

Este teorema relativo de Hurewicz es reformulado por Brown y Higgins (1981) como una afirmación sobre el morfismo

${\displaystyle \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n}(X\cup CA),}$

donde denota el cono de . Esta afirmación es un caso especial de un teorema de escisión homotópica , que involucra módulos inducidos para (módulos cruzados si ), que a su vez se deduce de un teorema de van Kampen de homotopía superior para grupos de homotopía relativa, cuya demostración requiere el desarrollo de técnicas de un grupoide cúbico de homotopía superior. de un espacio filtrado. ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle n=2}$

Versión triádica

Para cualquier tríada de espacios (es decir, un espacio X y subespacios A , B ) y un número entero existe un homomorfismo ${\displaystyle (X;A,B)}$ ${\displaystyle k>2}$

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X;A,B)\to H_{k}(X;A,B)}$

de grupos de homotopía de tríada a grupos de homología de tríada. Tenga en cuenta que

${\displaystyle H_{k}(X;A,B)\cong H_{k}(X\cup (C(A\cup B))).}$

El teorema triádico de Hurewicz establece que si X , A , B y son conexos, los pares y son conexos y conexos, respectivamente, y la tríada es conexa, entonces para y se obtiene de factorizando la acción de y el Productos Whitehead generalizados. La prueba de este teorema utiliza un teorema de tipo van Kampen de homotopía superior para grupos de homotopía triádica, que requiere una noción del grupo fundamental de un n -cubo de espacios. ${\displaystyle C=A\cap B}$ ${\displaystyle (A,C)}$ ${\displaystyle (B,C)}$ ${\displaystyle (p-1)}$ ${\displaystyle (q-1)}$ ${\displaystyle (X;A,B)}$ ${\displaystyle (p+q-2)}$ ${\displaystyle H_{k}(X;A,B)=0}$ ${\displaystyle k<p+q-2}$ ${\displaystyle H_{p+q-1}(X;A)}$ ${\displaystyle \pi _{p+q-1}(X;A,B)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}$ ${\displaystyle \operatorname {cat} ^{n}}$

Versión de conjunto simple

El teorema de Hurewicz para espacios topológicos también puede enunciarse para n -conjuntos simpliciales conexos que satisfacen la condición de Kan. ^[2]

Teorema racional de Hurewicz

Teorema racional de Hurewicz: ^{[3] [4]} Sea X un espacio topológico simplemente conexo con for . Entonces el mapa de Hurewicz ${\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0}$ ${\displaystyle i\leq r}$

${\displaystyle h\otimes \mathbb {Q} \colon \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )}$

induce un isomorfismo para y una sobreyección para . ${\displaystyle 1\leq i\leq 2r}$ ${\displaystyle i=2r+1}$

Notas

1. Hatcher, Allen (2001), Topología algebraica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79160-1
2. Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999), Teoría de la homotopía simple , Progreso en matemáticas, vol. 174, Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, III.3.6, 3.7
3. Klaus, Esteban; Kreck, Matthias (2004), "Una prueba rápida del teorema racional de Hurewicz y un cálculo de los grupos de esferas de homotopía racional", Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 136 (3): 617–623, Bibcode :2004MPCPS.136 ..617K, doi :10.1017/s0305004103007114, S2CID  119824771
4. Cartan, Enrique ; Serre, Jean-Pierre (1952), "Espaces fibrés et groupes d'homotopie, II, Aplicaciones", Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 2 (34): 393–395

Referencias

• Brown, Ronald (1989), "Teoremas triádicos de Van Kampen y teoremas de Hurewicz", Topología algebraica (Evanston, IL, 1988) , Matemáticas contemporáneas, vol. 96, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, págs. 39–57, doi :10.1090/conm/096/1022673, ISBN 9780821851029, señor  1022673
• Marrón, Ronald; Higgins, PJ (1981), "Teoremas de Colimit para grupos de homotopía relativa", Journal of Pure and Applied Algebra , 22 : 11–41, doi :10.1016/0022-4049(81)90080-3, ISSN  0022-4049
• Marrón, R.; Loday, J.-L. (1987), "Escisión homotópica y teoremas de Hurewicz para n-cubos de espacios", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , Tercera serie, 54 : 176–192, CiteSeerX  10.1.1.168.1325 , doi :10.1112/plms/s3 -54.1.176, ISSN  0024-6115
• Marrón, R.; Loday, J.-L. (1987), "Teoremas de Van Kampen para diagramas de espacios", Topología , 26 (3): 311–334, doi :10.1016/0040-9383(87)90004-8, ISSN  0040-9383

• Rotman, Joseph J. (1988), Introducción a la topología algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 119, Springer-Verlag (publicado el 22 de julio de 1998), ISBN 978-0-387-96678-6
• Whitehead, George W. (1978), Elementos de la teoría de la homotopía , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 61, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90336-1