Conectividad homotópica

En topología algebraica , la conectividad homotópica es una propiedad que describe un espacio topológico en función de la dimensión de sus agujeros. En general, una baja conectividad homotópica indica que el espacio tiene al menos un agujero de baja dimensión. El concepto de n -conectividad generaliza los conceptos de conectividad por caminos y conectividad simple .

Una definición equivalente de conectividad homotópica se basa en los grupos de homotopía del espacio. Un espacio es n -conexo (o n -simple conexo ) si sus primeros n grupos de homotopía son triviales.

La conectividad homotópica también se define para los mapas. Un mapa es n -conexo si es un isomorfismo "hasta la dimensión n, en homotopía ".

Definición usando agujeros

Todas las definiciones siguientes consideran un espacio topológico X .

Un agujero en X es, informalmente, algo que impide que una esfera colocada adecuadamente se contraiga continuamente hasta convertirse en un punto. ^{[1] : 78} De manera equivalente, es una esfera que no puede extenderse continuamente hasta convertirse en una bola . Formalmente,

• Una esfera d-dimensional en X es una función continua . ${\displaystyle f_{d}:S^{d}\to X}$
• Una bola d-dimensional en X es una función continua . ${\displaystyle g_{d}:B^{d}\to X}$
• Un agujero de límite d-dimensional en X es una esfera d- dimensional que no es homotópica nula (- no se puede reducir continuamente a un punto). De manera equivalente, es una esfera d- dimensional que no se puede extender continuamente a una bola ( d +1)-dimensional. A veces se le llama agujero dimensional ( d +1) ( d +1 es la dimensión de la "bola que falta").
• X se llama n -conectado si no contiene agujeros de dimensión límite d ≤ n . ^{[1] : 78, Sección 4.3}
• La conectividad homotópica de X , denotada , es el entero más grande n para el cual X está n -conectado. ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)}$
• Una definición ligeramente diferente de conectividad, que simplifica algunos cálculos, es: el entero más pequeño d tal que X contiene un agujero d -dimensional. Este parámetro de conectividad se denota por , y se diferencia del parámetro anterior en 2, es decir, . ^[2] ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(X):={\text{conn}}_{\pi }(X)+2}$

Ejemplos

Un agujero bidimensional (un agujero con un límite unidimensional).

• Un agujero bidimensional (un agujero con un límite unidimensional) es un círculo (S ¹ ) en X , que no se puede reducir continuamente hasta un punto en X. En la figura de la derecha se muestra un ejemplo. La región amarilla es el espacio topológico X ; es un pentágono al que se le ha quitado un triángulo. El círculo azul es una esfera unidimensional en X. No se puede reducir continuamente hasta un punto en X; por lo tanto; X tiene un agujero bidimensional. Otro ejemplo es el plano perforado : el plano euclidiano al que se le ha eliminado un único punto . Para hacer un agujero bidimensional en una bola tridimensional, haz un túnel a través de él. ^[1] En general, un espacio contiene un agujero de límite unidimensional si y solo si no está simplemente conectado . Por lo tanto, simplemente conexo es equivalente a 1 conexo. X está conectado en 0 pero no en 1, por lo que . La dimensión más baja de un agujero es 2, entonces . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=2}$

  

  Un agujero tridimensional.

• En la figura de la derecha se muestra un agujero tridimensional (un agujero con un límite bidimensional). Aquí, X es un cubo (amarillo) al que se le ha quitado una bola (blanca). La esfera bidimensional (azul) no se puede reducir continuamente a un solo punto. X es simplemente conexo pero no conexo por 2, por lo que . La dimensión más pequeña de un agujero es 3, entonces . ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=1}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=3}$

Un agujero unidimensional.

• Para un agujero unidimensional (un agujero con un límite de dimensión 0), debemos considerar la esfera de dimensión cero. ¿Qué es una esfera de dimensión cero? - Para cada número entero d , la esfera es el límite de la bola ( d +1)-dimensional . También lo es el límite de , que es el segmento [0,1]. Por tanto, es el conjunto de dos puntos disjuntos {0, 1}. Una esfera de dimensión cero en X es solo un conjunto de dos puntos en X. Si existe un conjunto de este tipo que no puede reducirse continuamente a un solo punto en X (o extenderse continuamente a un segmento en X ), esto significa que no hay un camino entre los dos puntos, es decir, X no está conectado por caminos. ; ver la figura de la derecha. Por lo tanto, conectado por ruta es equivalente a conectado por 0. X no está conectado a 0, por lo que . La dimensión más baja de un agujero es 1, entonces . ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle S^{d}}$ ${\displaystyle B^{d+1}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle B^{1}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=-1}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=1}$
• Un agujero de dimensión 0 es una bola de dimensión 0 que falta. Una bola de dimensión 0 es un punto único; su límite es un conjunto vacío. Por tanto, la existencia de un agujero de dimensión 0 equivale a que el espacio esté vacío. Por lo tanto, no vacío es equivalente a conectado (-1). Para un espacio vacío X , y , cuál es su valor más pequeño posible. ${\displaystyle S^{-1}}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=-2}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=0}$
• Una bola no tiene agujeros de ninguna dimensión. Por tanto, su conectividad es infinita: . ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)={\text{conn}}_{\pi }(X)=\infty }$

Conectividad homotópica de esferas.

En general, para cada número entero d , (y ) ^{[1] : 79, Thm.4.3.2} La demostración requiere dos direcciones: ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})=d-1}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(S^{d})=d+1}$

• Demostrando que , es decir, no se puede reducir continuamente a un solo punto. Esto se puede demostrar utilizando el teorema de Borsuk-Ulam . ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})<d}$ ${\displaystyle S^{d}}$
• Demostrando que , es decir, cada mapa continuo se puede reducir continuamente a un solo punto. ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})\geq d-1}$ ${\displaystyle S^{k}\to S^{d}}$ ${\displaystyle k<d}$

Definición usando grupos

Un espacio X se llama n -conexo , para n ≥ 0, si no está vacío, y todos sus grupos de homotopía de orden d ≤ n son el grupo trivial :

$${\displaystyle \pi _{d}(X)\cong 0,\quad -1\leq d\leq n,}$$

igrupo de homotopía^[3]ndn ${\displaystyle \pi _{i}(X)}$

• El requisito de d = -1 significa que X no debe estar vacío.
• El requisito de d = 0 significa que X debe estar conectado por camino.
• El requisito para cualquier d ≥ 1 significa que X no contiene agujeros de dimensión límite d . Es decir, cada esfera d -dimensional en X es homotópica a un mapa constante. Por lo tanto, el d -ésimo grupo de homotopía de X es trivial. Lo contrario también es cierto: si X tiene un agujero con un límite d -dimensional, entonces hay una d -esfera dimensional que no es homotópica a un mapa constante, por lo que el d -ésimo grupo de homotopía de X no es trivial. En resumen, X tiene un agujero con un límite d -dimensional, si-y-sólo-si . La conectividad homotópica de X es el entero más grande n para el cual X está n -conectado. ^[4] ${\displaystyle \pi _{d}(X)\not \cong 0}$

Los requisitos de no estar vacío y estar conectado por ruta se pueden interpretar como conectados (−1) y conectados en 0 , respectivamente, lo cual es útil para definir mapas conectados en 0 y conectados en 1, como se muestra a continuación. El 0º conjunto de homotopía se puede definir como:

${\displaystyle \pi _{0}(X,*):=\left[\left(S^{0},*\right),\left(X,*\right)\right].}$

Éste es sólo un conjunto puntual , no un grupo, a menos que X sea en sí mismo un grupo topológico ; el punto distinguido es la clase del mapa trivial, enviando S ⁰ al punto base de X . Usando este conjunto, un espacio es conexo 0 si y solo si el conjunto de homotopía 0 es el conjunto de un punto. La definición de grupos de homotopía y este conjunto de homotopía requieren que X sea puntiagudo (tenga un punto base elegido), lo que no se puede hacer si X está vacío.

Un espacio topológico X está conectado por caminos si y sólo si su grupo de homotopía 0 desaparece de manera idéntica, ya que la conectividad por caminos implica que dos puntos cualesquiera x ₁ y x ₂ en X pueden conectarse con un camino continuo que comienza en x ₁ y termina en x ₂ , lo que equivale a la afirmación de que cada aplicación desde S ⁰ (un conjunto discreto de dos puntos) a X puede deformarse continuamente a una aplicación constante. Con esta definición, podemos definir que X es n -conexo si y sólo si

${\displaystyle \pi _{i}(X)\simeq 0,\quad 0\leq i\leq n.}$

Ejemplos

• Un espacio X es conexo (−1) si y sólo si no está vacío.
• Un espacio X está conectado en 0 si y solo si no está vacío y está conectado por una ruta .
• Un espacio es conexo 1 si y sólo si es simplemente conexo .
• Una n -esfera está ( n  − 1) -conectada.

mapa n -conectado

La noción relativa correspondiente a la noción absoluta de un espacio n -conexo es un mapa n -conexo , que se define como un mapa cuya fibra de homotopía Ff es un espacio ( n  − 1)-conectado. En términos de grupos de homotopía, significa que un mapa es n -conexo si y sólo si: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• ${\displaystyle \pi _{i}(f)\colon \pi _{i}(X)\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \pi _{i}(Y)}$es un isomorfismo para , y ${\displaystyle i<n}$
• ${\displaystyle \pi _{n}(f)\colon \pi _{n}(X)\twoheadrightarrow \pi _{n}(Y)}$es una sobreyección.

La última condición suele resultar confusa; se debe a que la desaparición del ( n  − 1) -st grupo de homotopía de la fibra de homotopía Ff corresponde a una sobreyección de los n ^-ésimos grupos de homotopía, en la secuencia exacta:

${\displaystyle \pi _{n}(X)\mathrel {\overset {\pi _{n}(f)}{\to }} \pi _{n}(Y)\to \pi _{n-1}(Ff).}$

Si el grupo de la derecha desaparece, entonces el mapa de la izquierda es una sobreyección. ${\displaystyle \pi _{n-1}(Ff)}$

Ejemplos de baja dimensión:

• Un mapa conectado (mapa conectado 0) es aquel que se encuentra en componentes de ruta (0º grupo de homotopía); esto corresponde a que la fibra de homotopía no esté vacía.
• Un mapa simplemente conexo (mapa 1-conexo) es aquel que es un isomorfismo en los componentes de la ruta (0º grupo de homotopía) y en el grupo fundamental (1er grupo de homotopía).

La n -conectividad para espacios puede a su vez definirse en términos de n -conectividad de mapas: un espacio X con punto base x ₀ es un n -espacio conexo si y sólo si la inclusión del punto base es un mapa n -conexo. El conjunto de un solo punto es contráctil, por lo que todos sus grupos de homotopía desaparecen y, por lo tanto, el "isomorfismo por debajo de n y en n " corresponde a los primeros n grupos de homotopía de X que desaparecen. ${\displaystyle x_{0}\hookrightarrow X}$

Interpretación

Esto es instructivo para un subconjunto: una inclusión n -conectada es aquella que, hasta la dimensión n  − 1, las homotopías en el espacio mayor X pueden homotopías en homotopías en el subconjunto A. ${\displaystyle A\hookrightarrow X}$

Por ejemplo, para que un mapa de inclusión sea 1-conexo, debe ser: ${\displaystyle A\hookrightarrow X}$

• sobre ${\displaystyle \pi _{0}(X),}$
• uno a uno y ${\displaystyle \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X),}$
• sobre ${\displaystyle \pi _{1}(X).}$

Uno a uno en significa que si hay un camino que conecta dos puntos pasando por X, hay un camino en A que los conecta, mientras que en significa que, de hecho, un camino en X es homotópico a un camino en A. ${\displaystyle \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X)}$ ${\displaystyle a,b\in A}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

En otras palabras, una función que es un isomorfismo solo implica que cualquier elemento de que sea homotópico en X es abstractamente homotópico en A (la homotopía en A puede no estar relacionada con la homotopía en X ) mientras está n -conectada (también en ) significa que (hasta la dimensión n  − 1) las homotopías en X pueden convertirse en homotopías en A . ${\displaystyle \pi _{n-1}(A)\to \pi _{n-1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{n-1}(A)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$

Esto da una explicación más concreta de la utilidad de la definición de n -conectividad: por ejemplo, un espacio donde la inclusión del k -esqueleto está n -conectada (para n  >  k ), como la inclusión de un punto en el n -esfera: tiene la propiedad de que cualquier celda en dimensiones entre k y n no afecta los tipos de homotopía de dimensiones inferiores.

límites inferiores

Muchas pruebas topológicas requieren límites inferiores de la conectividad homotópica. Existen varias "recetas" para demostrar esos límites inferiores.

Homología

El teorema de Hurewicz relaciona la conectividad homotópica con la conectividad homológica , denotada por . Esto es útil para calcular la conectividad homotópica, ya que los grupos homológicos se pueden calcular más fácilmente. ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)}$

Supongamos primero que X es simplemente conexo, es decir, . Dejar ; así para todos , y . Teorema de Hurewicz ^{[5] : 366, Thm.4.32} dice que, en este caso, para todos , y es isomorfo a , también. Por lo tanto: ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\geq 1}$ ${\displaystyle n:={\text{conn}}_{\pi }(X)+1\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$ ${\displaystyle i<n}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)\neq 0}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{i}}}(X)=0}$ ${\displaystyle i<n}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{n}}}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{n}}}(X)\neq 0}$

$${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)={\text{conn}}_{\pi }(X).}$$

X ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\leq 0}$

$${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)\geq {\text{conn}}_{\pi }(X)}$$

X^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\leq -1}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{0}}}(X)=0}$

La desigualdad puede ser estricta: hay espacios en los que pero . ^[6] ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)=\infty }$

Por definición, el k -ésimo grupo de homología de un complejo simplicial depende sólo de los símplices de dimensión como máximo k +1 (ver homología simplicial ). Por lo tanto, el teorema anterior implica que un complejo simplicial K es k -conexo si y sólo si su esqueleto ( k +1)-dimensional (el subconjunto de K que contiene sólo símplices de dimensión como máximo k +1) es k -conexo.: ^{[1] : 80, Proposición 4.4.2}

Unirse

Sean K y L complejos de celdas no vacías . Su unión se denota comúnmente por . Entonces: ^{[1] : 81, Proposición 4.4.3} ${\displaystyle K*L}$

$${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(K*L)\geq {\text{conn}}_{\pi }(K)+{\text{conn}}_{\pi }(L)+2.}$$

La identidad es más sencilla con la notación eta:

$${\displaystyle \eta _{\pi }(K*L)\geq \eta _{\pi }(K)+\eta _{\pi }(L).}$$

12Koctaedronn ${\displaystyle K=L=S^{0}=}$ ${\displaystyle K*L}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$

La prueba general se basa en una fórmula similar para la conectividad homológica.

Nervio

Sean K ₁ ,..., K _n complejos simpliciales abstractos y denotemos su unión por K .

Denota el complejo nervioso de { K ₁ , ... , K _n } (el complejo abstracto que registra el patrón de intersección de K _i ) por N .

Si, para cada no vacío , la intersección es vacía o ( k −| J |+1)-conectada, entonces para cada j ≤ k , el j -ésimo grupo de homotopía de N es isomorfo al j -ésimo grupo de homotopía de K . ${\displaystyle J\subset I}$ ${\textstyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

En particular, N es k conexo si y solo si K es k conexo. ^{[7] : Thm.6}

Principio de homotopía

En topología geométrica , se dice que los casos en los que la inclusión de un espacio definido geométricamente, como el espacio de inmersiones en un espacio topológico más general, como el espacio de todos los mapas continuos entre dos espacios asociados están n conectados, satisfacen una homotopía. principio o "principio h". Existen varias técnicas generales poderosas para demostrar los principios h. ${\displaystyle M\to N,}$ ${\displaystyle X(M)\to X(N),}$

Ver también

• Espacio conectado
• Espectro conectivo
• Conectado por camino
• Simplemente conectado

Referencias

1. Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : conferencias sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler, Sección 4.3
2. Aharoni, Ron; Berger, Eli (2006). "La intersección de una matroide y un complejo simplicial". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 358 (11): 4895–4917. doi : 10.1090/S0002-9947-06-03833-5 . ISSN  0002-9947.
3. "espacio n conectado en nLab". ncatlab.org . Consultado el 18 de septiembre de 2017 .
4. Frick, Florian; Soberón, Pablo (2020-05-11). "El problema topológico de Tverberg más allá de las potencias primarias". arXiv : 2005.05251 [math.CO].
5. Hatcher, Allen (2001), Topología algebraica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79160-1
6. Consulte el ejemplo 2.38 en el libro de Hatcher. Vea también esta respuesta.
7. Björner, Anders (1 de abril de 2003). "Nervios, fibras y grupos de homotopía". Revista de teoría combinatoria . Serie A. 102 (1): 88–93. doi : 10.1016/S0097-3165(03)00015-3 . ISSN  0097-3165.