Principio de homotopía

El principio de homotopía generaliza resultados como la prueba de eversión de esfera de Smale .

En matemáticas , el principio de homotopía (o principio h ) es una forma muy general de resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDE) y, más generalmente, relaciones diferenciales parciales (PDR). El principio h es bueno para PDE o PDR indeterminadas , como el problema de inmersión, el problema de inmersión isométrica, la dinámica de fluidos y otras áreas.

La teoría fue iniciada por Yakov Eliashberg , Mikhail Gromov y Anthony V. Phillips. Se basó en resultados anteriores que redujeron las relaciones diferenciales parciales a homotopía , particularmente para inmersiones. La primera evidencia del principio h apareció en el teorema de Whitney-Graustein . A esto le siguieron el teorema de incrustación isométrica C ¹ de Nash-Kuiper y el teorema de inmersión de Smale-Hirsch.

idea aproximada

Supongamos que queremos encontrar una función ƒ en R ^m que satisfaga una ecuación diferencial parcial de grado k , en coordenadas . Se puede reescribir como ${\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})}$

${\displaystyle \Psi (u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},J_{f}^{k})=0}$

donde representa todas las derivadas parciales de ƒ hasta el orden  k . Intercambiemos cada variable por nuevas variables independientes. Entonces nuestra ecuación original puede pensarse como un sistema de ${\displaystyle J_{f}^{k}}$ ${\displaystyle J_{f}^{k}}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{N}.}$

${\displaystyle \Psi _{}^{}(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},y_{1},y_{2},\dots ,y_{N})=0}$

y algún número de ecuaciones del siguiente tipo

${\displaystyle y_{j}={\partial ^{k}f \over \partial u_{j_{1}}\ldots \partial u_{j_{k}}}.}$

una solución de

${\displaystyle \Psi _{}^{}(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},y_{1},y_{2},\dots ,y_{N})=0}$

se llama solución no holonómica , y una solución del sistema que también es solución de nuestra PDE original se llama solución holonómica .

Para comprobar si existe una solución a nuestra ecuación original, primero se puede comprobar si existe una solución no holonómica. Normalmente esto es bastante fácil, y si no hay una solución no holonómica, entonces nuestra ecuación original no tenía ninguna solución.

Una PDE satisface el principio h si cualquier solución no holonómica puede deformarse en una holonómica en la clase de soluciones no holonómicas. Así, en presencia del principio h, un problema topológico diferencial se reduce a un problema topológico algebraico. Más explícitamente, esto significa que aparte de la obstrucción topológica no hay otra obstrucción a la existencia de una solución holonómica. El problema topológico de encontrar una solución no holonómica es mucho más fácil de manejar y puede abordarse con la teoría de la obstrucción para paquetes topológicos.

Muchas ecuaciones diferenciales parciales indeterminadas satisfacen el principio h. Sin embargo, la falsedad de un principio h también es una afirmación interesante; intuitivamente esto significa que los objetos que se estudian tienen una geometría no trivial que no se puede reducir a una topología. Como ejemplo, los lagrangianos incrustados en una variedad simpléctica no satisfacen un principio h; para demostrarlo es necesario encontrar invariantes provenientes de curvas pseudoholomórficas .

Ejemplos simples

Funciones monótonas

Quizás la relación diferencial parcial más simple sea que la derivada no desaparezca: propiamente, esta es una relación diferencial ordinaria , ya que es una función en una variable. ${\displaystyle f'(x)\neq 0.}$

Una solución holonómica a esta relación es una función cuya derivada no desaparece en ninguna parte, es decir, una función diferenciable estrictamente monótona, ya sea creciente o decreciente. El espacio de tales funciones consta de dos conjuntos convexos disjuntos : los crecientes y los decrecientes, y tiene el tipo de homotopía de dos puntos.

Una solución no holonómica a esta relación consistiría en los datos de dos funciones, una función diferenciable f(x) y una función continua g(x), donde g(x) no desaparece en ninguna parte. Una solución holonómica da lugar a una solución no holonómica tomando g(x) = f'(x). El espacio de soluciones no holonómicas nuevamente consta de dos conjuntos convexos disjuntos, según g(x) sea positivo o negativo.

Por tanto, la inclusión de soluciones holonómicas en no holonómicas satisface el principio h.

El teorema de Whitney-Graustein muestra que las inmersiones del círculo en el plano satisfacen un principio h, expresado por el número de giro .

Este ejemplo trivial tiene generalizaciones no triviales: extender esto a inmersiones de un círculo en sí mismo los clasifica por orden (o número de bobinado ), elevando el mapa al espacio de cobertura universal y aplicando el análisis anterior al mapa monótono resultante: el mapa lineal corresponde para multiplicar el ángulo: ( en números complejos). Tenga en cuenta que aquí no hay inmersiones de orden 0, ya que tendrían que volverse sobre sí mismas. Extendiendo esto a círculos sumergidos en el plano (la condición de inmersión es precisamente la condición de que la derivada no desaparezca), el teorema de Whitney-Graustein los clasificó por número de giro considerando la clase de homotopía del mapa de Gauss y mostrando que esto satisface un h- principio; aquí nuevamente el orden 0 es más complicado. ${\displaystyle \theta \mapsto n\theta }$ ${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$

La clasificación de Smale de inmersiones de esferas como grupos de homotopía de variedades de Stiefel , y la generalización de Hirsch de esto a inmersiones de variedades clasificadas como clases de homotopía de mapas de haces de marcos son generalizaciones de mucho mayor alcance y mucho más complicadas, pero similares en principio: la inmersión requiere que la derivada tenga rango k, lo que requiere que las derivadas parciales en cada dirección no desaparezcan y sean linealmente independientes, y el análogo resultante del mapa de Gauss es un mapa de la variedad de Stiefel, o más generalmente entre haces de cuadros.

Un coche en el avión.

Como otro ejemplo sencillo, consideremos un automóvil que se mueve en el avión. La posición de un coche en el avión está determinada por tres parámetros: dos coordenadas y la ubicación (una buena opción es la ubicación del punto medio entre las ruedas traseras) y un ángulo que describe la orientación del coche. El movimiento del auto satisface la ecuación. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\dot {x}}\sin \alpha ={\dot {y}}\cos \alpha .}$

ya que un automóvil que no patina debe moverse en la dirección de sus ruedas. En términos de robótica , no todos los caminos en el espacio de tareas son holonómicos.

Una solución no holonómica en este caso corresponde, en términos generales, a un movimiento del automóvil deslizándose en el plano. En este caso, las soluciones no holonómicas no sólo son homotópicas a las holonómicas, sino que también pueden ser aproximadas arbitrariamente por las holonómicas (yendo y viniendo, como estacionarse en paralelo en un espacio limitado); tenga en cuenta que esto se aproxima tanto a la posición como a la posición. el ángulo del coche arbitrariamente cerca. Esto implica que, teóricamente, es posible aparcar en paralelo en cualquier espacio más largo que la longitud de tu coche. También implica que, en una variedad de contacto 3, cualquier curva es cercana a una curva de Legendrian . Esta última propiedad es más fuerte que el principio h general; se llama principio h denso . ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{0}}$

Si bien este ejemplo es simple, compárelo con el teorema de incrustación de Nash , específicamente el teorema de Nash-Kuiper , que dice que cualquier incrustación o inmersión suave y corta ( ) de adentro o más grande puede aproximarse arbitrariamente bien mediante una incrustación isométrica (respectivamente, inmersión) . Este también es un principio h denso, y puede demostrarse mediante una técnica de "arrugado" (o más bien, de círculos) esencialmente similar a la del automóvil en el avión, aunque es mucho más complicada. ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m+1}}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Formas de probar el principio h

• Técnica de eliminación de singularidades desarrollada por Gromov y Eliashberg
• Técnica de gavilla basada en el trabajo de Smale y Hirsch. ^{[1] [2]}
• Integración convexa basada en el trabajo de Nash y Kuiper. ^{[3] [4] [5]}

Algunas paradojas

Aquí enumeramos algunos resultados contrarios a la intuición que pueden demostrarse aplicando el principio h:

• Eversión del cono. ^[6] Considere funciones f sobre R ² sin origen f ( x ) = | x |. Entonces existe una familia continua de funciones de un solo parámetro tal que , y para cualquier , no es cero en ningún punto. ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle f_{0}=f}$ ${\displaystyle f_{1}=-f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \operatorname {grad} (f_{t})}$
• Cualquier variedad abierta admite una métrica de Riemann (no completa) de curvatura positiva (o negativa).
• La eversión de la esfera sin arrugas ni rasgaduras se puede realizar mediante inmersiones de . ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle S^{2}}$
• El teorema de incrustación isométrica de Nash-Kuiper C ¹ , en particular, implica que hay una inmersión isométrica de la ronda en una bola arbitrariamente pequeña de . Esta inmersión no puede ser porque una pequeña esfera oscilante proporcionaría un gran límite inferior para las curvaturas principales, y por lo tanto para la curvatura de Gauss de la esfera sumergida, pero por otro lado si la inmersión es esta tiene que ser igual a 1 en todas partes, la Curvatura de Gauss del estándar , por el Teorema Egregium de Gauss . ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Referencias

1. MW Hirsch, Inmersiones del colector. Trans. América. Matemáticas. Soc. 93 (1959)
2. S. Smale, La clasificación de inmersiones de esferas en espacios euclidianos. Ana. de Matemáticas (2) 69 (1959)
3. John Nash, Incrustación isométrica. Ana. de Matemáticas(2) 60 (1954) ${\displaystyle C^{1}}$
4. N. Kuiper, Sobre incrustaciones isométricas I, II. Nederl. Acad. Wetensch. Proc. Serie A 58 (1955) ${\displaystyle C^{1}}$
5. David Spring, Teoría de la integración convexa: soluciones al principio h en geometría y topología, Monographs in Mathematics 92, Birkhauser-Verlag, 1998
6. D. Fuchs, S. Tabachnikov, Ómnibus matemático: treinta conferencias sobre matemáticas clásicas

Otras lecturas

• Masahisa Adachi, Incrustaciones e inmersiones, traducción Kiki Hudson
• Eliashberg, Y.; Mishachev, N.; Ariki, S. (2002). Introducción al principio h. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821832271.
• Grómov, M. (1986). Relaciones diferenciales parciales . Saltador. ISBN 3-540-12177-3.
• De Lellis, Camillo; Székelyhidi, László Jr. (2012). "El principio h y las ecuaciones de la dinámica de fluidos". Toro. América. Matemáticas. Soc . 49 : 347–375. arXiv : 1111.2700 . doi : 10.1090/S0273-0979-2012-01376-9 .