Espacio conectado

Espacio topológico que está conectado.

Subespacios conectados y desconectados de R ²

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio conectado es un espacio topológico que no puede representarse como la unión de dos o más subconjuntos abiertos no vacíos disjuntos . La conectividad es una de las principales propiedades topológicas que se utilizan para distinguir espacios topológicos.

Un subconjunto de un espacio topológico es un ${\displaystyle X}$conjunto conectado si es un espacio conectado cuando se ve como unsubespaciode. ${\displaystyle X}$

Algunas condiciones relacionadas pero más fuertes son conectadas por camino, conectadas simplemente y conectadas . Otra noción relacionada es la de conectado localmente , que no implica ni se deriva de la conexión. ${\displaystyle n}$

Definicion formal

Se dice que un espacio topológico es ${\displaystyle X}$desconectado si es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos. En caso contrario,se dice que estáconectado. Se dice que unsubconjuntode un espacio topológico es conexo si lo está bajo su topología subespacial. Algunos autores excluyen elconjunto vacío(con su topología única) como un espacio conexo, pero este artículo no sigue esa práctica. ${\displaystyle X}$

Para un espacio topológico las siguientes condiciones son equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$está conectado, es decir, no se puede dividir en dos conjuntos abiertos no vacíos y disjuntos.
2. Los únicos subconjuntos que son abiertos y cerrados ( conjuntos cerrados ) son y el conjunto vacío. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
3. Los únicos subconjuntos de con límite vacío son y el conjunto vacío. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
4. ${\displaystyle X}$no puede escribirse como la unión de dos conjuntos separados no vacíos (conjuntos en los que cada uno está separado del cierre del otro).
5. Todas las funciones continuas desde hasta son constantes, donde está el espacio de dos puntos dotado de topología discreta . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$

Históricamente, esta formulación moderna de la noción de conectividad (en términos de no división en dos conjuntos separados) apareció por primera vez (de forma independiente) con NJ Lennes, Frigyes Riesz y Felix Hausdorff a principios del siglo XX. Consulte ^[1] para obtener más detalles. ${\displaystyle X}$

Componentes conectados

Dado algún punto en un espacio topológico, la unión de cualquier colección de subconjuntos conectados de modo que cada uno de los contenidos vuelva a ser un subconjunto conectado. El componente conectado de un punto en es la unión de todos los subconjuntos conectados de que lo contiene es el único subconjunto conectado más grande (con respecto a ) de que contiene Los subconjuntos conectados máximos (ordenados por inclusión ) de un espacio topológico no vacío se llaman los componentes conectados del espacio. Los componentes de cualquier espacio topológico forman una partición de  : son disjuntos , no vacíos y su unión es el espacio completo. Cada componente es un subconjunto cerrado del espacio original. De ello se deduce que, en el caso de que su número sea finito, cada componente es también un subconjunto abierto. Sin embargo, si su número es infinito, este podría no ser el caso; por ejemplo, los componentes conectados del conjunto de los números racionales son los conjuntos de un punto ( singletons ), que no son abiertos. Prueba: dos números racionales distintos cualesquiera tienen componentes diferentes. Tome un número irracional y luego establezca y Entonces es una separación de y . Por tanto, cada componente es un conjunto de un punto. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q_{1}<q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}<r<q_{2},}$ ${\displaystyle A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}}$ ${\displaystyle B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle q_{1}\in A,q_{2}\in B}$

Sea el componente conectado de en un espacio topológico y sea la intersección de todos los conjuntos abiertos que contienen (llamado cuasicomponente de ) Entonces , donde se cumple la igualdad si es compacto de Hausdorff o localmente conectado.^[2] ${\displaystyle \Gamma _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \Gamma _{x}'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}}$ ${\displaystyle X}$

Espacios desconectados

Un espacio en el que todos los componentes son conjuntos de un punto se llamatotalmente desconectado . Relacionado con esta propiedad, un espaciose llama ${\displaystyle X}$totalmente separados si, para dos elementos distintosyde, existenconjuntos abiertosque contienenycontienental quees la unión dey. Claramente, cualquier espacio totalmente separado está totalmente desconectado, pero lo contrario no se cumple. Por ejemplo, tome dos copias de los números racionalese identifíquelas en cada punto excepto cero. El espacio resultante, con latopología del cociente, está totalmente desconectado. Sin embargo, al considerar las dos copias de cero, se ve que el espacio no está totalmente separado. De hecho, ni siquiera esHausdorff, y la condición de estar totalmente separado es estrictamente más fuerte que la condición de ser Hausdorff. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Ejemplos

• El intervalo cerrado en la topología subespacial estándar es conexo; aunque puede, por ejemplo, escribirse como la unión de y el segundo conjunto no está abierto en la topología elegida de ${\displaystyle [0,2)}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle [1,2),}$ ${\displaystyle [0,2).}$
• La unión de y está desconectada; Ambos intervalos están abiertos en el espacio topológico estándar. ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (1,2]}$ ${\displaystyle [0,1)\cup (1,2].}$
• ${\displaystyle (0,1)\cup \{3\}}$está desconectado.
• Un subconjunto convexo de es conexo; en realidad está simplemente conectado . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Un plano euclidiano que excluye el origen está conexo, pero no simplemente conexo. El espacio euclidiano tridimensional sin origen está conexo, e incluso simplemente conexo. Por el contrario, el espacio euclidiano unidimensional sin origen no está conexo. ${\displaystyle (0,0),}$
• Un plano euclidiano al que se le elimina una línea recta no está conexo ya que consta de dos semiplanos.
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$, el espacio de números reales con la topología habitual, está conexo.
• La línea Sorgenfrey está desconectada. ^[3]
• Si se elimina incluso un solo punto , el resto se desconecta. Sin embargo, si se eliminan incluso una infinidad contable de puntos , el resto está conectado. Si , entonces permanece simplemente conectado después de eliminar un número contable de puntos. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Cualquier espacio vectorial topológico , por ejemplo, cualquier espacio de Hilbert o espacio de Banach , sobre un campo conexo (como o ), es simplemente conexo. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Todo espacio topológico discreto con al menos dos elementos está desconectado; de hecho, dicho espacio está totalmente desconectado . El ejemplo más simple es el espacio discreto de dos puntos . ^[4]
• Por otro lado, un conjunto finito podría ser conexo. Por ejemplo, el espectro de un anillo de valoración discreto consta de dos puntos y está conectado. Es un ejemplo de espacio de Sierpiński .
• El conjunto de Cantor está totalmente desconectado; dado que el conjunto contiene incontables puntos, tiene incontables componentes.
• Si un espacio es homotópicamente equivalente a un espacio conexo, entonces él mismo es conexo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• La curva sinusoidal del topólogo es un ejemplo de un conjunto que está conexo pero que no está conexo por trayectoria ni localmente.
• El grupo lineal general (es decir, el grupo de matrices invertibles por reales) consta de dos componentes conectados: uno con matrices de determinante positivo y el otro de determinante negativo. En particular, no está conectado. Por el contrario, está conectado. De manera más general, el conjunto de operadores acotados invertibles en un espacio de Hilbert complejo es conexo. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$
• Los espectros de dominios integral y de anillo local conmutativo están conectados. De manera más general, los siguientes son equivalentes ^[5]
  1. El espectro de un anillo conmutativo está conectado. ${\displaystyle R}$
  2. Cada módulo proyectivo generado finitamente tiene un rango constante. ${\displaystyle R}$
  3. ${\displaystyle R}$no tiene idempotente (es decir, no es producto de dos anillos de forma no trivial). ${\displaystyle \neq 0,1}$ ${\displaystyle R}$

Un ejemplo de un espacio que no está conectado es un plano al que se le ha eliminado una línea infinita. Otros ejemplos de espacios desconectados (es decir, espacios que no están conectados) incluyen el plano al que se le ha quitado un anillo , así como la unión de dos discos cerrados disjuntos , donde todos los ejemplos de este párrafo llevan la topología subespacial inducida por euclidiana bidimensional. espacio.

Conectividad del camino

Este subespacio de R ² está conectado por caminos, porque se puede trazar un camino entre dos puntos cualesquiera en el espacio.

AEl espacio conectado por caminos es una noción más fuerte de conectividad, que requiere la estructura de un camino. Un camino desde un puntoa un puntoen unespacio topológicoes una función continuadesde elintervalo unitariohastawithy. A ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(0)=x}$ ${\displaystyle f(1)=y}$componente de ruta dees unaclase de equivalenciadebajo larelación de equivalenciaque haceequivalente asi hay una ruta dea. Se dice que el espacioestáconectado por ruta(oconectado por rutaoconectado) si hay exactamente un componente de ruta. Para espacios no vacíos, esto equivale a afirmar que hay un camino que une dos puntos cualesquiera en. Nuevamente, muchos autores excluyen el espacio vacío. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle X}$

Todo espacio conectado por camino está conectado. Lo contrario no siempre es cierto: ejemplos de espacios conectados que no están conectados por caminos incluyen la línea larga extendida y la curva sinusoidal del topólogo . ${\displaystyle L^{*}}$

Los subconjuntos de la línea real están conectados si y sólo si están conectados por caminos; estos subconjuntos son los intervalos y rayos de . Además, los subconjuntos abiertos de o están conectados si y sólo si están conectados por ruta. Además, la conectividad y la conectividad de caminos son las mismas para espacios topológicos finitos . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Conectividad del arco

Se dice que un espacio está conectado en forma de arco o conectado en forma de arco si dos puntos cualesquiera, topológicamente distinguibles , pueden unirse mediante un arco , lo cual es una incrustación . Un componente de arco de es un subconjunto máximo conectado por arco de ; o de manera equivalente, una clase de equivalencia de la relación de equivalencia de si dos puntos pueden unirse mediante un arco o mediante un camino cuyos puntos son topológicamente indistinguibles. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Todo espacio de Hausdorff que está conectado por caminos también está conectado por arco; De manera más general, esto es cierto para un espacio de -Hausdorff , que es un espacio donde cada imagen de un camino está cerrada. Un ejemplo de un espacio que está conectado por caminos pero no por arco lo da la línea con dos orígenes ; sus dos copias de pueden estar conectadas por un camino pero no por un arco. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle 0}$

La intuición para los espacios conectados por caminos no se transfiere fácilmente a los espacios conectados por arcos. Sea la recta con dos orígenes . Los siguientes son hechos cuyos análogos son válidos para espacios conectados por caminos, pero no válidos para espacios conectados por arco: ${\displaystyle X}$

• La imagen continua del espacio conectado por arco puede no estar conectada por arco: por ejemplo, un mapa de cociente de un espacio conectado por arco a su cociente con muchos (al menos 2) puntos topológicamente distinguibles no puede conectarse por arco debido a una cardinalidad demasiado pequeña .
• Arc-components may not be disjoint. For example, ${\displaystyle X}$ has two overlapping arc-components.
• Arc-connected product space may not be a product of arc-connected spaces. For example, ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ is arc-connected, but ${\displaystyle X}$ is not.
• Arc-components of a product space may not be products of arc-components of the marginal spaces. For example, ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ has a single arc-component, but ${\displaystyle X}$ has two arc-components.
• If arc-connected subsets have a non-empty intersection, then their union may not be arc-connected. For example, the arc-components of ${\displaystyle X}$ intersect, but their union is not arc-connected.

Local connectedness

A topological space is said to be locally connected at a point ${\displaystyle x}$ if every neighbourhood of ${\displaystyle x}$ contains a connected open neighbourhood. It is locally connected if it has a base of connected sets. It can be shown that a space ${\displaystyle X}$ is locally connected if and only if every component of every open set of ${\displaystyle X}$ is open.

Similarly, a topological space is said to be locally path-connected if it has a base of path-connected sets. An open subset of a locally path-connected space is connected if and only if it is path-connected. This generalizes the earlier statement about ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ and ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, each of which is locally path-connected. More generally, any topological manifold is locally path-connected.

The topologist's sine curve is connected, but it is not locally connected

Locally connected does not imply connected, nor does locally path-connected imply path connected. A simple example of a locally connected (and locally path-connected) space that is not connected (or path-connected) is the union of two separated intervals in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, such as ${\displaystyle (0,1)\cup (2,3)}$.

A classical example of a connected space that is not locally connected is the so called topologist's sine curve, defined as ${\displaystyle T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}}$, with the Euclidean topology induced by inclusion in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Set operations

Examples of unions and intersections of connected sets

The intersection of connected sets is not necessarily connected.

The union of connected sets is not necessarily connected, as can be seen by considering ${\displaystyle X=(0,1)\cup (1,2)}$.

Each ellipse is a connected set, but the union is not connected, since it can be partitioned to two disjoint open sets ${\displaystyle U}$ and ${\displaystyle V}$.

Esto significa que, si la unión está desconectada, entonces la colección se puede dividir en dos subcolecciones, de modo que las uniones de las subcolecciones sean separadas y abiertas (ver imagen). Esto implica que en varios casos, una unión de conjuntos conexos es necesariamente conexa. En particular: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$

1. Si la intersección común de todos los conjuntos no está vacía ( ), entonces obviamente no se pueden dividir en colecciones con uniones disjuntas . Por tanto, la unión de conjuntos conexos con intersección no vacía es conexa. ${\textstyle \bigcap X_{i}\neq \emptyset }$
2. Si la intersección de cada par de conjuntos no está vacía ( ), tampoco se pueden dividir en colecciones con uniones disjuntas, por lo que su unión debe estar conectada. ${\displaystyle \forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset }$
3. Si los conjuntos se pueden ordenar como una "cadena enlazada", es decir, indexados por índices enteros y , entonces nuevamente su unión debe estar conectada. ${\displaystyle \forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset }$
4. Si los conjuntos son disjuntos por pares y el espacio cociente es conexo, entonces X debe ser conexo. De lo contrario, si es una separación de X entonces es una separación del espacio cociente (ya que son disjuntos y abiertos en el espacio cociente). ^[6] ${\displaystyle X/\{X_{i}\}}$ ${\displaystyle U\cup V}$ ${\displaystyle q(U)\cup q(V)}$ ${\displaystyle q(U),q(V)}$

La diferencia de conjuntos de conjuntos conexos no es necesariamente conexa. Sin embargo, si y su diferencia es desconectada (y por lo tanto puede escribirse como una unión de dos conjuntos abiertos y ), entonces la unión de con cada componente es conexa (es decir, es conexa para todos ). ${\displaystyle X\supseteq Y}$ ${\displaystyle X\setminus Y}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\cup X_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Prueba ^[7]

Por contradicción, supongamos que no está conectado. Por tanto, puede escribirse como la unión de dos conjuntos abiertos disjuntos, por ejemplo . Como está conectado, debe estar enteramente contenido en uno de estos componentes, digamos , y por lo tanto está contenido en . Ahora sabemos que: ${\displaystyle Y\cup X_{1}}$ ${\displaystyle Y\cup X_{1}=Z_{1}\cup Z_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$

$${\displaystyle X=\left(Y\cup X_{1}\right)\cup X_{2}=\left(Z_{1}\cup Z_{2}\right)\cup X_{2}=\left(Z_{1}\cup X_{2}\right)\cup \left(Z_{2}\cap X_{1}\right)}$$

Los dos conjuntos en la última unión son disjuntos y abiertos en , por lo que hay una separación de , contradiciendo el hecho de que está conexo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Dos conjuntos conexos cuya diferencia no lo es

Teoremas

• Teorema principal de la conectividad : sean espacios topológicos y sean una función continua. Si está conectada (ruta) entonces la imagen está conectada (ruta-). Este resultado puede considerarse una generalización del teorema del valor intermedio . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$
• Todo espacio conectado por camino está conectado.
• En un espacio conectado por caminos localmente, cada conjunto conectado abierto está conectado por caminos.
• Cada espacio conectado por una ruta local está conectado localmente.
• Un espacio conectado por ruta local está conectado por ruta si y solo si está conectado.
• El cierre de un subconjunto conexo es conexo. Además, cualquier subconjunto entre un subconjunto conexo y su cierre es conexo.
• Los componentes conectados siempre están cerrados (pero en general no abiertos)
• Los componentes conectados de un espacio conectado localmente también están abiertos.
• Los componentes conectados de un espacio son uniones disjuntas de los componentes conectados por caminos (que en general no son ni abiertos ni cerrados).
• Cada cociente de un espacio conexo (respectivamente conectado localmente, conectado por ruta, conectado por ruta local) es conexo (resp. conectado localmente, conectado por ruta, conectado por ruta localmente).
• Cada producto de una familia de espacios conectados (o conectados por caminos) está conectado (o conectados por caminos).
• Cada subconjunto abierto de un espacio conectado localmente (o conectado por ruta local) está conectado localmente (o conectado por ruta local).
• Cada variedad está conectada localmente por caminos.
• El espacio conectado en forma de arco está conectado por ruta, pero el espacio conectado por ruta puede no estar conectado en forma de arco
• La imagen continua del conjunto conectado en forma de arco está conectada en forma de arco.

Graficos

Los gráficos tienen subconjuntos conectados por caminos, es decir, aquellos subconjuntos para los cuales cada par de puntos tiene un camino de aristas que los une. Pero no siempre es posible encontrar una topología en el conjunto de puntos que induzca los mismos conjuntos conectados. El gráfico de 5 ciclos (y cualquier ciclo impar) es un ejemplo de ello. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>3}$

Como consecuencia, se puede formular una noción de conectividad independientemente de la topología de un espacio. A saber, existe una categoría de espacios conectivos que consta de conjuntos con colecciones de subconjuntos conectados que satisfacen axiomas de conectividad; sus morfismos son aquellas funciones que asignan conjuntos conexos a conjuntos conexos (Muscat y Buhagiar 2006). Los espacios topológicos y los gráficos son casos especiales de espacios conectivos; de hecho, los espacios conectivos finitos son precisamente los grafos finitos.

Sin embargo, cada gráfico se puede convertir canónicamente en un espacio topológico, tratando los vértices como puntos y los bordes como copias del intervalo unitario (ver teoría de grafos topológicos # Gráficos como espacios topológicos ). Entonces se puede demostrar que el grafo es conexo (en el sentido teórico del grafo) si y sólo si es conexo como un espacio topológico.

Formas más fuertes de conexión

Existen formas más fuertes de conectividad para espacios topológicos , por ejemplo:

• Si no existen dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos en un espacio topológico , deben estar conectados y, por lo tanto, los espacios hiperconectados también están conectados. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Dado que, por definición, un espacio simplemente conexo también debe estar conexo por caminos, cualquier espacio simplemente conexo también está conexo. Si el requisito de "conectividad de ruta" se elimina de la definición de conectividad simple, no es necesario conectar un espacio simplemente conectado.
• Sin embargo, las versiones más fuertes de la conectividad incluyen la noción de un espacio contraíble . Todo espacio contráctil está conectado por caminos y, por tanto, también conectado.

En general, cualquier espacio conectado por camino debe estar conectado, pero existen espacios conectados que no están conectados por camino. El espacio de peine eliminado proporciona un ejemplo de este tipo, al igual que la curva sinusoidal del topólogo antes mencionado .

Ver también

• Portal de matemáticas

• Componente conectado (teoría de grafos)  : subgrafo máximo cuyos vértices pueden alcanzarse entre síPages displaying short descriptions of redirect targets
• Locus de conectividad
• Dominio (análisis matemático)  : subconjunto abierto conectado de un espacio topológico
• Espacio extremadamente desconectado  : espacio topológico en el que el cierre de todo conjunto abierto está abierto.
• Espacio localmente conectado  - Propiedad de los espacios topológicos
• n -conectado
• Espacio uniformemente conectado  - Tipo de espacio uniforme
• Conectividad de píxeles

Referencias

1. Más salvaje, RL (1978). "Evolución del concepto topológico de "conectado"". Mensual Matemática Estadounidense . 85 (9): 720–726. doi :10.2307/2321676. JSTOR  2321676.
2. "Topología general - Componentes del conjunto de números racionales".
3. Stephen Willard (1970). Topología general . Dover. pag. 191.ISBN _ 0-486-43479-6.
4. George F. Simmons (1968). Introducción a la topología y el análisis moderno . Compañía de libros McGraw Hill. pag. 144.ISBN _ 0-89874-551-9.
5. Charles Weibel , El libro K: una introducción a la teoría K algebraica
6. Brandsma, Henno (13 de febrero de 2013). "¿Cómo probar este resultado que involucra los mapas de cociente y la conectividad?". Intercambio de pila .
7. Marek (13 de febrero de 2013). "¿Cómo probar este resultado sobre la conectividad?". Intercambio de pila .

Otras lecturas

• Munkres, James R. (2000). Topología, segunda edición . Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Weisstein, Eric W. "Conjunto conectado". MundoMatemático .
• VI Malykhin (2001) [1994], "Espacio conectado", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Mascate, J; Buhagiar, D (2006). "Espacios Conectivos" (PDF) . Memoria. fac. Ciencia. Ing. Universidad Shimane, Serie B: Matemáticas. SC . 39 : 1–13. Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 17 de mayo de 2010 ..