Topología de límite inferior

Topología de los números reales

En matemáticas , la topología de límite inferior o topología de intervalo semiabierto por la derecha es una topología definida sobre , el conjunto de números reales ; es diferente de la topología estándar sobre (generada por los intervalos abiertos ) y tiene varias propiedades interesantes. Es la topología generada por la base de todos los intervalos semiabiertos [ a , b ), donde a y b son números reales. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El espacio topológico resultante se denomina línea de Sorgenfrey en honor a Robert Sorgenfrey o flecha y a veces se escribe . Al igual que el conjunto de Cantor y la línea larga , la línea de Sorgenfrey a menudo sirve como un contraejemplo útil para muchas conjeturas que de otro modo sonarían plausibles en topología general . El producto de por sí mismo también es un contraejemplo útil, conocido como plano de Sorgenfrey . ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$

En completa analogía, también se puede definir la topología de límite superior , o topología de intervalo semiabierto izquierdo .

Propiedades

• La topología del límite inferior es más fina (tiene más conjuntos abiertos) que la topología estándar de los números reales (que se genera a partir de los intervalos abiertos). La razón es que cada intervalo abierto puede escribirse como una unión (contablemente infinita) de intervalos semiabiertos.
• Para cualquier número real y , el intervalo es abierto y cerrado en (es decir, tanto abierto como cerrado ). Además, para todos los números reales , los conjuntos y también son abiertos y cerrados. Esto demuestra que la línea de Sorgenfrey está totalmente desconectada . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle [a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x<a\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}}$
• Cualquier subconjunto compacto de debe ser un conjunto numerable como máximo . Para comprobarlo, considere un subconjunto compacto no vacío . Solucione un , considere la siguiente cubierta abierta de : ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} _{l}}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.}$

Como es compacto, esta cubierta tiene una subcubierta finita y, por lo tanto, existe un número real tal que el intervalo no contiene ningún punto de aparte de . Esto es cierto para todos los . Ahora elija un número racional . Como los intervalos , parametrizados por , son disjuntos por pares, la función es inyectiva y, por lo tanto, es, como máximo, contable. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle (a(x),x]}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (a(x),x]}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle q:C\to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle C}$

• El nombre "topología de límite inferior" proviene del siguiente hecho: una secuencia (o red ) en converge al límite si y solo si "se aproxima por la derecha", lo que significa que para cada existe un índice tal que . La línea de Sorgenfrey puede usarse para estudiar límites por el lado derecho : si es una función , entonces el límite ordinario por el lado derecho de at (cuando el codominio lleva la topología estándar) es el mismo que el límite habitual de at cuando el dominio está equipado con la topología de límite inferior y el codominio lleva la topología estándar. ${\displaystyle (x_{\alpha })}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha }<L+\epsilon }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$
• En términos de axiomas de separación , es un espacio de Hausdorff perfectamente normal . ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$
• En términos de axiomas de contabilidad , es primer contable y separable , pero no segundo contable . ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$
• En términos de propiedades de compacidad, es Lindelöf y paracompacto , pero no σ-compacto ni localmente compacto . ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$no es metrizable , ya que los espacios métricos separables son contables en segundo lugar. Sin embargo, la topología de una línea de Sorgenfrey se genera mediante un cuasimetrico .
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$es un espacio de Baire . ^[1]
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$no tiene ninguna compactificación conectada. ^[2]

Véase también

• Lista de topologías

Referencias

1. "topología general - La línea de Sorgenfrey es un espacio de Baire". Intercambio de pila de matemáticas .
2. Adam Emeryk, Władysław Kulpa. La línea de Sorgenfrey no tiene compactificación conexa. Comm. Math. Univ. Carolinae 18 (1977), 483–487.

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Sr.  0507446