Teoría de Hodge

Teoría matemática múltiple

En matemáticas , la teoría de Hodge , llamada así por WVD Hodge , es un método para estudiar los grupos de cohomología de una variedad suave M usando ecuaciones diferenciales parciales . La observación clave es que, dada una métrica de Riemann en M , cada clase de cohomología tiene un representante canónico , una forma diferencial que desaparece bajo el operador laplaciano de la métrica. Estas formas se llaman armónicas .

La teoría fue desarrollada por Hodge en la década de 1930 para estudiar la geometría algebraica y se basó en el trabajo de Georges de Rham sobre la cohomología de De Rham . Tiene aplicaciones importantes en dos entornos: variedades de Riemann y variedades de Kähler . La principal motivación de Hodge, el estudio de variedades proyectivas complejas , está abarcada por este último caso. La teoría de Hodge se ha convertido en una herramienta importante en la geometría algebraica, particularmente a través de su conexión con el estudio de los ciclos algebraicos .

Si bien la teoría de Hodge depende intrínsecamente de los números reales y complejos , puede aplicarse a cuestiones de teoría de números . En situaciones aritméticas, las herramientas de la teoría p -ádica de Hodge han dado pruebas alternativas o resultados análogos a la teoría clásica de Hodge.

Historia

El campo de la topología algebraica todavía estaba incipiente en la década de 1920. Aún no se había desarrollado la noción de cohomología y la interacción entre formas diferenciales y topología no se entendía bien. En 1928, Élie Cartan publicó una nota, Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos , en la que sugería (pero no probaba) que las formas diferenciales y la topología deberían estar vinculadas. Al leerlo, Georges de Rham, entonces estudiante, se inspiró. En su tesis de 1931, demostró un resultado que ahora se llama teorema de De Rham . Según el teorema de Stokes , la integración de formas diferenciales a lo largo de cadenas singulares induce, para cualquier variedad compacta y suave M , un emparejamiento bilineal

${\displaystyle H_{k}(M;\mathbf {R} )\times H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} )\to \mathbf {R} .}$

Como se indicó originalmente, el teorema de ^[1] de Rham afirma que se trata de un emparejamiento perfecto y que, por lo tanto, cada uno de los términos del lado izquierdo son duales en el espacio vectorial entre sí. En el lenguaje contemporáneo, el teorema de De Rham se expresa más a menudo como la afirmación de que la cohomología singular con coeficientes reales es isomorfa a la cohomología de De Rham:

${\displaystyle H_{\text{sing}}^{k}(M;\mathbf {R} )\cong H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} ).}$

La afirmación original de De Rham es entonces una consecuencia del hecho de que, sobre los reales, la cohomología singular es el dual de la homología singular.

Por otra parte, un artículo de 1927 de Solomon Lefschetz utilizó métodos topológicos para refutar los teoremas de Riemann . ^[2] En lenguaje moderno, si ω ₁ y ω ₂ son diferenciales holomórficos en una curva algebraica C , entonces su producto de cuña es necesariamente cero porque C tiene sólo una dimensión compleja; en consecuencia, el producto de taza de sus clases de cohomología es cero y, cuando se hace explícito, esto le dio a Lefschetz una nueva prueba de las relaciones de Riemann . Además, si ω es un diferencial holomórfico distinto de cero, entonces es una forma de volumen positiva, de la cual Lefschetz pudo derivar las desigualdades de Riemann. En 1929, WVD Hodge se enteró del artículo de Lefschetz. Inmediatamente observó que principios similares se aplicaban a las superficies algebraicas. Más precisamente, si ω es una forma holomorfa distinta de cero en una superficie algebraica, entonces es positiva, por lo que el producto de copa de y debe ser distinto de cero. De ello se deduce que ω en sí debe representar una clase de cohomología distinta de cero, por lo que sus períodos no pueden ser todos cero. Esto resolvió una duda de Severi. ^[3] ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$

Hodge consideró que estas técnicas deberían ser aplicables también a variedades de dimensiones superiores. Su colega Peter Fraser le recomendó la tesis de De Rham. Al leer la tesis de De Rham, Hodge se dio cuenta de que las partes real e imaginaria de una forma 1 holomorfa en una superficie de Riemann eran, en cierto sentido, duales entre sí. Sospechaba que debería haber una dualidad similar en dimensiones superiores; esta dualidad se conoce ahora como operador estrella de Hodge . Además, conjeturó que cada clase de cohomología debería tener un representante distinguido con la propiedad de que tanto ella como su dual desaparecen bajo el operador derivado exterior; estas ahora se llaman formas armónicas. Hodge dedicó la mayor parte de la década de 1930 a este problema. Su primer intento publicado de demostrarlo apareció en 1933, pero lo consideró "extremadamente tosco". Hermann Weyl , uno de los matemáticos más brillantes de la época, se vio incapaz de determinar si la demostración de Hodge era correcta o no. En 1936, Hodge publicó una nueva prueba. Si bien Hodge consideró que la nueva prueba era muy superior, Bohnenblust descubrió un defecto grave. De forma independiente, Hermann Weyl y Kunihiko Kodaira modificaron la prueba de Hodge para reparar el error. Esto estableció el isomorfismo buscado por Hodge entre formas armónicas y clases de cohomología.

En retrospectiva, queda claro que las dificultades técnicas del teorema de la existencia en realidad no requirieron ninguna idea nueva significativa, sino simplemente una cuidadosa extensión de los métodos clásicos. La verdadera novedad, que fue la principal contribución de Hodge, estuvo en la concepción de las integrales armónicas y su relevancia para la geometría algebraica. Este triunfo del concepto sobre la técnica recuerda un episodio similar en la obra del gran predecesor de Hodge, Bernhard Riemann.

— MF Atiyah , William Vallance Douglas Hodge, 17 de junio de 1903 - 7 de julio de 1975, Memorias biográficas de miembros de la Royal Society , vol. 22, 1976, págs. 169-192.

Teoría de Hodge para variedades reales

Cohomología de De Rham

La teoría de Hodge hace referencia al complejo de Rham . Sea M una variedad suave . Para un entero no negativo k , sea Ω ^k ( M ) el espacio vectorial real de formas diferenciales suaves de grado k en M. El complejo de Rham es la secuencia de operadores diferenciales.

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\xrightarrow {d_{0}} \Omega ^{1}(M)\xrightarrow {d_{1}} \cdots \xrightarrow {d_{n-1}} \Omega ^{n}(M)\xrightarrow {d_{n}} 0,}$

donde d _k denota la derivada exterior en Ω ^k ( M ). Este es un complejo de cocadena en el sentido de que d _{k +1} ∘ d _k = 0 (también escrito d ² = 0 ). El teorema de De Rham dice que la cohomología singular de M con coeficientes reales se calcula mediante el complejo de De Rham:

${\displaystyle H^{k}(M,\mathbf {R} )\cong {\frac {\ker d_{k}}{\operatorname {im} d_{k-1}}}.}$

Operadores en la teoría de Hodge

Elija una métrica de Riemann g en M y recuerde que:

${\displaystyle \Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge \nolimits ^{k}T^{*}(M)\right).}$

La métrica produce un producto interno en cada fibra extendiendo (ver matriz de Gramian ) el producto interno inducido por g de cada fibra cotangente a su producto exterior :. El producto interno se define entonces como la integral del producto interno puntual de un par dado de k -formas sobre M con respecto a la forma de volumen asociada con g . Explícitamente, dados algunos tenemos ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))}$ ${\displaystyle T_{p}^{*}(M)}$ ${\displaystyle k^{th}}$ ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \omega ,\tau \in \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle (\omega ,\tau )\mapsto \langle \omega ,\tau \rangle :=\int _{M}\langle \omega (p),\tau (p)\rangle _{p}\sigma .}$

Naturalmente, el producto interno anterior induce una norma, cuando esa norma es finita en alguna k fija :

${\displaystyle \langle \omega ,\omega \rangle =\|\omega \|^{2}<\infty ,}$

entonces el integrando es una función integrable cuadrada de valor real en M , evaluada en un punto dado a través de sus normas puntuales,

${\displaystyle \|\omega (p)\|_{p}:M\to \mathbf {R} \in L^{2}(M).}$

Considere el operador adjunto de d con respecto a estos productos internos:

${\displaystyle \delta :\Omega ^{k+1}(M)\to \Omega ^{k}(M).}$

Entonces el laplaciano en formas se define por

${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d.}$

Este es un operador diferencial lineal de segundo orden, que generaliza el laplaciano para funciones en R ⁿ . Por definición, una forma en M es armónica si su laplaciano es cero:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.}$

El laplaciano apareció por primera vez en la física matemática . En particular, las ecuaciones de Maxwell dicen que el campo electromagnético en el vacío, es decir, sin carga, está representado por una F de 2 formas tal que Δ F = 0 en el espacio-tiempo, visto como espacio de Minkowski de dimensión 4.

Cada forma armónica α en una variedad de Riemann cerrada es cerrada , lo que significa que dα = 0 . Como resultado, existe un mapeo canónico . El teorema de Hodge establece que es un isomorfismo de espacios vectoriales. ^[4] En otras palabras, cada clase de cohomología real en M tiene un representante armónico único. Concretamente, el representante armónico es la única forma cerrada de norma mínima L ² que representa una clase de cohomología determinada. El teorema de Hodge se demostró utilizando la teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas , y Kodaira y otros completaron los argumentos iniciales de Hodge en la década de 1940. ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\to H^{k}(M,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \varphi }$

Por ejemplo, el teorema de Hodge implica que los grupos de cohomología con coeficientes reales de una variedad cerrada son de dimensión finita . (Es cierto que hay otras formas de demostrar esto). De hecho, los operadores Δ son elípticos, y el núcleo de un operador elíptico en una variedad cerrada es siempre un espacio vectorial de dimensión finita. Otra consecuencia del teorema de Hodge es que una métrica de Riemann en una variedad cerrada M determina un producto interno de valor real en la cohomología integral de M módulo de torsión . Se deduce, por ejemplo, que la imagen del grupo de isometría de M en el grupo lineal general GL( H ^∗ ( M , Z )) es finita (porque el grupo de isometrías de una red es finito).

Una variante del teorema de Hodge es la descomposición de Hodge . Esto dice que existe una descomposición única de cualquier forma diferencial ω en una variedad de Riemann cerrada como una suma de tres partes en la forma

${\displaystyle \omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma ,}$

en el que γ es armónico: Δ γ = 0 . ^[5] En términos de la métrica L ² en formas diferenciales, esto da una descomposición de suma directa ortogonal:

${\displaystyle \Omega ^{k}(M)\cong \operatorname {im} d_{k-1}\oplus \operatorname {im} \delta _{k+1}\oplus {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M).}$

La descomposición de Hodge es una generalización de la descomposición de Helmholtz para el complejo de Rham.

Teoría de Hodge de los complejos elípticos

Atiyah y Bott definieron los complejos elípticos como una generalización del complejo de De Rham. El teorema de Hodge se extiende a este escenario de la siguiente manera. Sean paquetes de vectores , equipados con métricas, en una variedad lisa cerrada M con un volumen de forma  dV . Suponer que ${\displaystyle E_{0},E_{1},\ldots ,E_{N}}$

${\displaystyle L_{i}:\Gamma (E_{i})\to \Gamma (E_{i+1})}$

son operadores diferenciales lineales que actúan sobre secciones C ∞ de estos haces de vectores, y que la secuencia inducida

${\displaystyle 0\to \Gamma (E_{0})\to \Gamma (E_{1})\to \cdots \to \Gamma (E_{N})\to 0}$

es un complejo elíptico. Introduzca las sumas directas:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}^{\bullet }&=\bigoplus \nolimits _{i}\Gamma (E_{i})\\L&=\bigoplus \nolimits _{i}L_{i}:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {E}}^{\bullet }\end{aligned}}}$

y sea L ^∗ el adjunto de L . Defina el operador elíptico Δ ​​= LL ^∗ + L ^∗ L . Como en el caso de De Rham, esto produce el espacio vectorial de secciones armónicas.

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{e\in {\mathcal {E}}^{\bullet }\mid \Delta e=0\}.}$

Sea la proyección ortogonal y sea G el operador de Green para Δ. El teorema de Hodge afirma entonces lo siguiente: ^[6] ${\displaystyle H:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {H}}}$

1. H y G están bien definidos.
2. Id = H + Δ G = H + G Δ
3. LG = GL , L ^∗ GRAMO = GL ^∗
4. La cohomología del complejo es canónicamente isomorfa al espacio de secciones armónicas, en el sentido de que cada clase de cohomología tiene un representante armónico único. ${\displaystyle H(E_{j})\cong {\mathcal {H}}(E_{j})}$

También hay una descomposición de Hodge en esta situación, que generaliza la afirmación anterior para el complejo de De Rham.

Teoría de Hodge para variedades proyectivas complejas

Sea X una variedad proyectiva compleja suave , lo que significa que X es una subvariedad compleja cerrada de algún espacio proyectivo complejo CP ^N . Según el teorema de Chow , las variedades proyectivas complejas son automáticamente algebraicas: se definen por la desaparición de ecuaciones polinómicas homogéneas en CP ^N. La métrica de Riemann estándar en CP ^N induce una métrica de Riemann en X que tiene una fuerte compatibilidad con la estructura compleja, lo que convierte a X en una variedad de Kähler .

Para una variedad compleja X y un número natural r , cada forma C ∞ r en X (con coeficientes complejos) se puede escribir únicamente como una suma de formas de tipo ( p , q ) con p + q = r , es decir, formas que puede escribirse localmente como una suma finita de términos, y cada término toma la forma

${\displaystyle f\,dz_{1}\wedge \cdots \wedge dz_{p}\wedge d{\overline {w_{1}}}\wedge \cdots \wedge d{\overline {w_{q}}}}$

con f una función C ^∞ y las funciones holomorfas z _s y w _s . En una variedad de Kähler, los componentes ( p , q ) de una forma armónica son nuevamente armónicos. Por lo tanto, para cualquier variedad compacta de Kähler X , el teorema de Hodge da una descomposición de la cohomología de X con coeficientes complejos como una suma directa de espacios vectoriales complejos: ^[7]

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X).}$

De hecho, esta descomposición es independiente de la elección de la métrica de Kähler (pero no existe una descomposición análoga para una variedad compleja compacta general). Por otro lado, la descomposición de Hodge realmente depende de la estructura de X como una variedad compleja, mientras que el grupo H ^r ( X , C ) depende sólo del espacio topológico subyacente de X .

Tomar productos de cuña de estos representantes armónicos corresponde al producto de copa en cohomología, por lo que el producto de copa con coeficientes complejos es compatible con la descomposición de Hodge:

${\displaystyle \smile \colon H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).}$

La pieza H ^{p , q} ( X ) de la descomposición de Hodge se puede identificar con un grupo de cohomología de gavilla coherente , que depende sólo de X como una variedad compleja (no de la elección de la métrica de Kähler): ^[8]

${\displaystyle H^{p,q}(X)\cong H^{q}(X,\Omega ^{p}),}$

donde Ω ^p denota el haz de p -formas holomorfas en X . Por ejemplo, H ^{p , 0} ( X ) es el espacio de formas p holomorfas en X . (Si X es proyectivo, el teorema GAGA de Serre implica que una forma p holomorfa en todo X es de hecho algebraica).

Por otro lado, la integral se puede escribir como el producto máximo de la clase de homología de Z y la clase de cohomología representada por . Por dualidad de Poincaré , la clase de homología de Z es dual a una clase de cohomología que llamaremos [ Z ], y el producto de tapa se puede calcular tomando el producto de copa de [ Z ] y α y tapando con la clase fundamental de X . ${\displaystyle \alpha }$

Debido a que [ Z ] es una clase de cohomología, tiene una descomposición de Hodge. Según el cálculo que hicimos anteriormente, si combinamos esta clase con cualquier clase de tipo , obtenemos cero. Porque concluimos que [ Z ] debe estar en . ${\displaystyle (p,q)\neq (k,k)}$ ${\displaystyle H^{2n}(X,\mathbb {C} )=H^{n,n}(X)}$ ${\displaystyle H^{n-k,n-k}(X)}$

El número de Hodge h ^{p , q} ( X ) significa la dimensión del espacio vectorial complejo H ^{p . q} ( X ). Éstos son invariantes importantes de una variedad proyectiva compleja suave; no cambian cuando la estructura compleja de X varía continuamente y, sin embargo, en general no son invariantes topológicos. Entre las propiedades de los números de Hodge se encuentran la simetría de Hodge h ^{p , q} = h ^{q , p} (porque H ^{p , q} ( X ) es el conjugado complejo de H ^{q , p} ( X )) y h ^{p , q} = h ^{n − p , n - q} (por dualidad de Serre ).

Los números de Hodge de una variedad proyectiva compleja suave (o variedad compacta de Kähler) se pueden enumerar en el diamante de Hodge (que se muestra en el caso de la dimensión compleja 2):

Por ejemplo, toda curva proyectiva suave de género g tiene diamante de Hodge

Para otro ejemplo, cada superficie K3 tiene diamante Hodge.

Los números de Betti de X son la suma de los números de Hodge en una fila determinada. Una aplicación básica de la teoría de Hodge es entonces que los números impares de Betti b _{2 a +1} de una variedad proyectiva compleja suave (o variedad compacta de Kähler) son pares, por simetría de Hodge. Esto no es cierto para variedades complejas compactas en general, como lo muestra el ejemplo de la superficie de Hopf , que es difeomorfa a S ¹ × S ³ y, por lo tanto, tiene b ₁ = 1 .

El "paquete Kähler" es un poderoso conjunto de restricciones sobre la cohomología de variedades proyectivas complejas suaves (o variedades compactas de Kähler), basándose en la teoría de Hodge. Los resultados incluyen el teorema del hiperplano de Lefschetz , el teorema duro de Lefschetz y las relaciones bilineales de Hodge-Riemann . ^[9] Muchos de estos resultados se derivan de herramientas técnicas fundamentales que pueden probarse para variedades compactas de Kähler utilizando la teoría de Hodge, incluidas las identidades de Kähler y el lema . ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

La teoría de Hodge y sus extensiones, como la teoría de Hodge no abeliana, también imponen fuertes restricciones sobre los posibles grupos fundamentales de variedades compactas de Kähler.

Ciclos algebraicos y la conjetura de Hodge

Sea una variedad proyectiva compleja suave. Una subvariedad compleja de codimensión define un elemento del grupo de cohomología . Además, la clase resultante tiene una propiedad especial: su imagen en la cohomología compleja se encuentra en la pieza intermedia de la descomposición de Hodge, . La conjetura de Hodge predice lo contrario: cada elemento cuya imagen en la cohomología compleja se encuentra en el subespacio debe tener un múltiplo integral positivo que sea una combinación lineal de clases de subvariedades complejas de . (Esta combinación lineal se llama ciclo algebraico en .) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H^{p,p}(X)}$ ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{p,p}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un punto crucial es que la descomposición de Hodge es una descomposición de cohomología con coeficientes complejos que generalmente no proviene de una descomposición de cohomología con coeficientes integrales (o racionales). Como resultado, la intersección

${\displaystyle (H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\mathbb {C} )}$

puede ser mucho más pequeño que todo el grupo , incluso si el número de Hodge es grande. En resumen, la conjetura de Hodge predice que las posibles "formas" de subvariedades complejas de (como se describe en la cohomología) están determinadas por la estructura de Hodge de (la combinación de cohomología integral con la descomposición de Hodge de cohomología compleja). ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}}}$ ${\displaystyle h^{p,p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El teorema de Lefschetz (1,1) dice que la conjetura de Hodge es cierta para (incluso integralmente, es decir, sin la necesidad de un múltiplo integral positivo en el enunciado). ${\displaystyle p=1}$

La estructura de Hodge de una variedad describe las integrales de formas diferenciales algebraicas en clases de sobre homología . En este sentido, la teoría de Hodge se relaciona con una cuestión básica en el cálculo : en general no existe una "fórmula" para la integral de una función algebraica . En particular, las integrales definidas de funciones algebraicas, conocidas como períodos , pueden ser números trascendentales . La dificultad de la conjetura de Hodge refleja la falta de comprensión de dichas integrales en general. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplo: Para una superficie K3 proyectiva compleja y suave , el grupo es isomorfo a y es isomorfo a . Su intersección puede tener un rango entre 1 y 20; este rango se llama número Picard de . El espacio de módulos de todas las superficies proyectivas K3 tiene un conjunto infinito y numerable de componentes, cada uno de dimensión compleja 19. El subespacio de superficies K3 con número de Picard tiene dimensión . ^[10] (Por lo tanto, para la mayoría de las superficies K3 proyectivas, la intersección de with es isomorfa a , pero para superficies K3 "especiales" la intersección puede ser mayor). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{22}}$ ${\displaystyle H^{1,1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{20}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 20-a}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{1,1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Este ejemplo sugiere varios roles diferentes desempeñados por la teoría de Hodge en la geometría algebraica compleja. Primero, la teoría de Hodge impone restricciones sobre qué espacios topológicos pueden tener la estructura de una variedad proyectiva compleja y suave. En segundo lugar, la teoría de Hodge proporciona información sobre el espacio de módulos de variedades proyectivas complejas suaves con un tipo topológico determinado. El mejor caso es cuando se cumple el teorema de Torelli , lo que significa que la variedad está determinada hasta el isomorfismo por su estructura de Hodge. Finalmente, la teoría de Hodge proporciona información sobre el grupo Chow de ciclos algebraicos en una variedad determinada. La conjetura de Hodge trata sobre la imagen del mapa de ciclos desde los grupos de Chow hasta la cohomología ordinaria, pero la teoría de Hodge también proporciona información sobre el núcleo del mapa de ciclos, por ejemplo utilizando los jacobianos intermedios que se construyen a partir de la estructura de Hodge.

Generalizaciones

La teoría mixta de Hodge , desarrollada por Pierre Deligne , extiende la teoría de Hodge a todas las variedades algebraicas complejas, no necesariamente suaves o compactas. Es decir, la cohomología de cualquier variedad algebraica compleja tiene un tipo de descomposición más general, una estructura de Hodge mixta .

La homología de intersección proporciona una generalización diferente de la teoría de Hodge a variedades singulares . Es decir, Morihiko Saito demostró que la homología de intersección de cualquier variedad proyectiva compleja (no necesariamente suave) tiene una estructura de Hodge pura, al igual que en el caso suave. De hecho, todo el paquete Kähler se extiende a la homología de cruces.

Un aspecto fundamental de la geometría compleja es que existen familias continuas de variedades complejas no isomorfas (que son todas difeomorfas como variedades reales). La noción de Phillip Griffiths de una variación de la estructura de Hodge describe cómo la estructura de Hodge de una variedad proyectiva compleja suave varía cuando varía. En términos geométricos, esto equivale a estudiar el mapeo de períodos asociado a una familia de variedades. La teoría de Saito sobre los módulos de Hodge es una generalización. En términos generales, un módulo de Hodge mixto sobre una variedad es un haz de estructuras de Hodge mixtas sobre , como surgiría de una familia de variedades que no tienen por qué ser lisas o compactas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Teoría potencial
• dualidad serre
• Descomposición de Helmholtz
• Teorema del ciclo invariante local
• Teoría de Arakelov
• Teoría de Hodge-Arakelov
• Lema ddbar , una consecuencia clave de la teoría de Hodge para variedades compactas de Kähler.

Notas

1. Chatterji, Srishti; Ojanguren, Manuel (2010), Un vistazo a la era de Rham (PDF) , documento de trabajo, EPFL
2. Lefschetz, Salomón (1927). "Correspondencias entre curvas algebraicas". Ana. de Matemáticas. (2) . 28 (1): 342–354.
3. Michael Atiyah , William Vallance Douglas Hodge, 17 de junio de 1903 - 7 de julio de 1975 , Biogr. Memoria. Fellows R. Soc., 1976, vol. 22, págs. 169-192.
4. Warner (1983), Teorema 6.11.
5. Warner (1983), Teorema 6.8.
6. Wells (2008), Teorema IV.5.2.
7. Huybrechts (2005), Corolario 3.2.12.
8. Huybrechts (2005), Corolario 2.6.21.
9. Huybrechts (2005), secciones 3.3 y 5.2; Griffiths y Harris (1994), secciones 0.7 y 1.2; Voisin (2007), v.1, cap. 6, y v. 2, cap. 1.
10. Griffiths y Harris (1994), pág. 594.

Referencias

• Arapura, Donu, Calculando algunos números de Hodge (PDF)
• Griffiths, Phillip ; Harris, José (1994) [1978]. Principios de Geometría Algebraica . Biblioteca de clásicos de Wiley. Wiley Interciencia. ISBN 0-471-05059-8. SEÑOR  0507725.
• Hodge, WVD (1941), La teoría y aplicaciones de las integrales armónicas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35881-1, señor  0003947
• Huybrechts, Daniel (2005), Geometría compleja: una introducción , Springer , ISBN 3-540-21290-6, señor  2093043
• Voisin, Claire (2007) [2002], Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja (2 vols.) , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511615344, ISBN 978-0-521-71801-1, señor  1967689
• Warner, Frank (1983) [1971], Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de mentiras , Springer , ISBN 0-387-90894-3, señor  0722297
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