superficie de hopf

En geometría compleja , una superficie de Hopf es una superficie compleja compacta obtenida como cociente del espacio vectorial complejo (con cero eliminado) por una acción libre de un grupo discreto. Si este grupo son los números enteros la superficie de Hopf se llama primaria , en caso contrario se llama secundaria . (Algunos autores utilizan el término "superficie de Hopf" para significar "superficie de Hopf primaria".) El primer ejemplo fue encontrado por Heinz Hopf  (1948), con el grupo discreto isomorfo a los números enteros, con un generador que actúa multiplicando por 2; este fue el primer ejemplo de una superficie compleja compacta sin métrica de Kähler . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Los análogos de dimensiones superiores de las superficies de Hopf se denominan variedades de Hopf .

Invariantes

Las superficies de Hopf son superficies de clase VII y en particular todas tienen dimensión Kodaira , y todos sus plurigéneros desaparecen. El género geométrico es 0. El grupo fundamental tiene un subgrupo cíclico infinito central normal de índice finito. El diamante Hodge es ${\displaystyle -\infty }$

En particular, el primer número de Betti es 1 y el segundo número de Betti es 0. Por el contrario, Kunihiko Kodaira  (1968) demostró que una superficie compleja compacta en la que el segundo número de Betti desaparece y cuyo grupo fundamental contiene un subgrupo cíclico infinito de índice finito es una superficie de Hopf. .

Superficies primarias de Hopf

En el curso de la clasificación de superficies complejas compactas , Kodaira clasificó las superficies primarias de Hopf.

Una superficie de Hopf primaria se obtiene como

${\displaystyle H={\Big (}\mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}{\Big )}/\Gamma ,}$

donde es un grupo generado por una contracción polinómica . Kodaira ha encontrado una forma normal para . En coordenadas apropiadas, se puede escribir como ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle (x,y)\mapsto (\alpha x+\lambda y^{n},\beta y)}$

donde los números complejos satisfacen y cualquiera o . ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 0<|\alpha |\leq |\beta |<1}$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \alpha =\beta ^{n}}$

Estas superficies contienen una curva elíptica (la imagen del eje x ) y si la imagen del eje y es una segunda curva elíptica. Cuando , la superficie de Hopf es un espacio de fibra elíptica sobre la línea proyectiva si para algunos enteros positivos m y n , con el mapa de la línea proyectiva dado por , y en caso contrario las únicas curvas son las dos imágenes de los ejes. ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \alpha ^{m}=\beta ^{n}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{m}y^{-n}}$

El grupo Picard de cualquier superficie primaria de Hopf es isomorfo a los números complejos distintos de cero . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

Kodaira (1966b) ha demostrado que una superficie compleja es difeomorfa si y sólo si es una superficie primaria de Hopf. ${\displaystyle S^{3}\times S^{1}}$

Superficies secundarias de Hopf

Cualquier superficie de Hopf secundaria tiene una cubierta finita no ramificada que es una superficie de Hopf primaria. De manera equivalente, su grupo fundamental tiene un subgrupo de índice finito en su centro que es isomorfo a los números enteros. Masahido Kato (1975) los clasificó encontrando grupos finitos que actúan sin puntos fijos en superficies primarias de Hopf.

Se pueden construir muchos ejemplos de superficies secundarias de Hopf con el espacio subyacente como producto de la forma de un espacio esférico y un círculo.

Referencias

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• Hopf, Heinz (1948). "Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten". Estudios y ensayos presentados a R. Courant en su 60 cumpleaños, el 8 de enero de 1948 . vol. 162. Interscience Publishers, Inc., Nueva York. págs. 167–185. Bibcode :1948Natur.162R.391.. doi :10.1038/162391d0. SEÑOR  0023054. S2CID  31975612. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
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