lema ddbar

Teorema en geometría compleja

En geometría compleja , el lema (pronunciado lema ddbar ) es un lema matemático sobre la clase de cohomología de De Rham de una forma diferencial compleja . El lema es el resultado de la teoría de Hodge y las identidades de Kähler en una variedad compacta de Kähler . A veces también se le conoce como -lema, debido al uso de un operador relacionado , siendo la relación entre los dos operadores y so . ^{[1] : 1,17  [2] : Lem 5,50} ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle dd^{c}}$ ${\textstyle d^{c}=-{\frac {i}{2}}(\partial -{\bar {\partial }})}$ ${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}=dd^{c}}$ ${\displaystyle \alpha =dd^{c}\beta }$

Declaración

El lema afirma que si es una variedad de Kähler compacta y es una forma diferencial compleja de bigrado (p,q) (con ) cuya clase es cero en la cohomología de Rham, entonces existe una forma de bigrado (p-1,q-1 ) tal que ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle p,q\geq 1}$ ${\displaystyle [\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$

$${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta ,}$$

donde y son los operadores Dolbeault de la variedad compleja . ^{[3] : Capítulo VI Lem 8.6} ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle X}$

potencial ddbar

La forma se llama potencial de . La inclusión del factor asegura que es un operador diferencial real , es decir, si es una forma diferencial con coeficientes reales, entonces también lo es . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Este lema debe compararse con la noción de forma diferencial exacta en la cohomología de De Rham. En particular, si es una forma k diferencial cerrada (en cualquier variedad suave) cuya clase es cero en la cohomología de De Rham, entonces para alguna forma diferencial (k-1) llamada potencial (o simplemente potencial ) de , ¿dónde está el derivada exterior . De hecho, dado que los operadores de Dolbeault suman para dar la derivada exterior y elevan al cuadrado para dar cero , el lema implica que refina el potencial al potencial en el contexto de variedades compactas de Kähler. ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(X)}$ ${\displaystyle \alpha =d\gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=0}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \gamma ={\bar {\partial }}\beta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Prueba

El -lema es una consecuencia de la teoría de Hodge aplicada a una variedad compacta de Kähler. ^{[3] [1] : 41–44  [2] : 73–77} ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

El teorema de Hodge para un complejo elíptico se puede aplicar a cualquiera de los operadores y respectivamente a sus operadores de Laplace . Para estos operadores se pueden definir espacios de formas diferenciales armónicas dadas por los núcleos: ${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}_{d}^{k}&=\ker \Delta _{d}:\Omega ^{k}(X)\to \Omega ^{k}(X)\\{\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}&=\ker \Delta _{\partial }:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}&=\ker \Delta _{\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\\end{aligned}}}$$

El teorema de descomposición de Hodge afirma que existen tres descomposiciones ortogonales asociadas a estos espacios de formas armónicas, dadas por

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega ^{k}(X)&={\mathcal {H}}_{d}^{k}\oplus \operatorname {im} d\oplus \operatorname {im} d^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}\oplus \operatorname {im} \partial \oplus \operatorname {im} \partial ^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}\end{aligned}}}$$

donde están los adjuntos formales de con respecto a la métrica de Riemann de la variedad de Kähler, respectivamente. ^{[4] : Thm. 3.2.8} Estas descomposiciones se mantienen por separado en cualquier variedad compleja compacta. La importancia de que la variedad sea Kähler es que existe una relación entre los laplacianos y, por tanto, de las descomposiciones ortogonales anteriores. Especialmente en un colector compacto de Kähler ${\displaystyle d^{*},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*}}$ ${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$

$${\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\partial }=2\Delta _{\bar {\partial }}}$$

lo que implica una descomposición ortogonal

$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{d}^{k}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}}$$

donde están las relaciones adicionales que relacionan los espacios de y las formas armónicas. ^{[4] : Proposición 3.1.12} ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}={\overline {{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{q,p}}}}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Como resultado de las descomposiciones anteriores, se puede probar el siguiente lema.

Lema ( -lema) ^{[3] : 311} ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$  -  Sea una forma cerrada (p,q) en una variedad Kähler compacta . Entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle \alpha }$es exacto. ${\displaystyle d}$
2. ${\displaystyle \alpha }$es exacto. ${\displaystyle \partial }$
3. ${\displaystyle \alpha }$es exacto. ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$
4. ${\displaystyle \alpha }$es exacto. Es decir, existe tal que . ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta }$
5. ${\displaystyle \alpha }$es ortogonal a . ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)}$

La prueba es como sigue. ^{[4] : Cor. 3.2.10} Sea una forma cerrada (p,q) en una variedad Kähler compacta . Se deduce rápidamente que (d) implica (a), (b) y (c). Además, las descomposiciones ortogonales anteriores implican que cualquiera de (a), (b) o (c) implica (e). Por tanto, la principal dificultad es demostrar que (e) implica (d). ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$

Para ello supongamos que es ortogonal al subespacio . Entonces . Dado que está cerrado y , también está cerrado (es decir ). Si donde y está contenido en entonces, dado que esta suma proviene de una descomposición ortogonal con respecto al producto interno inducido por la métrica de Riemann, ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$ ${\displaystyle \alpha =\alpha '+\alpha ''}$ ${\displaystyle \alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \alpha ''={\bar {\partial }}^{*}\gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}}$ ${\displaystyle \langle -,-\rangle }$

$${\displaystyle \langle \alpha '',\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}^{*}\gamma \rangle =\langle {\bar {\partial }}\alpha ,\gamma \rangle =0}$$

o en otras palabras y . Así es el caso que . Esto nos permite escribir para alguna forma diferencial . Aplicando la descomposición de Hodge para a , ${\displaystyle \|\alpha ''\|^{2}=0}$ ${\displaystyle \alpha ''=0}$ ${\displaystyle \alpha =\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\eta }$ ${\displaystyle \eta \in \Omega ^{p,q-1}(X)}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle \eta }$

$${\displaystyle \eta =\eta _{0}+\partial \eta '+\partial ^{*}\eta ''}$$

donde es -armónico y . La igualdad implica que también es -armónica y por tanto . De este modo . Sin embargo, como está cerrado, también está cerrado. Luego, usando un truco similar al anterior, ${\displaystyle \eta _{0}}$ ${\displaystyle \Delta _{\partial }}$ ${\displaystyle \eta '\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$ ${\displaystyle \eta ''\in \Omega ^{p+1,q-1}(X)}$ ${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}=\Delta _{\partial }}$ ${\displaystyle \eta _{0}}$ ${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}\eta _{0}={\bar {\partial }}^{*}\eta _{0}=0}$ ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '+{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \partial }$

$${\displaystyle \langle {\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta '',{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =-\langle \alpha ,\partial ^{*}{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =-\langle \partial \alpha ,{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =0,}$$

aplicando también la identidad de Kähler que . Así , un entorno produce el potencial. ${\displaystyle {\bar {\partial }}\partial ^{*}=-\partial ^{*}{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '}$ ${\displaystyle \beta =i\eta '}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Versión local

Una versión local del lema se cumple y puede demostrarse sin necesidad de apelar al teorema de descomposición de Hodge. ^{[4] : Ej. 1.3.3, Rmk 3.2.11} Es el análogo del lema de Poincaré o del lema de Dolbeault-Grothendieck para el operador. El -lema local se aplica a cualquier dominio en el que se mantengan los lemas antes mencionados. ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Lema ( lema local) ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ :  sea una variedad compleja y una forma diferencial de bigrado (p,q) para . Entonces es cerrado si y sólo si para cada punto existe una vecindad abierta que contiene y una forma diferencial tal que on . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle p,q\geq 1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(U)}$ ${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta }$ ${\displaystyle U}$

La prueba se desprende rápidamente de los lemas antes mencionados. En primer lugar, observe que if es localmente de la forma para algunos , entonces porque , y . Por otro lado, supongamos que está cerrado. Entonces por el lema de Poincaré existe una vecindad abierta de cualquier punto y una forma tal que . Ahora escribir for and note that y comparar los bigrados de las formas in implica that y and that . Después de posiblemente reducir el tamaño de la vecindad abierta , el lema de Dolbeault-Grothendieck puede aplicarse a y (este último porque ) para obtener formas locales tales que y . Observando entonces que esto completa la prueba como donde . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0}$ ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}=-{\bar {\partial }}\partial }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle \gamma \in \Omega ^{p+q-1}(U)}$ ${\displaystyle \alpha =d\gamma }$ ${\displaystyle \gamma =\gamma '+\gamma ''}$ ${\displaystyle \gamma '\in \Omega ^{p-1,q}(X)}$ ${\displaystyle \gamma ''\in \Omega ^{p,q-1}(X)}$ ${\displaystyle d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0}$ ${\displaystyle d\alpha }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}\gamma '=0}$ ${\displaystyle \partial \gamma ''=0}$ ${\displaystyle \alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle {\overline {\gamma ''}}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial \gamma ''}}={\bar {\partial }}({\overline {\gamma ''}})=0}$ ${\displaystyle \eta ',\eta ''\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$ ${\displaystyle \gamma '={\bar {\partial }}\eta '}$ ${\displaystyle {\overline {\gamma ''}}={\bar {\partial }}\eta ''}$ ${\displaystyle \gamma ''=\partial {\overline {\eta ''}}}$ ${\displaystyle \alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta }$ ${\displaystyle \beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}}$

Cohomología de Bott-Chern

La cohomología de Bott-Chern es una teoría de cohomología para variedades complejas compactas que depende de los operadores y , y mide hasta qué punto el -lema no se cumple. En particular, cuando una variedad compleja compacta es una variedad de Kähler, la cohomología de Bott-Chern es isomorfa a la cohomología de Dolbeault , pero en general contiene más información. ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Los grupos de cohomología de Bott-Chern de una variedad compleja compacta ^[3] están definidos por

$${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)={\frac {\ker(\partial :\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p+1,q})\cap \ker({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1})}{\operatorname {im} (\partial {\bar {\partial }}:\Omega ^{p-1,q-1}\to \Omega ^{p,q})}}.}$$

Dado que una forma diferencial que es a la vez y cerrada es cerrada, existe un mapa natural desde los grupos de cohomología de Bott-Chern hasta los grupos de cohomología de De Rham. También hay mapas de los grupos de cohomología de Dolbeault . Cuando la variedad satisface el lema, por ejemplo, si es una variedad compacta de Kähler, entonces los mapas anteriores de la cohomología de Bott-Chern a la cohomología de Dolbeault son isomorfismos y, además, el mapa de la cohomología de Bott-Chern a la cohomología de De Rham es inyectivo. ^[5] Como consecuencia, existe un isomorfismo ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

$${\displaystyle H_{dR}^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H_{BC}^{p,q}(X)}$$

siempre que satisface el -lema. De esta manera, el núcleo de los mapas anteriores mide el fracaso de la variedad para satisfacer el lema y, en particular, mide el fracaso de ser una variedad de Kähler. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Consecuencias para el bigrado (1,1)

La consecuencia más significativa del -lema ocurre cuando la forma diferencial compleja tiene bigrado (1,1). En este caso, el lema establece que una forma diferencial exacta tiene un potencial dado por una función suave : ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1,1}(X)}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(X,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}f.}$$

En particular, esto ocurre en el caso en el que una forma de Kähler está restringida a un pequeño subconjunto abierto de una variedad de Kähler (este caso se deriva de la versión local del lema), donde el lema de Poincaré antes mencionado asegura que es una forma diferencial exacta. Esto lleva a la noción de potencial de Kähler , una función definida localmente que especifica completamente la forma de Kähler. Otro caso importante es el de la diferencia de dos formas de Kähler que están en la misma clase de cohomología de De Rham . En este caso, en la cohomología de De Rham, se aplica el lema. Al permitir que (las diferencias de) las formas de Kähler se describan completamente utilizando una sola función, que es automáticamente una función plurisubarmónica , el estudio de variedades compactas de Kähler se puede realizar utilizando técnicas de teoría pluripotencial, para las cuales hay muchas herramientas analíticas disponibles. Por ejemplo, el lema se utiliza para reformular la ecuación de Kähler-Einstein en términos de potenciales, transformándola en una ecuación compleja de Monge-Ampère para el potencial de Kähler. ${\displaystyle \alpha =\omega }$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \alpha =\omega -\omega '}$ ${\displaystyle [\omega ]=[\omega ']}$ ${\displaystyle [\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

colectores ddbar

Las variedades complejas que no son necesariamente Kähler pero que aun así satisfacen el lema se conocen como variedades. Por ejemplo, los colectores compactos y complejos que son Fujiki clase C satisfacen el lema pero no son necesariamente Kähler. ^[5] ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Ver también

• Lema de Poincaré
• Lema de Dolbeault-Grothendieck

Referencias

1. Gauduchon, P. (2010). "Elementos de la geometría de Kähler". Métricas extremas de Kähler de Calabi: una introducción elemental (Preimpresión).
2. Ballmann, Werner (2006). Conferencias sobre colectores de Kähler . Sociedad matemática europea. doi :10.4171/025. ISBN 978-3-03719-025-8.
3. Demailly, Jean-Pierre (2012). Métodos analíticos en geometría algebraica . Somerville, MA: Prensa internacional. ISBN 9781571462343.
4. Huybrechts, D. (2005). Geometría compleja . Texto universitario. Berlín: Springer. doi :10.1007/b137952. ISBN 3-540-21290-6.
5. Angella, Daniele; Tomassini, Adriano (2013). "Sobre la cohomología del lema y Bott-Chern". Invenciones Mathematicae . 192 : 71–81. arXiv : 1402.1954 . doi :10.1007/s00222-012-0406-3. S2CID  253747048. ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

enlaces externos

• Jean-Pierre, Demailly. "Página personal de Grenoble, incluidas las publicaciones".