lema ddbar

Teorema de geometría compleja

En geometría compleja , el lema (pronunciado ddbar lemma ) es un lema matemático sobre la clase de cohomología de De Rham de una forma diferencial compleja . El -lema es un resultado de la teoría de Hodge y las identidades de Kähler en una variedad de Kähler compacta . A veces también se lo conoce como -lema, debido al uso de un operador relacionado , siendo la relación entre los dos operadores y así . ^{[1] : 1.17  [2] : Lem 5.50} ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle dd^{c}}$ ${\textstyle d^{c}=-{\frac {i}{2}}(\partial -{\bar {\partial }})}$ ${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}=dd^{c}}$ ${\displaystyle \alpha =dd^{c}\beta }$

Declaración

El lema afirma que si es una variedad compacta de Kähler y es una forma diferencial compleja de bigrado (p,q) (con ) cuya clase es cero en la cohomología de De Rham, entonces existe una forma de bigrado (p-1,q-1) tal que ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle p,q\geq 1}$ ${\displaystyle [\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$

$${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta ,}$$

donde y son los operadores de Dolbeault de la variedad compleja . ^{[3] : Cap VI Lem 8.6} ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle X}$

Potencial de ddbar

La forma se denomina -potencial de . La inclusión del factor garantiza que es un operador diferencial real , es decir, si es una forma diferencial con coeficientes reales, entonces también lo es . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Este lema debe compararse con la noción de una forma diferencial exacta en la cohomología de De Rham. En particular, si es una k-forma diferencial cerrada (en cualquier variedad suave) cuya clase es cero en la cohomología de De Rham, entonces para alguna (k-1)-forma diferencial llamada -potencial (o simplemente potencial ) de , donde es la derivada exterior . De hecho, dado que los operadores de Dolbeault se suman para dar la derivada exterior y se elevan al cuadrado para dar cero , el -lema implica que , refinando el -potencial al -potencial en el contexto de las variedades de Kähler compactas. ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(X)}$ ${\displaystyle \alpha =d\gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=0}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \gamma ={\bar {\partial }}\beta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Prueba

El -lema es una consecuencia de la teoría de Hodge aplicada a una variedad compacta de Kähler. ^{[3] [1] : 41–44  [2] : 73–77} ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

El teorema de Hodge para un complejo elíptico puede aplicarse a cualquiera de los operadores y respectivamente a sus operadores de Laplace . Para estos operadores se pueden definir espacios de formas diferenciales armónicas dadas por los núcleos: ${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}_{d}^{k}&=\ker \Delta _{d}:\Omega ^{k}(X)\to \Omega ^{k}(X)\\{\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}&=\ker \Delta _{\partial }:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}&=\ker \Delta _{\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\\end{aligned}}}$$

El teorema de descomposición de Hodge afirma que hay tres descomposiciones ortogonales asociadas a estos espacios de formas armónicas, dadas por

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega ^{k}(X)&={\mathcal {H}}_{d}^{k}\oplus \operatorname {im} d\oplus \operatorname {im} d^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}\oplus \operatorname {im} \partial \oplus \operatorname {im} \partial ^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}\end{aligned}}}$$

donde son los adjuntos formales de con respecto a la métrica de Riemann de la variedad de Kähler, respectivamente. ^{[4] : Teoría 3.2.8} Estas descomposiciones se cumplen por separado en cualquier variedad compleja compacta. La importancia de que la variedad sea de Kähler es que existe una relación entre los laplacianos de y, por lo tanto, de las descomposiciones ortogonales anteriores. En particular, en una variedad de Kähler compacta ${\displaystyle d^{*},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*}}$ ${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$

$${\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\partial }=2\Delta _{\bar {\partial }}}$$

lo que implica una descomposición ortogonal

$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{d}^{k}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}}$$

donde existen otras relaciones que relacionan los espacios de las formas y -armónicas. ^{[4] : Prop. 3.1.12} ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}={\overline {{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{q,p}}}}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Como resultado de las descomposiciones anteriores, se puede demostrar el siguiente lema.

Lema ( -lema) ^{[3] : 311} ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$  —  Sea una forma (p,q) -cerrada en una variedad de Kähler compacta . Entonces las siguientes son equivalentes: ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle \alpha }$es -exacto. ${\displaystyle d}$
2. ${\displaystyle \alpha }$es -exacto. ${\displaystyle \partial }$
3. ${\displaystyle \alpha }$es -exacto. ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$
4. ${\displaystyle \alpha }$es -exacto. Es decir, existe tal que . ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta }$
5. ${\displaystyle \alpha }$es ortogonal a . ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)}$

La prueba es la siguiente. ^{[4] : Cor. 3.2.10} Sea una forma (p,q) cerrada en una variedad de Kähler compacta . Se sigue rápidamente que (d) implica (a), (b) y (c). Además, las descomposiciones ortogonales anteriores implican que cualquiera de (a), (b) o (c) implica (e). Por lo tanto, la principal dificultad es mostrar que (e) implica (d). ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$

Para ello, supongamos que es ortogonal al subespacio . Entonces . Como es -cerrado y , también es -cerrado (es decir ). Si donde y está contenido en entonces, dado que esta suma es de una descomposición ortogonal con respecto al producto interno inducido por la métrica de Riemann, ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$ ${\displaystyle \alpha =\alpha '+\alpha ''}$ ${\displaystyle \alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \alpha ''={\bar {\partial }}^{*}\gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}}$ ${\displaystyle \langle -,-\rangle }$

$${\displaystyle \langle \alpha '',\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}^{*}\gamma \rangle =\langle {\bar {\partial }}\alpha ,\gamma \rangle =0}$$

o en otras palabras y . Por lo tanto, es el caso que . Esto nos permite escribir para alguna forma diferencial . Aplicando la descomposición de Hodge para a , ${\displaystyle \|\alpha ''\|^{2}=0}$ ${\displaystyle \alpha ''=0}$ ${\displaystyle \alpha =\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\eta }$ ${\displaystyle \eta \in \Omega ^{p,q-1}(X)}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle \eta }$

$${\displaystyle \eta =\eta _{0}+\partial \eta '+\partial ^{*}\eta ''}$$

donde es -armónico, y . La igualdad implica que también es -armónico y por lo tanto . Por lo tanto . Sin embargo, dado que es -cerrado, también es -cerrado. Luego, utilizando un truco similar al anterior, ${\displaystyle \eta _{0}}$ ${\displaystyle \Delta _{\partial }}$ ${\displaystyle \eta '\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$ ${\displaystyle \eta ''\in \Omega ^{p+1,q-1}(X)}$ ${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}=\Delta _{\partial }}$ ${\displaystyle \eta _{0}}$ ${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}\eta _{0}={\bar {\partial }}^{*}\eta _{0}=0}$ ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '+{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \partial }$

$${\displaystyle \langle {\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta '',{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =-\langle \alpha ,\partial ^{*}{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =-\langle \partial \alpha ,{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =0,}$$

También aplicando la identidad de Kähler , se obtiene el potencial . Por lo tanto , la configuración y produce el potencial . ${\displaystyle {\bar {\partial }}\partial ^{*}=-\partial ^{*}{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '}$ ${\displaystyle \beta =i\eta '}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Versión local

Una versión local del -lema se cumple y puede demostrarse sin necesidad de apelar al teorema de descomposición de Hodge. ^{[4] : Ej 1.3.3, Rmk 3.2.11} Es el análogo del lema de Poincaré o del lema de Dolbeault–Grothendieck para el operador. El -lema local se cumple en cualquier dominio en el que se cumplan los lemas antes mencionados. ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Lema (Lema local ) ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ —  Sea una variedad compleja y una forma diferencial de bigrado (p,q) para . Entonces es -cerrada si y solo si para cada punto existe un entorno abierto que contiene y una forma diferencial tal que en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle p,q\geq 1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(U)}$ ${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta }$ ${\displaystyle U}$

La prueba se sigue rápidamente de los lemas antes mencionados. En primer lugar, observe que si es localmente de la forma para algún entonces porque , , y . Por otro lado, suponga que es -cerrado. Entonces por el lema de Poincaré existe un entorno abierto de cualquier punto y una forma tal que . Ahora escribiendo para y note que y comparando los bigrados de las formas en implica que y y que . Después de posiblemente reducir el tamaño del entorno abierto , el lema de Dolbeault-Grothendieck puede aplicarse a y (este último porque ) para obtener formas locales tales que y . Notando entonces que esto completa la prueba como donde . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0}$ ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}=-{\bar {\partial }}\partial }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle \gamma \in \Omega ^{p+q-1}(U)}$ ${\displaystyle \alpha =d\gamma }$ ${\displaystyle \gamma =\gamma '+\gamma ''}$ ${\displaystyle \gamma '\in \Omega ^{p-1,q}(X)}$ ${\displaystyle \gamma ''\in \Omega ^{p,q-1}(X)}$ ${\displaystyle d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0}$ ${\displaystyle d\alpha }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}\gamma '=0}$ ${\displaystyle \partial \gamma ''=0}$ ${\displaystyle \alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle {\overline {\gamma ''}}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial \gamma ''}}={\bar {\partial }}({\overline {\gamma ''}})=0}$ ${\displaystyle \eta ',\eta ''\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$ ${\displaystyle \gamma '={\bar {\partial }}\eta '}$ ${\displaystyle {\overline {\gamma ''}}={\bar {\partial }}\eta ''}$ ${\displaystyle \gamma ''=\partial {\overline {\eta ''}}}$ ${\displaystyle \alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta }$ ${\displaystyle \beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}}$

Cohomología de Bott-Chern

La cohomología de Bott-Chern es una teoría de cohomología para variedades complejas compactas que depende de los operadores y , y mide el grado en el que el -lema no se cumple. En particular, cuando una variedad compleja compacta es una variedad de Kähler, la cohomología de Bott-Chern es isomorfa a la cohomología de Dolbeault , pero en general contiene más información. ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Los grupos de cohomología de Bott-Chern de una variedad compleja compacta ^[3] se definen por

$${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)={\frac {\ker(\partial :\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p+1,q})\cap \ker({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1})}{\operatorname {im} (\partial {\bar {\partial }}:\Omega ^{p-1,q-1}\to \Omega ^{p,q})}}.}$$

Dado que una forma diferencial que es a la vez cerrada y cerrada es cerrada, existe una función natural de los grupos de cohomología de Bott-Chern a los grupos de cohomología de De Rham. También existen funciones de los grupos de cohomología de Dolbeault y de . Cuando la variedad satisface el lema, por ejemplo si es una variedad compacta de Kähler, entonces las funciones anteriores de la cohomología de Bott-Chern a la cohomología de Dolbeault son isomorfismos, y además la función de la cohomología de Bott-Chern a la cohomología de De Rham es inyectiva. ^[5] Como consecuencia, existe un isomorfismo ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

$${\displaystyle H_{dR}^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H_{BC}^{p,q}(X)}$$

siempre que satisface el lema. De esta manera, el núcleo de las funciones anteriores mide el fracaso de la variedad para satisfacer el lema y, en particular, mide el fracaso de ser una variedad de Kähler. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Consecuencias para bigrado (1,1)

La consecuencia más significativa del lema se produce cuando la forma diferencial compleja tiene bigrado (1,1). En este caso, el lema establece que una forma diferencial exacta tiene un potencial dado por una función suave : ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1,1}(X)}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(X,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}f.}$$

En particular, esto ocurre en el caso en que es una forma de Kähler restringida a un pequeño subconjunto abierto de una variedad de Kähler (este caso se sigue de la versión local del lema), donde el lema de Poincaré antes mencionado asegura que es una forma diferencial exacta. Esto conduce a la noción de un potencial de Kähler , una función definida localmente que especifica completamente la forma de Kähler. Otro caso importante es cuando es la diferencia de dos formas de Kähler que están en la misma clase de cohomología de De Rham . En este caso en la cohomología de De Rham, entonces se aplica el -lema. Al permitir que (las diferencias de) formas de Kähler se describan completamente usando una sola función, que es automáticamente una función plurisubarmónica , el estudio de las variedades de Kähler compactas se puede emprender usando técnicas de teoría pluripotencial, para la que hay muchas herramientas analíticas disponibles. Por ejemplo, el -lema se utiliza para reformular la ecuación de Kähler-Einstein en términos de potenciales, transformándola en una ecuación compleja de Monge-Ampère para el potencial de Kähler. ${\displaystyle \alpha =\omega }$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \alpha =\omega -\omega '}$ ${\displaystyle [\omega ]=[\omega ']}$ ${\displaystyle [\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

colectores ddbar

Las variedades complejas que no son necesariamente de Kähler pero que satisfacen el lema se conocen como variedades. Por ejemplo, las variedades complejas compactas que son de clase C de Fujiki satisfacen el lema pero no son necesariamente de Kähler. ^[5] ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Véase también

• Lema de Poincaré
• Lema de Dolbeault-Grothendieck

Referencias

1. Gauduchon, P. (2010). "Elementos de la geometría de Kähler". Métricas extremales de Kähler de Calabi: una introducción elemental (Preimpresión).
2. Ballmann, Werner (2006). Lecciones sobre variedades de Kähler . Sociedad matemática europea. doi :10.4171/025. ISBN 978-3-03719-025-8.
3. Demailly, Jean-Pierre (2012). Métodos analíticos en geometría algebraica . Somerville, MA: International Press. ISBN 9781571462343.
4. Huybrechts, D. (2005). Geometría compleja . Universitext. Berlín: Springer. doi :10.1007/b137952. ISBN 3-540-21290-6.
5. Angella, Daniele; Tomassini, Adriano (2013). "Sobre la cohomología del lema y Bott-Chern". Invenciones Mathematicae . 192 : 71–81. arXiv : 1402.1954 . doi :10.1007/s00222-012-0406-3. S2CID  253747048. ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Enlaces externos

• Jean-Pierre, Demailly. «Página personal en Grenoble, incluidas las publicaciones».