Función plurisubarmónica

En matemáticas , las funciones plurisubarmónicas (a veces abreviadas como psh , plsh o funciones de peluche ) forman una clase importante de funciones utilizadas en el análisis complejo . En una variedad de Kähler , las funciones plurisubarmónicas forman un subconjunto de las funciones subarmónicas . Sin embargo, a diferencia de las funciones subarmónicas (que se definen en una variedad de Riemann ), las funciones plurisubarmónicas se pueden definir con total generalidad en espacios analíticos complejos .

Definición formal

Una función con dominio se llama plurisubarmónica si es semicontinua superior , y para cada línea compleja ${\displaystyle f\colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},}$ ${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$

${\displaystyle \{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}\subset {\mathbb {C} }^{n},}$con ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {C} }^{n},}$

La función es una función subarmónica en el conjunto. ${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$

${\displaystyle \{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in G\}.}$

En términos generales, la noción se puede definir en una variedad compleja arbitraria o incluso en un espacio analítico complejo de la siguiente manera. Se dice que una función semicontinua superior es plurisubarmónica si para cualquier función holomorfa la función es subarmónica , donde denota el disco unitario. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon X\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$ ${\displaystyle \varphi \colon \Delta \to X}$ ${\displaystyle f\circ \varphi \colon \Delta \to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$ ${\displaystyle \Delta \subset {\mathbb {C} }}$

Funciones plurisubarmónicas diferenciables

Si es de clase (diferenciabilidad) , entonces es plurisubarmónico si y solo si la matriz hermítica , llamada matriz de Levi, con entradas ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L_{f}=(\lambda _{ij})}$

${\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial {\bar {z}}_{j}}}}$

es semidefinido positivo .

De manera equivalente, una -función f es plurisubarmónica si y solo si es una forma (1,1) positiva . ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}f}$

Ejemplos

Relación con la variedad de Kähler: En un espacio euclidiano complejo de n dimensiones , es plurisubarmónico. De hecho, es igual a la forma estándar de Kähler en múltiplos constantes. De manera más general, si satisface ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f(z)=|z|^{2}}$ ${\displaystyle i\partial {\overline {\partial }}f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle i\partial {\overline {\partial }}g=\omega }$

Para alguna forma de Kähler , entonces es plurisubarmónico, lo que se denomina potencial de Kähler. Estos se pueden generar fácilmente aplicando el lema ddbar a las formas de Kähler en una variedad de Kähler. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle g}$

Relación con el delta de Dirac: en un espacio euclidiano complejo unidimensional , es plurisubarmónico. Si es una función de clase C ^{∞ con} soporte compacto , entonces la fórmula integral de Cauchy dice ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$ ${\displaystyle u(z)=\log |z|}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dzd{\bar {z}}}{z}},}$

que puede modificarse para

${\displaystyle {\frac {i}{\pi }}\partial {\overline {\partial }}\log |z|=dd^{c}\log |z|}$.

No es más que una medida de Dirac en el origen 0.

Más ejemplos

• Si es una función analítica en un conjunto abierto, entonces es plurisubarmónica en ese conjunto abierto. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \log |f|}$
• Las funciones convexas son plurisubarmónicas.
• Si es un dominio de holomorfía entonces es plurisubarmónico. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle -\log(dist(z,\Omega ^{c}))}$

Historia

Las funciones plurisubarmónicas fueron definidas en 1942 por Kiyoshi Oka ^[1] y Pierre Lelong . ^[2]

Propiedades

• El conjunto de funciones plurisubarmónicas tiene las siguientes propiedades como un cono convexo :

• si es una función plurisubarmónica y un número real positivo, entonces la función es plurisubarmónica, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle c\cdot f}$
• si y son funciones plurisubarmónicas, entonces la suma es una función plurisubarmónica. ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$

• La plurisubarmonicidad es una propiedad local, es decir, una función es plurisubarmónica si y sólo si es plurisubarmónica en un entorno de cada punto.
• Si es plurisubarmónico y una función convexa creciente entonces es plurisubarmónico. ( se interpreta como .) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi \circ f}$ ${\displaystyle \varphi (-\infty )}$ ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\varphi (x)}$
• Si y son funciones plurisubarmónicas, entonces la función es plurisubarmónica. ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle \max(f_{1},f_{2})}$
• El límite puntual de una secuencia decreciente de funciones plurisubarmónicas es plurisubarmónico.
• Toda función plurisubarmónica continua puede obtenerse como el límite de una secuencia decreciente de funciones plurisubarmónicas suaves. Además, esta secuencia puede elegirse uniformemente convergente. ^[3]
• La desigualdad en la condición de semicontinuidad habitual se cumple como igualdad, es decir, si es plurisubarmónico entonces . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$
• Las funciones plurisubarmónicas son subarmónicas , para cualquier métrica de Kähler .
• Por lo tanto, las funciones plurisubarmónicas satisfacen el principio de máximo , es decir, si es plurisubarmónico en el dominio y para algún punto entonces es constante. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sup _{x\in D}f(x)=f(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}\in D}$ ${\displaystyle f}$

Aplicaciones

En varias variables complejas , se utilizan funciones plurisubarmónicas para describir dominios pseudoconvexos , dominios de holomorfía y variedades de Stein .

Teorema de Oka

La principal aplicación geométrica de la teoría de funciones plurisubarmónicas es el famoso teorema demostrado por Kiyoshi Oka en 1942. ^[1]

Una función continua se llama exhaustiva si la preimagen es compacta para todo . Una función plurisubarmónica f se llama fuertemente plurisubarmónica si la forma es positiva , para alguna forma de Kähler en M . ${\displaystyle f:\;M\mapsto {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,c])}$ ${\displaystyle c\in {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle i(\partial {\bar {\partial }}f-\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

Teorema de Oka: Sea M una variedad compleja, que admite una función suave, exhaustiva y fuertemente plurisubarmónica. Entonces M es Stein . A la inversa, cualquier variedad de Stein admite una función de este tipo.

Referencias

• Bremermann, HJ (1956). "Convexidad compleja". Transacciones de la American Mathematical Society . 82 (1): 17–51. doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR  1992976.
• Steven G. Krantz. Teoría de funciones de varias variables complejas, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Robert C. Gunning . Introducción a las funciones holomorfas en varias variables, Wadsworth & Brooks/Cole.
• Klimek, Teoría pluripotencial, Clarendon Press 1992.

Enlaces externos

• "Función plurisubarmónica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Notas

1. Oka, Kiyoshi (1942), "Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. VI. Domaines pseudoconvexes", Tohoku Mathematical Journal , primera serie, 49 : 15–52, ISSN  0040-8735, Zbl  0060.24006Nota: En el tratado se hace referencia a ella como función pseudoconvexa, pero esto significa la función plurisubarmónica, que es el tema de esta página, no la función pseudoconvexa del análisis convexo. Bremermann (1956)
2. Lelong, P. (1942). "Definición de funciones plurisousharmoniques". CR Acad. Ciencia. París . 215 : 398–400.
3. RE Greene y H. Wu, -aproximaciones de funciones convexas, subarmónicas y plurisubarmónicas , Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 12 (1979), 47–84. ${\displaystyle C^{\infty }}$