Clase C de Fujiki

En geometría algebraica , una variedad compleja se denomina clase Fujiki ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ si es bimeromorfa con respecto a una variedad compacta de Kähler . Esta noción fue definida por Akira Fujiki. ^[1]

Propiedades

Sea M una variedad compacta de la clase Fujiki , y su subvariedad compleja. Entonces X también está en la clase Fujiki (, ^[2] Lema 4.6). Además, el espacio de Douady de X (es decir, los módulos de deformaciones de una subvariedad , M fijos) es compacto y está en la clase Fujiki . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X\subset M}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X\subset M}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Las variedades de clase Fujiki son ejemplos de variedades complejas compactas que no son necesariamente de Kähler, pero para las que se cumple el -lema . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Conjeturas

J.-P. Demailly y M. Pǎun han demostrado que una variedad está en la clase Fujiki si y sólo si admite una corriente de Kähler. ^[5] También conjeturaron que una variedad M está en la clase Fujiki si admite una corriente nef que es grande , es decir, satisface ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \int _{M}\omega ^{dim_{\mathbb {C} }M}>0.}$

Para una clase de cohomología que es racional, se conoce esta afirmación: por la conjetura de Grauert-Riemenschneider , un fibrado lineal holomorfo L con primera clase de Chern ${\displaystyle [\omega ]\in H^{2}(M)}$

${\displaystyle c_{1}(L)=[\omega ]}$

nef y big tienen dimensión Kodaira máxima , de ahí el mapa racional correspondiente a

${\displaystyle {\mathbb {P} }H^{0}(L^{N})}$

es genéricamente finito en su imagen, que es algebraica, y por tanto Kähler.

Fujiki ^[6] y Ueno ^[7] se preguntaron si la propiedad es estable bajo deformaciones. Esta conjetura fue refutada en 1992 por Y.-S. Poon y Claude LeBrun ^[8]. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Referencias

1. Fujiki, Akira (1978). "Sobre grupos de automorfismos de variedades de Kähler compactas". Inventiones Mathematicae . 44 (3): 225–258. Bibcode :1978InMat..44..225F. doi :10.1007/BF01403162. MR  0481142.
2. Fujiki, Akira (1978). "Cerradura de los espacios de Douady de espacios de Kähler compactos". Publicaciones del Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas . 14 : 1–52. doi : 10.2977/PRIMS/1195189279 . MR  0486648.
3. Fujiki, Akira (1982). "Sobre el espacio doble de un espacio complejo compacto en la categoría C {\displaystyle {\mathcal {C}}}". Nagoya Mathematical Journal . 85 : 189–211. doi : 10.1017/S002776300001970X . MR  0759679.
4. Angella, Daniele; Tomassini, Adriano (2013). "Sobre el lema ∂ ∂ ¯ {\displaystyle \partial {\bar {\partial }}} y la cohomología de Bott-Chern" (PDF) . Inventiones Mathematicae . 192 : 71–81. doi :10.1007/s00222-012-0406-3. S2CID  253747048.
5. Demailly, Jean-Pierre ; Pǎun, Mihai Caracterización numérica del cono de Kahler de una variedad de Kahler compacta, Ann. of Math. (2) 159 (2004), núm. 3, 1247--1274. MR 2113021
6. Fujiki, Akira (1983). "Sobre una variedad compleja compacta en C {\displaystyle {\mathcal {C}}} sin 2-formas holomorfas". Publicaciones del Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas . 19 : 193–202. doi : 10.2977/PRIMS/1195182983 . MR  0700948.
7. K. Ueno, ed., "Problemas abiertos", Clasificación de variedades algebraicas y analíticas, Birkhaser, 1983.
8. Claude LeBrun , Yat-Sun Poon, "Twistors, variedades de Kahler y geometría bimeromórfica II", J. Amer. Math. Soc. 5 (1992) MR 1137099