Función plurisubarmónica

En matemáticas , las funciones plurisubarmónicas (a veces abreviadas como psh , plsh o funciones de felpa ) forman una clase importante de funciones utilizadas en análisis complejos . En una variedad de Kähler , las funciones plurisubarmónicas forman un subconjunto de las funciones subarmónicas . Sin embargo, a diferencia de las funciones subarmónicas (que se definen en una variedad de Riemann ), las funciones plurisubarmónicas se pueden definir con total generalidad en espacios analíticos complejos .

Definicion formal

Una función con dominio se llama plurisubarmónica si es semicontinua superior y para cada recta compleja ${\displaystyle f\colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},}$ ${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$

${\displaystyle \{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}\subset {\mathbb {C} }^{n},}$con ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {C} }^{n},}$

la función es una función subarmónica en el conjunto ${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$

${\displaystyle \{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in G\}.}$

En general, la noción se puede definir en una variedad compleja arbitraria o incluso en un espacio analítico complejo de la siguiente manera. Se dice que una función semicontinua superior es plurisubarmónica si para cualquier mapa holomórfico la función es subarmónica , donde denota el disco unitario. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon X\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$ ${\displaystyle \varphi \colon \Delta \to X}$ ${\displaystyle f\circ \varphi \colon \Delta \to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$ ${\displaystyle \Delta \subset {\mathbb {C} }}$

Funciones plurisubarmónicas diferenciables

Si es de clase (diferenciabilidad) , entonces es plurisubarmónica si y sólo si la matriz hermitiana , llamada matriz de Levi, con entradas ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L_{f}=(\lambda _{ij})}$

${\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial {\bar {z}}_{j}}}}$

es semidefinido positivo .

De manera equivalente, una función f es plurisubarmónica si y solo si es una forma positiva (1,1) . ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}f}$

Ejemplos

Relación con la variedad de Kähler: en el espacio euclidiano complejo de n dimensiones , es plurisubarmónico. De hecho, es igual a la forma estándar de Kähler hasta múltiplos constantes. De manera más general, si satisface ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f(z)=|z|^{2}}$ ${\displaystyle i\partial {\overline {\partial }}f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle i\partial {\overline {\partial }}g=\omega }$

para alguna forma de Kähler , entonces es plurisubarmónico, lo que se llama potencial de Kähler. Estos se pueden generar fácilmente aplicando el lema ddbar a formas Kähler en una variedad Kähler. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle g}$

Relación con Dirac Delta: En el espacio euclidiano complejo unidimensional , es plurisubarmónico. Si es una función de clase C ^∞ con soporte compacto , entonces la fórmula integral de Cauchy dice ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$ ${\displaystyle u(z)=\log |z|}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dzd{\bar {z}}}{z}},}$

que se puede modificar para

${\displaystyle {\frac {i}{\pi }}\partial {\overline {\partial }}\log |z|=dd^{c}\log |z|}$.

No es más que la medida de Dirac en el origen 0 .

Más ejemplos

• Si es una función analítica en un conjunto abierto, entonces es plurisubarmónica en ese conjunto abierto. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \log |f|}$
• Las funciones convexas son plurisubarmónicas.
• Si es un dominio de holomorfia entonces es plurisubarmónico. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle -\log(dist(z,\Omega ^{c}))}$

Historia

Las funciones plurisubarmónicas fueron definidas en 1942 por Kiyoshi Oka ^[1] y Pierre Lelong . ^[2]

Propiedades

• El conjunto de funciones plurisubarmónicas tiene las siguientes propiedades como un cono convexo :

• si es una función plurisubarmónica y un número real positivo, entonces la función es plurisubarmónica, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle c\cdot f}$
• si y son funciones plurisubarmónicas, entonces la suma es una función plurisubarmónica. ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$

• La plurisubarmónica es una propiedad local, es decir, una función es plurisubarmónica si y sólo si es plurisubarmónica en una vecindad de cada punto.
• Si es plurisubarmónica y una función convexa creciente, entonces es plurisubarmónica. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi \circ f}$
• Si y son funciones plurisubarmónicas, entonces la función es plurisubarmónica. ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle \max(f_{1},f_{2})}$
• Si es una secuencia decreciente de funciones plurisubarmónicas, entonces su límite puntual es plurisubarmónico. ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$
• Cada función plurisubarmónica continua se puede obtener como el límite de una secuencia decreciente de funciones plurisubarmónicas suaves. Además, esta secuencia se puede elegir uniformemente convergente. ^[3]
• La desigualdad en la condición habitual de semicontinuidad se considera igualdad, es decir, si es plurisubarmónica, entonces . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$
• Las funciones plurisubarmónicas son subarmónicas , para cualquier métrica de Kähler .
• Por lo tanto, las funciones plurisubarmónicas satisfacen el principio de máximo , es decir, si es plurisubarmónica en el dominio y en algún punto entonces es constante. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sup _{x\in D}f(x)=f(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}\in D}$ ${\displaystyle f}$

Aplicaciones

En varias variables complejas , las funciones plurisubarmónicas se utilizan para describir dominios pseudoconvexos , dominios de holomorfia y variedades de Stein .

teorema de oka

La principal aplicación geométrica de la teoría de funciones plurisubarmónicas es el famoso teorema demostrado por Kiyoshi Oka en 1942. ^[1]

Una función continua se llama exhaustiva si la preimagen es compacta para todos . Una función plurisubarmónica f se llama fuertemente plurisubarmónica si la forma es positiva , para alguna forma de Kähler en M. ${\displaystyle f:\;M\mapsto {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,c])}$ ${\displaystyle c\in {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle i(\partial {\bar {\partial }}f-\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

Teorema de Oka: Sea M una variedad compleja que admite una función suave, exhaustiva y fuertemente plurisubarmónica. Entonces M es Stein . Por el contrario, cualquier variedad de Stein admite tal función.

Referencias

• Bremermann, HJ (1956). "Convexidad compleja". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 82 (1): 17–51. doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR  1992976.
• Steven G. Krantz. Teoría de funciones de varias variables complejas, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Robert C. Gunning . Introducción a las funciones holomorfas en varias variables, Wadsworth & Brooks/Cole.
• Klimek, Teoría pluripotencial, Clarendon Press 1992.

enlaces externos

• "Función plurisubarmónica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Notas

1. Oka, Kiyoshi (1942), "Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. VI. Domaines pseudoconvexes", Tohoku Mathematical Journal , primera serie, 49 : 15–52, ISSN  0040-8735, Zbl  0060.24006Nota: En el tratado, se la denomina función pseudoconvexa, pero esto significa la función plurisubarmónica, que es el tema de esta página, no la función pseudoconvexa del análisis convexo. Bremermann (1956)
2. Lelong, P. (1942). "Definición de funciones plurisousharmoniques". CR Acad. Ciencia. París . 215 : 398–400.
3. RE Greene y H. Wu, -aproximaciones de funciones convexas, subarmónicas y plurisubarmónicas , Ann. Científico. CE. Norma. Sorber. 12 (1979), 47–84. ${\displaystyle C^{\infty }}$